(MBA课程)管理运筹学第四章线性规划在工商管理中的应用131.pptx

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1、第四章、线性规划在工商管理中的应用 通过线性规划的图解法，我们对线性规划通过线性规划的图解法，我们对线性规划的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理已的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理已有所了解，又通过线性规划问题的计算机求解有所了解，又通过线性规划问题的计算机求解的学习，我们掌握了用计算机软件这一有用工的学习，我们掌握了用计算机软件这一有用工具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。在这具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。在这一章我们来研究线性规划在工商管理中的应用，一章我们来研究线性规划在工商管理中的应用，解决工商管理中的实际问题。解决工商管理中的实际问题。1广西大学王中昭制作4.1、人力资源

2、分配的问题4.2、生产计划的问题4.3、套裁下料问题4.4、配料问题4.5、投资问题主要内容2 2广西大学王中昭制作 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所 需司机和乘务人员数如下：需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?班次 班次 时间 时间 所需人数 所需人数1 1 6:00-10:00 6:0

3、0-10:00 60 602 2 10:00-14:00 10:00-14:00 70 703 3 14:00-18:00 14:00-18:00 60 604 4 18:00-22:00 18:00-22:00 50 505 5 22:00-2:00 22:00-2:00 20 206 6 2:00-6:00 2:00-6:00 30 30例例114.1、人力资源分配的问题3 3广西大学王中昭制作解：设xi表示第i 班次时开始上班的司机和乘务人员数，可以知道在第i 班工作的人数应包括第i-1 班次时开始上班的人员数和第i 班次时开始上班的人员数，例如有x1+x270。又要求这六个班次时开始上

4、班的所有人员最少，即要求x1+x2+x3+x4+x5+x6最小，这样我们建立如下的数学模型。目标函数：minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：x1+x660，x1+x270，x2+x360，x3+x450，x4+x520，x5+x630，x1,x2,x3,x4,x5,x60 4 4广西大学王中昭制作用“管理运筹学”软件可以求得此问题的解：x1=50，x2=20，x3=50，x4=0，x5=20，x6=10，24小时内一共需要司机和乘务人员150人。此问题的解不唯一，用LINDO 软件计算得到：X1=60,X2=10,X3=50,X4=0,X5=30,X6=0目标函数值=1505 5广

5、西大学王中昭制作 福安商场是个中型的百货商场，它对售货福安商场是个中型的百货商场，它对售货 人员的需求经过统计分析如下所示：人员的需求经过统计分析如下所示：星期一：星期一：1515人；星期二：人；星期二：2424人；星期三：人；星期三：2525人；星期人；星期四：四：1919人；星期五：人；星期五：3131人；星期六：人；星期六：2828人；星期日：人；星期日：2828人。人。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要

6、，又使如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少配备的售货人员的人数最少?解：设解：设xx11为星期一开始休息的人数，为星期一开始休息的人数，xx22为星期二开始休为星期二开始休息的人数，息的人数，xx77为星期日开始休息的人数。目标是要求为星期日开始休息的人数。目标是要求售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照开计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照

7、开始休息的时间分成始休息的时间分成77类，各类的人数分别为类，各类的人数分别为XX11，XX22，XX77，即有目标函数即有目标函数:minX:minX11+X+X22+X+X33+X+X44+X+X55+X+X66+X+X77例例226 6广西大学王中昭制作模型：再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如星期日需要星期日需要2828人，我们知道商场中的全体售货员中除人，我们知道商场中的全体售货员中除了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上班，即有班，即有xx11+x+x22+x+x33+x+x4

8、4+x+x552828，喂！请问数学模型 喂！请问数学模型？7 7广西大学王中昭制作上机求解得：上机求解得：xx11=12,x=12,x22=0,x=0,x33=11,x=11,x44=5,x=5,x55=0,x=0,x66=8,x=8,x77=0,=0,目标函数最小值目标函数最小值=36.=36.也就是说配备也就是说配备3636个售货员，并安排个售货员，并安排1212人休息星期一、人休息星期一、二；安排二；安排1111人休息星期三、四；安排人休息星期三、四；安排55人休息星期四、人休息星期四、五；安排五；安排88人休息星期六、日。这人休息星期六、日。这样的安排既满足了工样的安排既满足了工作需

