概率论与数理统计c.ppt

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1、2023/5/201概概率率一、概率一、概率一、概率一、概率概率概率是刻划随机事件发生是刻划随机事件发生可能性大小的数量指标可能性大小的数量指标。事件事件A A的概率的概率记为记为P P(A A),),常规定常规定 0 0 P P(A A)1 1 P P()=1 )=1 P P()=0)=0它不依主观它不依主观变化而变化变化而变化例如例如如何计算如何计算概率概率?摸摸球球试试验验抛骰子试验抛骰子试验 1.2概概率率2023/5/202概概率率二、古典概率二、古典概率赌徒分赌金问题赌徒分赌金问题定义定义:设设E E是一个随机试验是一个随机试验,若它满足以下两个条件：若它满足以下两个条件：(1)(

2、1)仅有仅有有限多个有限多个基本事件；基本事件；(2)(2)每个基本事件发生的每个基本事件发生的可能性相等可能性相等。则称则称E E 古典概型的试验古典概型的试验。古典概率的起源古典概率的起源掷骰子试验掷骰子试验例如：例如：2023/5/203概概率率定义：定义：设试验设试验E E为古典概型试验，为古典概型试验，A Ai i，i i=1,2,=1,2,n n是是基本事件基本事件,则由则由样本空间的样本点总数样本空间的样本点总数所含样本点的数目所含样本点的数目基本事件总数基本事件总数所含基本事件个数所含基本事件个数AAAP=)(所确定的概率称为事件所确定的概率称为事件A A的古典概率的古典概率.

3、鸽笼问题鸽笼问题摸彩试验摸彩试验注注：在古典概率的计算中常用到：在古典概率的计算中常用到排列组合的知识排列组合的知识，如如乘法原理乘法原理、加法原理加法原理等等。等等。用样本空间求概率用样本空间求概率2023/5/204概概率率古典概率具有如下三个古典概率具有如下三个性质性质：(1)对任意事件对任意事件A A，有有00P P(A A)1)1；(2)(2)P P(W W)=1)=1；(3)(3)若若A A1 1，A A2 2，A An n互不相容，则互不相容，则=miimiiAPAP11)()(U思考：思考：古典概率能否解决所有的随机问题？古典概率能否解决所有的随机问题？抛硬币试验抛硬币试验仪器

4、寿命试验仪器寿命试验例如：例如：2023/5/205概概率率三、频率三、频率定义：定义：在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n n次试验，事件次试验，事件A A发生发生了了m m次，称比值次，称比值为事件为事件A A发生的频率。发生的频率。nmAfn=)(频率频率从一定程度上反映了事件发生可能性的大小。它从一定程度上反映了事件发生可能性的大小。它随着随着试验的次数、试验者的不同会有所不同试验的次数、试验者的不同会有所不同。抛硬币试验抛硬币试验频率的应用频率的应用例如：例如：注注：频率不是概率，但在某种意义下，频率稳定频率不是概率，但在某种意义下，频率稳定 于概率。于概率。2023/5/20

5、6概概率率四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义定义：定义：设设E的样本空间为的样本空间为W W，对于对于E的每个事件的每个事件A，均均对应于唯一一个实数，记为对应于唯一一个实数，记为P(A)，其对应规则为其对应规则为1.(非负性非负性)对任一事件对任一事件A,有有0P(A)1;2.(规范性规范性)P(W W)=1;3.(可列可加性可列可加性)E的事件列的事件列A1,A2,互不相容互不相容,则则=11)()(iiiiAPAPU由公理化定义可以得到如下重要性质由公理化定义可以得到如下重要性质:2023/5/207概概率率基本性质基本性质:1.不可能事件的概率为不可能事件的概率为0,即即P(f

6、f)=0;2.(有限可加性有限可加性)若试验若试验E的事件组的事件组A1,A2,Am互不互不相容相容,则有则有=miimiiAPAP11)()(U3.对立事件概率和为对立事件概率和为1,即即P(A )+P(A)=1;成立成立.则有则有满足满足和和若事件若事件概率单调性概率单调性)()()(),()(,)(.4APBPABPBPAPBABA-=-2023/5/208概概率率概率加法定理概率加法定理:对试验对试验E E 的任意两个事件的任意两个事件A A 和和B B 有有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)BAAB概率的公理化定义及性质，为概率的计算提供了更完概率的公理化定义及性质，为概率的

7、计算提供了更完善的理论依据善的理论依据.古典概率是公理化定义的特例古典概率是公理化定义的特例.抽检试验抽检试验例如：例如：补补充充例例题题多多除除少少补补2023/5/209例例1抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。我们通过实践与分析可得：我们通过实践与分析可得：出现的点数为出现的点数为1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6的可能性都的可能性都是相等的。是相等的。概概率率的的客客观观性性2023/5/2010例例2从从10个标有号码个标有号码1,2,10的小球中任取一个的小球中任取一个,记录所得小球的号码。记录所得小球的号码。123109876

