首次积分与一阶偏.ppt





《首次积分与一阶偏.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《首次积分与一阶偏.ppt(50页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第6章 首次积分与一阶偏微分方程7.1一一阶阶常微分方程常微分方程组组的首次的首次积积分分从第五章我们知道从第五章我们知道7.1.1首次积分的定义首次积分的定义在变换在变换之下,等价于下面之下,等价于下面的一阶微分方程组的一阶微分方程组(7.1.3)阶常微分方程阶常微分方程在第五章中,已经介绍过方程组(在第五章中,已经介绍过方程组(7.1.3)通解的概念)通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外,求一般的一和求法。但是除了常系数线性方程组外,求一般的一阶微分方程组(阶微分方程组(7.1.3)的解是很困难的。然而在某些)的解是很困难的。然而在某些情况下,可以使用所谓情况下,可以使用所谓“可积
2、组合可积组合”法求通积分,下法求通积分,下面先通过例子说明面先通过例子说明“可积组合可积组合”法,然后介绍一阶常法,然后介绍一阶常微分方程组微分方程组“首次积分首次积分”的概念和性质,以及用首次的概念和性质,以及用首次积分方法来求解方程组(积分方法来求解方程组(7.1.3)的问题。先看几个例)的问题。先看几个例子。子。例例7.1.1 求解微分方程求解微分方程组组 (7.1.4)解解 将第一式的两端同乘将第一式的两端同乘,第二式的两端同乘,第二式的两端同乘 这这个微分方程关于个微分方程关于变变量量t和和其中其中 为积为积分常数。(分常数。(7.1.5)叫做()叫做(7.1.4)的一个首)的一个首
3、次次积积分。分。,然后,然后相加,得到相加,得到或或是可以分离的,因此是可以分离的,因此不难求得其解为不难求得其解为(7.1.5)注意首次注意首次积积分(分(7.1.5)的左端)的左端作作为为x,y,和,和t是微分方程是微分方程组组(7.1.4)的解)的解时时,才等于常数才等于常数,因此,因此因因为为式(式(7.1.4)是一个二)是一个二阶阶方程方程组组,一个首次,一个首次积积分分(7.1.5)不足以确定它的解。)不足以确定它的解。为为了确定(了确定(7.1.4)的解,)的解,还还需要找到另外一个首次需要找到另外一个首次积积分。分。将第一式两端同乘将第一式两端同乘,第二式两端同乘,第二式两端同
4、乘,的函数并不等于常数;从上面的推导可见,当的函数并不等于常数;从上面的推导可见,当应随解而异。应随解而异。第一式减去第二式,得到第一式减去第二式,得到即或或然后用然后用利用首次利用首次积积分(分(7.1.5)和()和(7.1.6)可以确定()可以确定(7.1.4)的)的通解。通解。为为此,采用极坐此,采用极坐标标 (7.1.7)亦即亦即积分得积分得其中其中为积分常数。为积分常数。(7.1.6)由(由(7.1.5)和()和(7.1.6)推得)推得或或因此我因此我们们得到方程得到方程组组(7.1.4)的通解)的通解为为 解解 利用方程利用方程组组的的对对称性,可得称性,可得 从而得到第一个首次从
5、而得到第一个首次积积分分 。例例7.1.2 求解微分方程组求解微分方程组其中其中是给定的常数。是给定的常数。其中积分常数其中积分常数(1)同同样样由方程的由方程的对对称性我称性我们们又有又有 由此又得另一个首次由此又得另一个首次积积分分 利用首次利用首次积积分(分(1)和()和(2),将),将u和和v用用w表示,之后代入表示,之后代入原方程原方程组组(7.1.8)的第三式,得到)的第三式,得到 其中积分常数其中积分常数(2)其中常数其中常数a,b依赖于常数依赖于常数而常数而常数(3)式(式(3)是)是变变量可分离方程,分离量可分离方程,分离变变量并量并积积分得到第三个分得到第三个首次首次积积分
6、分 是是积积分常数。因分常数。因为为方程方程组组(7.1.8)是三)是三阶阶的,的,但是由于在式(但是由于在式(4)中出)中出现现了了椭圆积椭圆积分,因此不能写出分,因此不能写出上述通解的具体表达式。上述通解的具体表达式。(4)其中其中所以三个首次积分(所以三个首次积分(1)、()、(2)和()和(4)在理论上足以)在理论上足以确定它的通解确定它的通解现现在考在考虑虑一般的一般的阶阶常微分方程常微分方程组组 其中右端函数其中右端函数在在内内对对连续连续,而且,而且对对定定义义7.1.1设设函数函数在在的某个子域的某个子域内内连续连续,而且,而且对对是是连续连续可微的。又可微的。又设设不不为为常