9、要，又使配备的售货员最少。软件对此问题的解如作需要，又使配备的售货员最少。软件对此问题的解如下：下：目标函数最优值为：目标函数最优值为：3636 变量 变量 最优解 最优解 相差值 相差值x1120 x1120 x200.333 x200.333x3110 x3110 x450 x450 x500 x500 x680 x680 x700 x7008 8广西大学王中昭制作约束约束 松驰松驰/剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格10-0.33310-0.33329029030-0.33330-0.33340-0.33340-0.33351051060-0.33360-0.333700700由于所有约束

10、条件的对偶价格都小于或等于由于所有约束条件的对偶价格都小于或等于00，故增加约束条件的常数项都不会使目标值变，故增加约束条件的常数项都不会使目标值变小。小。即增加售货员是不利的。但对于约束即增加售货员是不利的。但对于约束11、33、44、66来讲，减少一售货员会使目标函数值变小，来讲，减少一售货员会使目标函数值变小，是有利的。是有利的。9 9广西大学王中昭制作目标函数系数范围：目标函数系数范围：变量变量 下限下限 当前值当前值 上限上限X1 0 1 1.5X1 0 1 1.5X2 0.667 1 X2 0.667 1 无上限无上限X3 0 1 1.5X3 0 1 1.5X4 1 1 1X4 1

11、 1 1X5 1 1 X5 1 1 无上限无上限X6 0 1 1X6 0 1 1X7 1 1 1.333X7 1 1 1.333安排星期二开始休息和星期安排星期二开始休息和星期五开始五开始休息的人员可休息的人员可以无限制，此时最优解仍然不变。以无限制，此时最优解仍然不变。10 10广西大学王中昭制作常数项范围：约束下限当前值上限11928282无下限152431524424102541.55无下限19206163138.5728283611 11广西大学王中昭制作法二：设法二：设xx11为星期一开始上班的人数，为星期一开始上班的人数，xx22为星期二开始上为星期二开始上班的人数，班的人数，xx

12、77为星期日开始上班的人数。目标是要为星期日开始上班的人数。目标是要求售货人员的总数最少。求售货人员的总数最少。(P40-2a.ltx)(P40-2a.ltx)目标函数目标函数:minX:minX11+X+X22+X+X33+X+X44+X+X55+X+X66+X+X77约束条件：约束条件：星期日星期日XX33+X+X44+X+X55+X+X66+X+X772828星期一星期一XX11+X+X44+X+X55+X+X66+X+X771515星期二星期二XX11+X+X22+X+X55+X+X66+X+X772424星期三星期三XX11+X+X22+X+X33+X+X66+X+X772525星期

13、四星期四XX11+X+X22+X+X33+X+X44+X+X771919星期五星期五XX11+X+X22+X+X33+X+X44+X+X553131星期六星期六XX22+X+X33+X+X44+X+X55+X+X662828解解:函数值函数值=36,=36,X1=3,x2=5,X1=3,x2=5,x3=12,X4=0,x3=12,X4=0,x5=11,x6=0 x5=11,x6=0X7=5,X7=5,则周则周11休息人数为休息人数为周周33上班的上班的+周周22上上班的班的=12+5=17,=12+5=17,与与法一是一样的周法一是一样的周11开始休息仍为开始休息仍为17-17-5=125=1

14、2人人12 12广西大学王中昭制作明兴公司面临一个是外包协作还明兴公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况见表关情况见表4343；公司中可利用的总工时；公司中可利用的总工时为：铸造为：铸造80008000小时，机加工小时，机加工1200012000小

15、时和装小时和装配配1000010000小时。公司为了获得最大利润，甲、小时。公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件乙、丙三种产品各生产多少件?甲、乙两种甲、乙两种产品的铸造应多少由本公司铸造产品的铸造应多少由本公司铸造?应多少由应多少由外包协作？外包协作？例例334.2、生产计划的问题13 13广西大学王中昭制作表4-3解：设解：设x1x1、x2x2、x3x3分别为三道工序都由本公司加工分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，设的甲、乙、丙三种产品的件数，设x4x4、x5x5分别为由分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产外协铸造再由本公司机加工和装配