8、54?我们可得：摸我们可得：摸出任一号码的出任一号码的小球的可能性小球的可能性是相同的，这是相同的，这是客观存在的是客观存在的事实。事实。概概率率的的客客观观性性2023/5/2011例例3抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面和反面T的情况。的情况。通过实践与分析可得：硬币出现正面的可能性通过实践与分析可得：硬币出现正面的可能性等于它出现反面的可能性。等于它出现反面的可能性。历史上几位著名科学家的试验结果历史上几位著名科学家的试验结果:实验者实验者抛掷次数抛掷次数 出现正面次数出现正面次数m/n德德.摩根摩根204810610.5181蒲丰蒲丰404020480.506

9、9皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼30000149940.4998频频 率率2023/5/2012例例4圆周率圆周率p p 的计算。的计算。刘徽刘徽(公元公元263年，割圆术年，割圆术)p p =3927/1250=3.1416=3927/1250=3.1416。祖冲之祖冲之(429500)3.1415926p p 3.1415927 3.1415927。威廉威廉.向克斯：用向克斯：用20年时间于年时间于1872年将年将p p 算到小数算到小数后后707位位。法格逊怀疑向克斯的结果，用了一年的时间，发法格逊怀疑向克斯的结果，用了一年的时间，发现向克斯现向克斯p p 只有前只

10、有前527位是正确的位是正确的。法格逊猜想：在法格逊猜想：在p p 的数值中各数码的数值中各数码0,1,9出现的出现的可能性大小应当相等可能性大小应当相等。1937年，法国学者对年，法国学者对p p 的前的前100万位小数中各数码的万位小数中各数码的频率统计结果表明，尽管各数字出现也有起伏，但频率统计结果表明，尽管各数字出现也有起伏，但频率都稳定于频率都稳定于1/10。频频率率的的应应用用2023/5/2013向克斯向克斯的前的前608位的各数码出现频率位的各数码出现频率 数码数码出现次数出现次数出现频率出现频率 0 60 0.099 1 62 0.102 2 67 0.110 3 68 0.

11、112 4 64 0.105 5 56 0.092 6 62 0.102 7 44 0.072 8 58 0.095 9 67 0.1102023/5/2014的前一百万位中各数码出现的频率的前一百万位中各数码出现的频率 数码数码出现次数出现次数出现频率出现频率 0 99959 0.1000 1 99758 0.0998 2 100026 0.1000 3 100229 0.1002 4 100230 0.1002 5 100359 0.1003 6 99548 0.0995 7 99800 0.0998 8 99985 0.1000 9 100106 0.10012023/5/2015有两个

12、赌徒相约赌若干局，谁先赢有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢了，局就算赢了，当赌徒当赌徒A赢赢a局局(as)，而赌徒而赌徒B赢赢b局局(bs)时，赌时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？博中止，那赌本应怎样分才合理呢？在三年後，即在三年後，即1657年，荷兰的另一数学家年，荷兰的另一数学家Higgins亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的论论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望望mathematicalexpectati

13、on 这一概念，并由此奠这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。定了古典概率论的基础。而且他们给出了该问题的正确解法。而且他们给出了该问题的正确解法。古古典典概概率率2023/5/2016 这是一个古典概型的随机试验。这是一个古典概型的随机试验。因为该试验的基本事件有因为该试验的基本事件有6 6个：个：w wi i=出现的点数为出现的点数为i i =i =1,2,.,6 1,2,.,6 而且基本事件而且基本事件 w w1 1、w w2 2,.,.w w6 6 发生的可能发生的可能性相等。性相等。古古典典概概率率例例1抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况

14、。2023/5/2017例例7一个鸽场养了一个鸽场养了n只鸽子，每只鸽子都等可能的只鸽子，每只鸽子都等可能的飞入飞入N 个鸽笼中的任意一个去住个鸽笼中的任意一个去住(nN)，求下事件发求下事件发生的概率。生的概率。（1）指定的）指定的n个鸽笼各有一只鸽子去住；个鸽笼各有一只鸽子去住；（2）恰好有）恰好有n个鸽笼，每个各有一只鸽子。个鸽笼，每个各有一只鸽子。分析：分析：在解决这类问题时，当样本点很少时，我们可在解决这类问题时，当样本点很少时，我们可以把它全部写出来，再来计算所求事件包含的样本点以把它全部写出来，再来计算所求事件包含的样本点数。当样本点很多时，我们可以利用排列组合的知识数。当样本点

15、很多时，我们可以利用排列组合的知识求出样本点总数和所求事件包含的样本点数。求出样本点总数和所求事件包含的样本点数。古古典典概概率率2023/5/2018解：解：设设A=指定的指定的n 个鸽笼各有一只鸽子个鸽笼各有一只鸽子B=恰好有恰好有n 个鸽笼，每个各有一只鸽子个鸽笼，每个各有一只鸽子由乘法原理可知，基本事件总数为由乘法原理可知，基本事件总数为N n。指定的指定的n个鸽笼各有一只鸽子，有个鸽笼各有一只鸽子，有n!个不同的住法。个不同的住法。故故n!)(NnAP=从从N 个鸽笼中任意选出个鸽笼中任意选出n 个，有个，有种不同的方法，种不同的方法，选出的选出的n个鸽笼各有一只鸽子，有个鸽笼各有一