7、数,常数,(7.1.13)是连续可是连续可微的。我们有微的。我们有但沿着微分方程(但沿着微分方程(7.1.3)函数函数V取常取常值值;在区域在区域G内的任意积分曲线内的任意积分曲线 时时,有,有 ,为为(7.1.13)的首次)的首次积积分。分。亦即亦即或当或当这里的常数随积分曲线这里的常数随积分曲线而定,则称而定,则称(7.1.14)为微分方程(为微分方程(7.1.13)在区域)在区域G内的首次积分。其中内的首次积分。其中C是是一个任意常数,有时也称这里的函数一个任意常数,有时也称这里的函数对对于高于高阶阶微分方程(微分方程(7.1.1),只要做),只要做变换变换(7.1.2),),就可以把它
8、化成一个与其等价的微分方程就可以把它化成一个与其等价的微分方程组组。因此,首次。因此,首次积积分的定分的定义义可以自然地移植到可以自然地移植到n阶阶方程(方程(7.1.1)。而其首)。而其首次次积积分的一般形式可以写分的一般形式可以写为为 乘方程的两端,可得乘方程的两端,可得 然后然后积积分,得到一个首次分,得到一个首次积积分分 (7.1.15)例如,设二阶微分方程组例如,设二阶微分方程组用用一般的,一般的,阶阶常微分方程有常微分方程有个独立的首次个独立的首次积积分,如果分,如果阶阶常微分方程常微分方程组组的的个独立的首次个独立的首次积积分,分,则则可可7.1.2 首次首次积积分的性分的性质质
9、根据首次根据首次积积分的定分的定义义,要判,要判别别函数函数是否是方程是否是方程组组 求得求得求得这个求得这个 阶常微分方程组的通解。阶常微分方程组的通解。在区域在区域G内的首次积分,需要知道方程组(内的首次积分,需要知道方程组(7.1.13)在)在G内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法,解决下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法,解决了判别首次积分的困难。了判别首次积分的困难。定理定理7.1.1设设函数函数 在区域在区域G内是内是连续连续是微分方程(是微分方程(7.1.13)在区域)在区域G内的首次
10、内的首次积积分的充分必要分的充分必要条件是条件是 是关于是关于变变量量的一个恒等式。的一个恒等式。可微的,而且它不是常数,则可微的,而且它不是常数,则(7.1.16)(7.1.17)证证明明 先先证证必要性必要性 设设(7.1.16)是方程)是方程组组(7.1.13)在区)在区域域G内的一个首次内的一个首次积积分。又分。又设设 是微分方程是微分方程组组(7.1.13)在区域)在区域G内的任一内的任一积积分曲分曲线线。则则我我们们在区在区间间J上有恒等式上有恒等式 (7.1.18)两两边对边对x求求导导,则则有有 或在或在上恒有等式上恒有等式 因因为经过为经过区域区域G内的任意一点都有微分方程(
11、内的任意一点都有微分方程(7.1.13)的)的一条一条积积分曲分曲线线亦即恒等式(亦即恒等式(7.1.17)成立。)成立。微分方程微分方程组组(7.1.13)在区域)在区域G内的一个首次内的一个首次积积分。分。证毕证毕。(7.1.19)(7.1.20),所以(,所以(7.1.20)也就变成了区域)也就变成了区域G内的内的恒等式,恒等式,再证充分性再证充分性,设恒等式(,设恒等式(7.1.17)成立,则由于上述积分)成立,则由于上述积分曲线曲线在在G内,所以得到恒等式(内,所以得到恒等式(7.1.20),然后可由),然后可由(7.1.20)反推到()反推到(7.1.18)。这就证明了()。这就证
12、明了(7.1.16)是是定理定理7.1.2 若已知微分方程(若已知微分方程(7.1.13)的一个首次)的一个首次积积分分(7.1.14),),则则可以把微分方程(可以把微分方程(7.1.13)降低一)降低一阶阶。证证明明 由定由定义义容易推出首次容易推出首次积积分分 不能都恒等于不能都恒等于0,因此,不妨,因此,不妨设设于是由于是由隐隐函数定理,由首次函数定理,由首次积积分(分(7.1.16)解出)解出 (7.1.22)的偏导数的偏导数(7.1.21)而且它有偏导数而且它有偏导数将(将(7.1.21)代入到微分方程()代入到微分方程(7.1.13)的前)的前n-1个式子,个式子,就消去了就消去
13、了,从而得到一个,从而得到一个n-1阶阶的微分方程的微分方程 假假设设它的解它的解为为 就是微分方程(就是微分方程(7.1.13)的解。)的解。(7.1.23)(7.1.24)我们要证函数组我们要证函数组(7.1.25)事事实实上,由于(上,由于(7.1.24)是方程()是方程(7.1.23)的解,所以)的解,所以(7.1.25)满满足微分方程(足微分方程(7.1.13)的前)的前n-1个等式。因此,个等式。因此,我我们们只需只需证证明它也明它也满满足微分方程(足微分方程(7.1.13)的最后一个等)的最后一个等式。因式。因为为 所以再由(所以再由(7.1.22)可得)可得 然后再根据首次然后