16、的甲、乙两种产品的件数。品的件数。计算每件产品的利润分别如下：计算每件产品的利润分别如下：工时与成本 工时与成本 甲 甲 乙 乙 丙 丙每件铸造工时 每件铸造工时(小时 小时)5 5 10 10 7 7每件机加工工时 每件机加工工时(小时 小时)6 6 4 4 8 8 每件装配工时（小时 每件装配工时（小时)3 3 2 2 2 2 自产铸件每件成本 自产铸件每件成本(元 元)3 3 5 5 4 4外协铸件每件成本 外协铸件每件成本(元 元)5 5 6 6 机加工每件成本 机加工每件成本(元 元)2 2 1 1 3 3 装配每件成本 装配每件成本(元 元)3 3 2 2 2 2每件产品售价 每件

17、产品售价(元 元)23 23 18 18 16 1614 14广西大学王中昭制作产品甲全部自制的利润产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15(=23-(3+2+3)=15(元元)产品甲铸造外协，其余自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13(=23-(5+2+3)=13(元元)产品乙全部自制的利润产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10(=18-(5+1+2)=10(元元)产品乙铸造外协，其余自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9(=18-(6+1+2)=9(元元)产品丙的利润产品丙的利润=16-(4+3+2)=7(=16-

18、(4+3+2)=7(元元)工时与成本 工时与成本 甲 甲 乙 乙 丙 丙每件铸造工时 每件铸造工时(小时 小时)5 5 10 10 7 7每件机加工工时 每件机加工工时(小时 小时)6 6 4 4 8 8 每件装配工时（小时 每件装配工时（小时)3 3 2 2 2 2 自产铸件每件成本 自产铸件每件成本(元 元)3 3 5 5 4 4外协铸件每件成本 外协铸件每件成本(元 元)5 5 6 6 机加工每件成本 机加工每件成本(元 元)2 2 1 1 3 3 装配每件成本 装配每件成本(元 元)3 3 2 2 2 2每件产品售价 每件产品售价(元 元)23 23 18 18 16 1615 15广

19、西大学王中昭制作建立数学模型如下：建立数学模型如下：目标函数：目标函数：max15Xmax15X11+10X+10X22+7X+7X33+13X+13X44+9X+9X55约束条件：约束条件：5X5X11+10X+10X22+7X+7X338000(8000(这里没包括外协铸造时间这里没包括外协铸造时间)，6X6X11+4X+4X22+8X+8X33+6X+6X44+4X+4X5512000(12000(机加工机加工)，3X3X11+2X+2X22+2X+2X33+3X+3X44+2X+2X5510000(10000(装配装配)，XX11，XX22，XX33，XX44，XX5500用用“管理运

20、筹学管理运筹学”软件进行计算，计算机计算结果显示软件进行计算，计算机计算结果显示在图在图4-14-1中。详见上机计算中。详见上机计算。工时与成本 工时与成本 甲 甲 乙 乙 丙 丙每件铸造工时 每件铸造工时(小时 小时)5 5 10 10 7 7每件机加工工时 每件机加工工时(小时 小时)6 6 4 4 8 8 每件装配工时（小时 每件装配工时（小时)3 3 2 2 2 216 16广西大学王中昭制作目标函数最优值为：29400变量变量最优解最优解相差值相差值x116000 x116000 x202x202x3013.1x3013.1x400.5x400.5x56000 x56000 结果分析

21、：最大的利润为 结果分析：最大的利润为29400 29400 元，其最优的生产计划为全部由 元，其最优的生产计划为全部由自己生产的甲产品 自己生产的甲产品1600 1600 件，铸造外协、其余自制生产乙产品 件，铸造外协、其余自制生产乙产品600 600 件，件，而丙产品不生产。从相差值一栏中可知，如果全部由自己生产的乙 而丙产品不生产。从相差值一栏中可知，如果全部由自己生产的乙产品的利润再增加 产品的利润再增加2 2 元达到每件 元达到每件12 12 元利润，那么全部自制的乙产品 元利润，那么全部自制的乙产品才有可能上马生产，否则乙产品还是铸造外协、其余自制的利润更 才有可能上马生产，否则乙