16、只鸽子，有n!个不同的住法。个不同的住法。故故CnN)!(!)(nNNNNnCBPnnnN-=古古典典概概率率2023/5/2019例例8袋中有袋中有10个小球，个小球，4个红的，个红的，6个白的，求个白的，求（1）有放回地从中依次取）有放回地从中依次取3球球,取得取得“2红红1白白”的概率。的概率。（2）不放回地从中依次取）不放回地从中依次取3球球,取得取得“2红红1白白”的概率。的概率。解解:设想设想10个球依次编为个球依次编为1，2，3，10。（1）有放回抽样。）有放回抽样。样本点总数为样本点总数为N=101010=10364223C数为数为r =所求事件包含的样本点所求事件包含的样本点

17、是是三次抽三次抽取中选取中选出两次出两次取到红取到红球球23C288.010643223=C)(=NrAP所以所以古古典典概概率率2023/5/2020（2）无放回抽样。）无放回抽样。解法一：解法一：N=1098=P3103423Cr =6r)(=NAP=0.3r)(=NAP=0.324Cr =16C解法二：解法二：N=C310注意注意：例子中的基本事件的结构有什么变化。：例子中的基本事件的结构有什么变化。古古典典概概率率2023/5/2021例例9抛一枚抛一枚质量分布不均匀质量分布不均匀的硬币，观察其出现正面的硬币，观察其出现正面H和反面和反面T的情况。的情况。这不是一个古典概型的随机试验。

18、这不是一个古典概型的随机试验。因为该试验的基本事件只有两个：因为该试验的基本事件只有两个：w w1 1=出现正面出现正面H,w w2 2=出现反面出现反面T。但基本事件但基本事件 w w1 1、w w2 2 发生的可能性发生的可能性不相等。不相等。概概率率的的公公理理化化定定义义2023/5/2022例例1010 仪器上某种型号的电子元件使用时间已达仪器上某种型号的电子元件使用时间已达3030小时，小时，测该元件还能使用多少小时？测该元件还能使用多少小时？该试验不是古典概型的随机试验，因为它的样本该试验不是古典概型的随机试验，因为它的样本空间有无数多个样本点。空间有无数多个样本点。概概率率的的

19、公公理理化化定定义义2023/5/2023例例11设设50件产品中有件产品中有5件是次品，其余的是合格品，件是次品，其余的是合格品，从中任取从中任取3件，求选到的件，求选到的3件产品中有次品的概率。件产品中有次品的概率。解法一：解法一：设设A=选到的选到的3件产品中有次品件产品中有次品，Ai=选到的选到的3件产品中有件产品中有i 件次品件次品，i=1,2,3。则则A1，A2，A3互不相容。并且有互不相容。并且有A=A1A2A3。所以有所以有2761.0350353501452535024515+=CCCCCCCC)()()()(321+=APAPAPAP概概率率的的公公理理化化定定义义2023

20、/5/2024有有解法二：解法二：考虑考虑A的对立事件的对立事件A=选到的选到的3件产品全是合格品件产品全是合格品7239.0)(350345=CCAP从而从而2761.0=7239.01-)(1)(-=APAP概概率率的的公公理理化化定定义义2023/5/2025利利 用用 样样 本本 空空 间间 求求 P例例:将两颗均匀骰子抛掷一次将两颗均匀骰子抛掷一次,求两颗骰求两颗骰子点数之和不为子点数之和不为7,11的概率的概率.n解解:设设=(1,1)(1,2)(6,6)nA=两颗骰子点数之和为两颗骰子点数之和为7,11np(A)=8/36=2/9n所求概率所求概率p=（36-8）/36=7/9能

21、将样本空间定义为能将样本空间定义为:=2,.,12吗吗?为什么为什么?2023/5/2026例例n个朋友随机地围绕圆桌而坐个朋友随机地围绕圆桌而坐,求其中求其中甲乙二人坐在一起甲乙二人坐在一起(相邻相邻)的概率的概率.补补充充例例题题解法一解法一:n个朋友随机地围绕圆桌而坐个朋友随机地围绕圆桌而坐,共有共有(n-1)!种不同坐法种不同坐法.甲乙二人坐在一起有甲乙二人坐在一起有2*(n-2)!种坐法种坐法.所求概率所求概率p=解法二解法二:设甲已经坐好设甲已经坐好,考虑乙的坐法考虑乙的坐法.乙的每一乙的每一种种可能坐法对应一个基本事件可能坐法对应一个基本事件,共有共有(n-1)种可能种可能.甲甲乙坐在一起有乙坐在一起有2种坐法种坐法.所求概率所求概率p=2/(n-1)2023/5/2027补补充充例例题题例例:从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只只,求这求这4只只鞋子中至少有两只鞋子配成一对的概率鞋子中至少有两只鞋子配成一对的概率.解解:设设A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一对只鞋子中至少有两只鞋子配成一对解法解法1:直接计算直接计算.2023/5/2028A 解法解法2:利用利用p(A)=1-p()补补充充例例题题