14、再根据首次积积分分满满足的充要条件足的充要条件 得到得到 其中其中设设微分方程微分方程组组(7.1.13)有)有n个首次个首次积积分分 如果在某个区域如果在某个区域G内它内它们们的的Jacobi行列式行列式 由式子(由式子(7.1.25)给出。这就证明了所)给出。这就证明了所需要的结论。需要的结论。(7.1.26)(7.1.27)则称它们在区域则称它们在区域G内是相互独立的内是相互独立的。证证明明 因因为为(7.1.27)成立,所以由)成立,所以由隐隐函数定理可以从函数定理可以从(7.1.26)解出)解出 (7.1.29)(7.1.28)其中其中为为n个任意常数(在允许范围内),个任意常数(在
15、允许范围内),而且上述通解表示了微分方程(而且上述通解表示了微分方程(7.1.13)在)在G内的所有解。内的所有解。,令它们的表达式为(,令它们的表达式为(7.1.28)因此只要将(因此只要将(7.1.28)代入到()代入到(7.1.26)就得到相应的关)就得到相应的关于于 的恒等式。然后再对的恒等式。然后再对 求导,即得求导,即得其中其中变变元元由(由(7.1.28)给给出。出。定理定理7.1.3 设已知微分方程(设已知微分方程(7.1.13)的)的n个相互独立的首个相互独立的首次积分(次积分(7.1.26),则可由它们得到(),则可由它们得到(7.1.13)在区域)在区域G内的通解内的通解
16、另一方面由于首次另一方面由于首次积积分的充要条件,等式分的充要条件,等式 当当变变元元由(由(7.1.28)给给定定时时仍然成立。因此仍然成立。因此联联再利用条件(再利用条件(7.1.27),我),我们们得到得到 其中其中变变元元由(由(7.1.28)给给出。出。这这就就证证明了明了(7.1.30)立(立(7.1.29)和()和(7.1.30)推出)推出(7.1.28)是微分方程组()是微分方程组(7.1.13)的解。)的解。由此推出由此推出的的Jacobi行列式行列式 这这就就证证明了在(明了在(7.1.28)中的)中的n个任意常数个任意常数是相互独立的。因此,式(是相互独立的。因此,式(7
17、.1.28)是微分方程)是微分方程组组(7.1.13)的通解。的通解。另外,由(另外,由(7.1.26)对)对 求导易知求导易知其中其中 我我们们仍需仍需证证明通解(明通解(7.1.28)表示了微分方程()表示了微分方程(7.1.13)在区在区间间G内的所有解。内的所有解。为为此取微分方程(此取微分方程(7.1.13)在区)在区间间G内的任一解内的任一解 令初始条件令初始条件 其中其中。再令。再令 然后利用然后利用隐隐函数定理,可以从方程函数定理,可以从方程 得到微分方程(得到微分方程(7.1.13)的一个解)的一个解 它它满满足初始条件足初始条件 (7.1.31)(7.1.32)(7.1.3
18、3)因此,式(因此,式(7.1.32)和()和(7.1.33)是微分方程)是微分方程组组(7.1.13)满满足同一初始条件的两个解。足同一初始条件的两个解。这样这样根据解的唯一性定理根据解的唯一性定理推出推出 即解(即解(7.1.31)可以从通解()可以从通解(7.1.28)得到。)得到。反之作反之作为为定理定理7.1.3的逆命的逆命题题,我,我们们容易容易证证明下述明下述结论结论:设设已知微分方程(已知微分方程(7.1.13)的通解,)的通解,则则由它可以得到由它可以得到n个个 独立的首次独立的首次积积分。分。因此,在局部范因此,在局部范围围内求微分方程(内求微分方程(7.1.13)的解等于
19、求它)的解等于求它 的的n个相互独立的首次个相互独立的首次积积分。分。关于首次关于首次积积分的(局部)存在性,我分的(局部)存在性,我们们有有定理定理7.1.4 设设 其中其中的某个的某个邻邻域域内。内。则则由解由解对对 7.1.3 首次积分的存在性首次积分的存在性则存在则存在的一个的一个邻域邻域使得微分方程(使得微分方程(7.1.13)在区域)在区域内有内有n个相互独立的首次积分。个相互独立的首次积分。证明证明 任取初始条件任取初始条件(7.1.34)初值的可微性定理推出,微分方程(初值的可微性定理推出,微分方程(7.1.13)满足初始)满足初始条件(条件(7.1.34)的解)的解 (7.1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 首次 积分 一阶

限制150内