22、产品还是铸造外协、其余自制的利润更大。同样丙产品的利润要再增加 大。同样丙产品的利润要再增加13.1 13.1 元达到每件利润 元达到每件利润20.1 20.1 元，丙产 元，丙产品才有可能上马生产；铸造外协、其余自制的甲产品利润再增加 品才有可能上马生产；铸造外协、其余自制的甲产品利润再增加0.5 0.5元达到 元达到13.5 13.5 元，才有可能上马生产。元，才有可能上马生产。17 17广西大学王中昭制作约束约束 松驰松驰/剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格100.3100.3202.25202.25340000340000从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为从对偶价格栏可知铸造每工时的

23、对偶价格为0.30.3元，元，机加工每工时的对偶价格为机加工每工时的对偶价格为2.252.25元，装配每工时的对偶元，装配每工时的对偶价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价（例如外协铸造工时价格低于（例如外协铸造工时价格低于0.30.3元，则外协铸造合算元，则外协铸造合算)。同样如果有人要购买该公司的铸造与机加工的工时，则同样如果有人要购买该公司的铸造与机加工的工时，则出价必须扣除成本外，还必须高于其对偶价格，否则就出价必须扣除成本外，还必须

24、高于其对偶价格，否则就不宜出售。至于装配每工时的对偶价格为零，这是由于不宜出售。至于装配每工时的对偶价格为零，这是由于在此生产计划下还有在此生产计划下还有40004000个装配工时没有完。个装配工时没有完。注意注意:从计算中可知从计算中可知,如果把如果把松驰或者松驰或者剩余变量看作变量剩余变量看作变量时引入模型时，对偶价格实际上是时引入模型时，对偶价格实际上是松驰或者松驰或者剩余变量剩余变量的的相差值的绝对值。相差值的绝对值。18 18广西大学王中昭制作对偶价格不是市对偶价格不是市场价格，在作市场决场价格，在作市场决策时，某种资源市场策时，某种资源市场价格低于对偶价格时，价格低于对偶价格时，可

25、适量买进这种资源，可适量买进这种资源，组织和增加生产。相组织和增加生产。相反当市场价格高于对反当市场价格高于对偶价格时，可以卖出偶价格时，可以卖出资源而不安排生产或资源而不安排生产或提高产品的价格。提高产品的价格。注意啊！19 19广西大学王中昭制作目标函数系数范围：目标函数系数范围：变量变量下限下限当前值当前值上限上限X11415X11415无上限无上限X2X2无下限无下限10121012X3X3无下限无下限720.1720.1X4X4无下限无下限1313.51313.5X58.667910X58.667910从目标函数决策变量系数一栏中知道，当全部从目标函数决策变量系数一栏中知道，当全部自

26、己生产的每件甲产品的利润在自己生产的每件甲产品的利润在1414到到+内变化时，内变化时，其最优解不变；全部自己生产的每件乙产品的利润其最优解不变；全部自己生产的每件乙产品的利润只要不超过只要不超过1212元，则其最优解不变；当每件丙产品元，则其最优解不变；当每件丙产品的利润不超过的利润不超过20.120.1元时，则其最优解不变；当铸造元时，则其最优解不变；当铸造外协其余自制的每件甲产品的利润不超过外协其余自制的每件甲产品的利润不超过13.513.5元时，元时，其最优解不变；当铸造外协，其余自制的每件乙产其最优解不变；当铸造外协，其余自制的每件乙产品的利润在品的利润在8.6678.667到到10

27、10元内变化时，则其最优解不变。元内变化时，则其最优解不变。在这里当某产品利润变化时都假设其余产品的利润在这里当某产品利润变化时都假设其余产品的利润是不变的。是不变的。20 20广西大学王中昭制作常数项范围约束下限当前值上限108000100002960012000200003600010000无上限从约束条件右边常数变化范围栏可知，当铸造工时在0到10000小时间变化时其对偶价格都为0.3元；当机加工工时在9600到20000小时内变化时，其对偶价格都为2.25元；当装配工时在6000到+内变化时，其对偶价格都为零。也就是说当常数项超出上面的范围时其对偶价格可能已变，这时某种资源的市场价格与

28、对偶价格的关系随之发生变化。21 21广西大学王中昭制作永久机械厂生产永久机械厂生产、三种产品。每种产三种产品。每种产品均要经过品均要经过AA、BB两道工序加工。设该厂有两种规两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成格的设备能完成AA工序，它们以工序，它们以AA11、AA22表示；有三表示；有三种规格的设备能完成种规格的设备能完成BB工序，它们以工序，它们以BB11，BB22，BB33表表示。产品示。产品可在可在AA、BB的任何规格的设备上加工。产的任何规格的设备上加工。产品品可在任何一种规格的可在任何一种规格的AA设备上加工，但完成设备上加工，但完成BB工序时，只能在工序时，只能在BB11

