[优选文档]函数模型及函数的综合应用PPT.pptx

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1、函数模型及函数的综合应用文档pptA A组组自主命题自主命题北京卷题组北京卷题组1.(2015北京,8,5分,0.85)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()五年高考A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案答案D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对

2、于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80110=8(升),则C错;对于选项D:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.思路分析思路分析先认真审题,对燃油效率的定义要有清楚的认识,然后通过图象中的信息,依次对选项进行判断.2.(2015北京文,8,5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路

3、程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600答案答案B根据题意可知5月1日至5月15日这段时间的行程为35600-35000=600千米,耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为48(100600)=8升.B B组组统一命题、省统一命题、省(区、市区、市)卷题组卷题组考点一函数的实际应用考点一函数的实际应用1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为

4、()A.B.C.D.-1答案答案D设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x0,因此x=-1,故选D.2.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x=,y=.答案答案8;11解析解析把z=81代入方程组,化简得解得x=8,y=11.3.(2015四川,13,5分)某食品的

5、保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是小时.答案答案24解析解析依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb,所以e22k=,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb=192=24(小时).评析评析本题考查了函数的应用,考查转化与化归的数学思想.考点二函数的综合应用考点二函数的综合应用(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(xR),对函数y=g(x)(xI

6、),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(xI),y=h(x)满足:对任意xI,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x,f(x)对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.答案答案(2,+)解析解析函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0,f(x0)是点(x0,h(x0)和点(x0,g(x0)连线的中点,又h(x)g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b0,即解

7、之得b2.所以实数b的取值范围为(2,+).评析评析本题考查新定义问题以及直线与圆的位置关系的应用.本题的易错点有两处:不能正确理解“对称函数”的定义,造成题目无法求解;忽视h(x)g(x)的隐含条件:直线f(x)=3x+b与半圆相离,且直线f(x)=3x+b在y轴上的截距b0.C C组组教师专用题组教师专用题组考点一函数的实际应用考点一函数的实际应用1.(2010北京,14,5分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.说明:“正方形PAB

8、C沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.解析解析由题意知正方形分别以A、B、C、P为旋转点滚动一次,P点轨迹重复出现,P点轨迹如图所示,故f(x)的最小正周期为4.y=f(x)在其两个相邻零点间的图形与x轴所围区域如图阴影部分所示.图形由两个半径为1的圆及两个边长为1的正方形和一个半径为的弓形组成,其面积S=212+2+()2-21=+2+-1=+1.答案答案4;+1命题立意命题立意本题考查了周期的定义及不规则图形的求解,分割法是求

9、解此题的关键.考查了学生分析问题、解决问题的能力.2.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度

10、的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)由(1)知,y=(5x20),则点P的坐标为,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.设g(t)=t2+,则g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.当t(5,10)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=1

11、0时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.评析评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.所以该股民购进的这支股票略有亏损.A组20162018年高考模拟基础题组219元D.解析t=0时,M=124,即a+24=124,解得a=100;常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()对于D,当点P运动到AP是直径时,y最大,此时,x=,符合题意.解析(1)由于a3,故对于B,在椭圆中,y与x的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;

12、(2)(i)求F(x)的最小值m(a);=0,=1,B符合;如果将四面体ABCD在平面内正投影的面积看成关于x的函数,记为S(x),则函数S(x)的最小值为;S(x)的最小正周期为.对任意x,都有f+f=001,即0,对任意a0,b0,若经过点(a,f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.(以

13、上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)考点二函数的综合应用考点二函数的综合应用解析解析(1)若Mf(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a,f(a),(,0),(b,-f(b)共线,=,=,可取f(x)=.(2)若Mf(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a,f(a),(b,-f(b)共线,=,化简得=,可取f(x)=x.2.(2016浙江,18,15分)已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)

14、在区间0,6上的最大值M(a).解析解析(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=(ii)当0 x2时,F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),当2

15、x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=评析评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.思路分析思路分析(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.A A组组2016201820162018年高考模拟年高考模拟基础题组基础题组(时间:25分钟分值:40分)选择题(每题5分,共40分)1.(2018北京门头沟一模,8)某电力公司在工程招标中是根据技术、商务