29、设备上加工。产品设备上加工。产品只能在只能在AA22与与BB22设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效台时以及满负荷操作时的设备费用如表台时以及满负荷操作时的设备费用如表4444示，示，要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大。要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大。例422 22广西大学王中昭制作表4-4设设备备产品单件工时产品单件工时设备的设备的有效台有效台时时满负荷时满负荷时的设备费的设备费用用AA1155101060006000300300AA227799

30、12121000010000321321BB11668840004000250250BB2244111170007000783783BB337740004000200200原料单价原料单价(元件元件)0.250.250.350.350.50.5销售单价销售单价(元件元件)1.251.25222.82.823 23广西大学王中昭制作解：设 解：设X Xijk ijk表示第 表示第i i 种产品在第 种产品在第j j 种工序上 种工序上(A(A 工序用 工序用1 1 表示，表示，B B 工序用 工序用2 2 表示 表示)的第 的第k k 种设备上加工的数量。如 种设备上加工的数量。如x x123

31、123表示第 表示第 种产品在 种产品在B B 道工 道工序上用 序上用B B3 3设备加工的数量。则约束 设备加工的数量。则约束5x 5x111 111+10 x+10 x211 2116000 6000，(设备 设备A A1 1)7x 7x112 112+9x+9x212 212+12x+12x312 31210000 10000，(设备 设备A A2 2)6x 6x121 121+8x+8x221 2214000 4000，(设备 设备B B1 1)，4x 4x122 122+11x+11x322 3227000(7000(设备 设备B B2 2),),7x 7x123 1234000(

32、4000(设备 设备B B3 3)设备产品单件工时产品单件工时设备的设备的有效台有效台时时满负荷时满负荷时的设备费的设备费用用 AA115,X5,X11111110,X10,X21121160006000300300AA227,X7,X1121129,X9,X21221212,X12,X3123121000010000321321BB116,X6,X1211218,X8,X22122140004000250250BB224,X4,X12212211,X11,X32232270007000783783BB337,X7,X1231234000400020020024 24广西大学王中昭制作设 设X

33、 Xijk ijk表示第 表示第i i 种产品在第 种产品在第j j 种工序上 种工序上(A(A 工序用 工序用1 1 表示，表示，B B 工序用 工序用2 2 表 表示 示)的第 的第k k 种设备上加工的数量。恒等约束：种设备上加工的数量。恒等约束：X X111 111+X+X112 112-X-X121 121-X-X122 122X X123 123=0=0，(产品在 产品在A A、B B 工序上加工的数 工序上加工的数量相等 量相等)X X211 211+X+X212 212-X-X221 221=0,(=0,(产品在 产品在A A、B B 工序上加工的数量相等 工序上加工的数量相等

34、)X X312 312-X-X322 322=0,(=0,(产品在 产品在A A、B B 工序上加工的数量相等 工序上加工的数量相等)设备产品单件工时产品单件工时设备的设备的有效台有效台时时满负荷时满负荷时的设备费的设备费用用 AA115,X5,X11111110,X10,X21121160006000300300AA227,X7,X1121129,X9,X21221212,X12,X3123121000010000321321BB116,X6,X1211218,X8,X22122140004000250250BB224,X4,X12212211,X11,X322322700070007837

35、83BB337,X7,X12312340004000200200应该是0 才合理25 25广西大学王中昭制作设 设 备 备 产品单件工时 产品单件工时 设备的有 设备的有效台时 效台时满负荷时的 满负荷时的设备费用 设备费用 A A1 15,X 5,X111 11110,X 10,X211 2116000 6000 300 300A A2 27,X 7,X112 1129,X 9,X212 21212,X 12,X312 31210000 10000 321 321B B1 16,X 6,X121 1218,X 8,X221 2214000 4000 250 250B B2 24,X 4,X1

36、22 12211,X 11,X322 3227000 7000 783 783B B3 37,X 7,X123 1234000 4000 200 200原料单价 原料单价(元件 元件)0.25 0.25 0.35 0.35 0.5 0.5销售单价 销售单价(元件 元件)1.25 1.25 2 2 2.8 2.8应该是1.25(X121+X122+X123)-0.25(X111+X112)才合理。26 26广西大学王中昭制作设 设 备 备 产品单件工时 产品单件工时 设备的有 设备的有效台时 效台时满负荷时的 满负荷时的设备费用 设备费用 A A1 15,X 5,X111 11110,X 10,

37、X211 2116000 6000 300 300A A2 27,X 7,X112 1129,X 9,X212 21212,X 12,X312 31210000 10000 321 321B B1 16,X 6,X121 1218,X 8,X221 2214000 4000 250 250B B2 24,X 4,X122 12211,X 11,X322 3227000 7000 783 783B B3 37,X 7,X123 1234000 4000 200 20027 27广西大学王中昭制作5x5x111111+10 x+10 x21121160006000，(设备设备AA11)7x7x11

38、2112+9x+9x212212+12x+12x3123121000010000，(设备设备AA22)6x6x121121+8x+8x22122140004000，(设备设备BB11)，4x4x122122+11x+11x3223227000(7000(设备设备BB22),),7x7x1231234000(4000(设备设备BB33)XX111111+X+X112112-X-X121121-X-X122122XX123123=0=0，(产品在产品在AA、BB工序上加工序上加工的数量相等工的数量相等)XX211211+X+X212212-X-X221221=0,(=0,(产品在产品在AA、BB工

39、序上加工的数量工序上加工的数量相等相等)XX312312-X-X322322=0,(=0,(产品在产品在AA、BB工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等)28 28广西大学王中昭制作模型 将模型输入计算机x111=1200，x112=230.0492，X211=0，X212=500，X312=324.138，X121=0，X221=500，X122=858.6206，X322=324.138，X123=571.4286,最优值为1146.6。29 29广西大学王中昭制作由于本题要求的决策变量的单位是件，所以答案应该是整数。本题与例1、例2、例3实质上都是整数规划的问题，但是这类问题可以作为线

40、性规划的问题来解，有些如例1，例2，例3的答案都是整数，而有些如本题答案是非整数，可以将答案舍入成整数也可能得到满意的结果。如本题如果用软件的整数规划的来解，得到的答案为x111=1200，x112=230，X211=0，X212=500，X312=324，X121=0，X221=500，X122=859，X322=324，X123=571.最优值为1146.3622。其最优解正好与四舍五入线性规划结果一样的。两种方法的最优值也相差无几，只差0.3元。30 30广西大学王中昭制作 本问题最优的方案为生产 本问题最优的方案为生产 产品 产品1430 1430 件 件（X X111 111+X+X

41、112 112=1200+230=X=1200+230=X121 121+X+X122 122+X+X123 123=0+859+571=1430)=0+859+571=1430)，产品第 产品第A A 道工序由 道工序由A A1 1设备加工 设备加工1200 1200 件，由 件，由A A2 2设备加工 设备加工230 230 件。件。产品的第 产品的第B B 道工序由 道工序由B B2 2设备加工 设备加工859 859 件，由 件，由B B3 3设备加工 设备加工571 571 件。件。生产 生产 产品 产品500 500 件，它的第 件，它的第A A 道工序全部由 道工序全部由A A2

42、 2设备加工，它的 设备加工，它的第 第B B 道工序全部由 道工序全部由B B1 1设备加工。设备加工。X X212 212=X=X221 221=500=500。生产 生产 产品 产品324 324 件，其第 件，其第A A 道工序全部由 道工序全部由A A2 2加工，其第 加工，其第B B 道工 道工序全部由 序全部由B B2 2设备加工，设备加工，X X312 312=X=X322 322=324=324，这样能使工厂获得最大利，这样能使工厂获得最大利润 润1146.3 1146.3 元。元。生产数量 生产数量 A A1 1X X111 111=1200=1200 X X211 211

43、=0=0A A2 2X X112 112=230=230 X X212 212=500=500 X X312 312=324=324B B1 1X X121 121=0=0 X X221 221=500=500B B2 2X X122 122=859=859 X X322 322=324=324B B3 3X X123 123=571 57131 31广西大学王中昭制作如果分别按实际产品和原材料来计算则有：Maxz=-0.5x111-0.6352x112-0.85x211-0.6389x212-Maxz=-0.5x111-0.6352x112-0.85x211-0.6389x212-0.885