16、、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:三年模拟总分技术商务报价100%50%10%40%当t(10,20)时,g(t)0,g(t)是增函数;179元B.考查了学生分析问题、解决问题的能力.解析t=0时,M=124,即a+24=124,解得a=100;图形由两个半径为1的圆及两个边长为1的正方形和一个半径为的弓形组成,其面积S=2(2016北京东城二模,6)一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品.因为xN*,所以x的最大值为16.当x-6,0时,保鲜时间恒为64小时,当x(0,6时,该食品的保鲜时间t随着x

17、的增大而逐渐减小,故错误;(2016浙江,18,15分)已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=85)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答案B由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.所以该股民购进的这支股票略有亏损.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,

18、B.报价标则相对灵活,报价标的评分方法:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价标则相对灵活,报价标的评分方法:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分为48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上(不含15%),每再低1%,在80分的基础上扣0.

19、8分.在某次招标中,基准价为1000万元.甲、乙两公司的综合得分如下表:公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的报价为1100万元,乙公司的报价为800万元,则甲,乙公司的综合得分分别是()A.73分,75.4分B.73分,80分答案答案A甲公司的报价为1100万元,高于基准价10%,所以扣8分,报价分为68-8=60分,所以甲公司的综合得分为8050%+9010%+6040%=73分;乙公司的报价为800万元,报价低于基准价20%,所以报价分为80-0.85=76分,所以乙公司的综合得分为7050%+10010%+7640%=75.4分,故选A.2.(2017北京东

20、城二模,7)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是()答案答案D对于A,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于B,在椭圆中,y与x的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;对于C,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于D,当点P运动到AP是直径时,y最大,此时,x=,符合题意.故选D.3.(2017北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数

21、除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y=B.y=C.y=D.y=答案答案B采用特值法.令余数分别为7或8,将两个临界值代入选项加以判断.=0,=0,排除A;=0,=1,B符合;=1,=1,排除C;=1,=1,排除D.故选B.4.(2016北京东城二模,6)一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20

22、元;优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价可能为()A.179元B.199元C.219元D.239元答案答案C设他购买的商品的标价为x元(x100),则解得200 x225,故选C.5.(2016北京朝阳一模,6)某工厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示,下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是31B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元(注:结余=收入-支出)答案答案DA、B、C均正确,D:前6个

23、月的平均收入为=45(万元).6.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了5次涨停(每次上涨10%),又经历了5次跌停(每次下跌10%),则该股民购进的这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案答案B设该股民购进这支股票的价格为a元,则(1+10%)5(1-10%)5a=0.995aa.所以该股民购进的这支股票略有亏损.故选B.7.(2016北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0

24、x100,xN*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.18答案答案B由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t(万元),则由解得0 x.因为xN*,所以x的最大值为16.8.(2016北京房山二模,8)为促进资源节约型和环境友好型社会建设,引导居民合理用电、节约用电,北京居民生活用电试行阶梯电价.其电价标准如下表:北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983(元

25、/千瓦时),则该用户1月份的用电量为()A.350千瓦时B.300千瓦时C.250千瓦时D.200千瓦时用户类别分档电量(千瓦时/户月)电价标准(元/千瓦时)试行阶梯电价的用户一档1240(含)0.4883二档241400(含)0.5383三档400以上0.7883答案答案B北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983(元/千瓦时),设该户居民月用电量为x千瓦时,则241x400,根据题意得2400.4883+(x-240)0.5383=0.4983x,解得x=300.所以B选项是正确的.B B组组2016201820162018年高考模拟年高考模拟综合题组综合题组(时间:20分钟分值

26、:30分)一、选择题(共5分)1.(2018北京房山一模,8)如图,直线AB与单位圆相切于点O,射线OP从OA出发,绕着点O逆时针旋转,在旋转的过程中,记AOP=x(0 x),OP经过的单位圆O内区域(阴影部分)的面积为S,记S=f(x),则下列判断正确的是()A.当x=时,S=-B.当x(0,)时,f(x)为减函数C.对任意x,都有f+f=D.对任意x,都有f=f(x)+答案答案C当x=时,S=-=+,故A错,f(x)显然是增函数,故B错;根据旋转的过程可得函数f(x)的图象关于x=对称,故D错,C正确.解后反思解后反思本题考查了函数的性质与实际问题的结合,通过几何图形得到函数的对称性、单调