44、2x312+0.875x121+0.8024x122+0.9x123+1.5x221+1.0.8852x312+0.875x121+0.8024x122+0.9x123+1.5x221+1.5691x3225691x3225x5x111111+10 x+10 x21121160006000，(设备设备AA11)7x7x112112+9x+9x212212+12x+12x3123121000010000，(设备设备AA22)6x6x121121+8x+8x22122140004000，(设备设备BB11)，4x4x122122+11x+11x3223227000(7000(设备设备BB22),)

45、,7x7x1231234000(4000(设备设备BB33)XX111111+X+X112112-X-X121121-X-X122122XX12312300，(产品在产品在AA工序加工的工序加工的数量大于数量大于BB加工的数量加工的数量)XX211211+X+X212212-X-X2212210,(0,(产品在产品在AA工序上加工数量天于工序上加工数量天于BB的数量的数量)XX312312-X-X3223220,(0,(产品在产品在AA工序上加工的数量大于工序上加工的数量大于B)B)32 32广西大学王中昭制作结果如下：本问题最优的方案为生产本问题最优的方案为生产产品产品12001200件件（

46、XX111111+X+X112112=1200+0=X=1200+0=X121121+X+X122122+X+X123123=0+628.572+571.428=1200)=0+628.572+571.428=1200)，产品第产品第AA道工序由道工序由AA11设备加工设备加工12001200件，由件，由AA22设备加工设备加工00件。件。产品的第产品的第BB道工序由道工序由BB22设备加工设备加工628.572628.572件，由件，由BB33设备加工设备加工571.428571.428件。件。生产生产产品产品500500件，它的第件，它的第AA道工序全部由道工序全部由AA22设备加设备加工

47、，它的第工，它的第BB道工序全部由道工序全部由BB11设备加工。设备加工。XX212212=X=X221221=500=500。生产生产产品产品324324件，其第件，其第AA道工序全部由道工序全部由AA22加工，其加工，其第第BB道工序全部由道工序全部由BB22设备加工，设备加工，XX312312=X=X322322=407.79=407.79，这样，这样能使工厂获得最大利润能使工厂获得最大利润1128.0911128.091元。比上方法要少。此元。比上方法要少。此法合理。法合理。33 33广西大学王中昭制作 某工厂要做某工厂要做100100套钢架，每套用长为套钢架，每套用长为2.9m2.9

48、m，2.1m2.1m和和1.5m1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m7.4m，问，问应如何下料，可使所用原料最省。应如何下料，可使所用原料最省。F解：最简单的做法是，在每根原材料上截取解：最简单的做法是，在每根原材料上截取2.9m2.9m、2.1m2.1m和和1.5m1.5m的圆钢各一根组成一套，每根原材料省下料的圆钢各一根组成一套，每根原材料省下料头头0.9m0.9m。为了做。为了做100100套钢架，需要原材料套钢架，需要原材料100100根，共有根，共有90m90m的料头。若改用套裁可以节约不少原材料，为了找的料头。若改用套裁可以节约不少原材料，为了找

49、到一个省料的套裁方案，先设计出较好的几个下料方案，到一个省料的套裁方案，先设计出较好的几个下料方案，所谓较好，第一要求每个方案下料后的料头较短，第二所谓较好，第一要求每个方案下料后的料头较短，第二要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，并且要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，并且不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。这样套裁才能这样套裁才能满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的。为满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的。为此设计出以下此设计出以下55种下料方案以供套裁用。见表种下料方案以供套裁用。见表4545。例例554.3、套裁下料问

50、题34 34广西大学王中昭制作表45。下料数下料数方案方案（根）（根）长度长度2.92.911220011002.12.100002222111.51.53311220033合计合计 7.47.47.37.37.27.27.17.16.66.6料头料头 000.10.10.20.20.30.30.80.8设设y1,y2,y3y1,y2,y3三种圆钢三种圆钢2.9m2.9m，2.1m,1.5m2.1m,1.5m切割根数切割根数,则应满足则应满足2.9y1+2.1y2+1.5y37.42.9y1+2.1y2+1.5y37.4，其切割方案很多，如果要求料头，其切割方案很多，如果要求料头不超过最短的不