27、性是关键.2.(2018北京东城一模,14)单位圆的内接正n(n3)边形的面积记为f(n),则f(3)=.下面是关于f(n)的描述:f(n)=sin;f(n)的最大值为;f(n)f(n+1);f(n)f(2n)2f(n).其中正确结论的序号为.(注:请写出所有正确结论的序号)二、填空题(每题5分,共25分)答案答案;解析解析单位圆的内接正n边形可拆解为n个等腰三角形,腰长为单位长度1,顶角为,每个三角形的面积为sin,所以正n边形的面积为f(n)=sin,所以正确,f(3)=sin=.正n边形的面积无法等于圆的面积,所以不对.随着n的值增大,正n边形的面积也越来越大,所以正确.当且仅当n=3时

28、,有2f(3)=f(6),由几何图形可知其他情况下都有f(2n)2f(n),所以正确.3.(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min时,测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓度为mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数t的值为.(参考数据:lg20.3010)解析解析t=0时,M=124,即a+24=124,解得a=100;t=1时,M=64,即ar+24=64,r=,即M(t)=100+24,将t=4代入得M

29、(4)=26.56.由题意得100+2424.001,即1000.001,即10-5,两边取以10为底的对数得tlg-5,t(lg2-lg5)-5,tlg2-(1-lg2)-5,t(2lg2-1),tmin=13.答案答案26.56;13解题思路解题思路先由已知条件求出M(t)=art+24的解析式,易得第一个空的答案,第二个空的难度主要是解对数不等式.解不等式时要注意lg0,否则非常容易出错.4.(2018北京朝阳二模,14)如图,已知四面体ABCD的棱AB平面,且AB=,其余的棱长均为1.四面体ABCD以AB所在的直线为轴旋转x弧度,且始终在水平放置的平面的上方.如果将四面体ABCD在平面

30、内正投影的面积看成关于x的函数,记为S(x),则函数S(x)的最小值为;S(x)的最小正周期为.答案答案;解析解析从侧面看,如图1,只需考虑BCD绕着B点旋转时,C,D两点在直线l上的投影.图1当旋转时,投影最短为,Smin=.随着旋转,S=图2当BCD第一次旋转到图2位置时,C,D两点在直线l上的投影又回到了图1,S(x)的最小正周期为.5.(2017北京房山一模,14)中华人民共和国个人所得税法规定:从2011年9月1日开始,个人所得税起征点由原来的2000元提高到3500元,也就是说原来月收入超过2000元的部分需要纳税,从2011年9月1日开始,超过3500元的部分需要纳税,若税法修改

31、前后超过部分的税率相同,按下表分段计税:级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1500元的部分32超过1500元不超过4500元的部分103超过4500元不超过9000元的部分20某职工2011年5月缴纳个人所得税295元,在收入不变的情况下,2011年10月该职工需缴纳个人所得税元.解析解析调整前,月收入为2000+1500=3500元时,需纳税15000.03=45元,月收入为3500+3000=6500元时,需纳税45+30000.1=345元,45295345,该职工的月收入超过3500元且不超过6500元,该职工在超过1500元不超过4500元的部分纳税295-45=250元,故超过

32、1500不超过4500元的部分为2500.1=2500元,该职工的月收入为3500+2500=6000元.2011年10月该职工需缴纳个人所得税15000.03+(6000-3500-1500)0.1=145元.答案答案145方法点拨方法点拨与实际生活有关的分段函数问题常要根据已知的函数值来求自变量,应抓住自变量的变化范围,求出相应的函数值的范围,判断所求问题应在哪个范围内解决.6.(2016北京西城期末,14)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系t=且该食品在4的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间的变

33、化如图所示.给出以下四个结论:该食品在6的保鲜时间是8小时;当x-6,6时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中,所有正确结论的序号是.解析解析该食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系t=且该食品在4的保鲜时间是16小时,24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,t=当x=6时,t=8,故该食品在6的保鲜时间是8小时,正确;当x-6,0时,保鲜时间恒为64小时,当x(0,6时,该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减小,故错误;到了此日10时,温度超过8,此时保鲜时间不超过4小时,故到了此日13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误;到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确.故正确结论的序号为.答案答案规律总结规律总结应用指数函数模型的关注点(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知的有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.感谢观看