清华数学实验第六章方程求根与最优化实验.ppt

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1、1/16 方程求根方法方程求根方法 函数求极值方法函数求极值方法 线性规划问题及求解线性规划问题及求解 思考题与练习题思考题与练习题方程求根与最优化实验方程求根与最优化实验2/16例例6.1求解求解 3 次方程次方程 x3+1=0 。求多项式根求多项式根(零点零点)方法方法:R=roots(P)P是多项式是多项式 P(x)=a1xn+a2 xn-1+an x+an+1系数系数a1,a2,an+1,R为多项式全部零点为多项式全部零点。求数值解求数值解P=1,0,0,1;R=roots(P)R=-1.0000 0.5000+0.8660i 0.5000-0.8660i求符号解求符号解 sym x;

2、solve(x3+1=0)ans=-1 1/2-1/2*i*3(1/2)1/2+1/2*i*3(1/2)3/16多项式求根方法多项式求根方法p=1-30 0 2552;roots(p)ans=26.3146 11.8615 -8.1761 r x例例6.3 球体的吃水深度球体的吃水深度.计算半径计算半径 r=10 cm的球体的球体,密密度度 =0.638.浸入水深度浸入水深度 x=?解解：重量重量体积体积 x3 30 x2+2552=0求函数零点方法求函数零点方法fun=inline(x.3-30*x.2+2552);x=fzero(fun,10)x=11.86154/16例例6.6 还贷问题

3、。从银行贷款还贷问题。从银行贷款100万元建生产流水线，一万元建生产流水线，一年后建成投产。投产后流水线每年创造利润年后建成投产。投产后流水线每年创造利润30万元，银万元，银行的年利率行的年利率 p=10%，计算多少年后公司可以盈利？计算多少年后公司可以盈利？function pay=debt(p,S)if nargin=0,p=0.1;S=100;endpay=S;k=1;S=S*(1+p);pay=pay,S;while S0 k=k+1;S=S*(1+p);S=S-30;pay=pay,S;end调用调用 debtans=100.0000 110.0000 91.0000 70.1000

4、 47.1100 21.8210 -5.9969第六年盈利第六年盈利 5.9969 万万5/16求一元函数最小值方法求一元函数最小值方法Xmin=fminbnd(fun，x1，x2)fun是目标函数是目标函数,x1，x2是最小值点搜索区间是最小值点搜索区间,Xmin是是目标函数的最小值点。目标函数的最小值点。例例6.7求一元函数求一元函数f(x)=0.5 x exp(x2)在区间在区间0，2内的最小值，并绘出函数图形标出最小值点。内的最小值，并绘出函数图形标出最小值点。fun=inline(0.5-x.*exp(-x.2);fplot(fun,0,2),hold onx0,y0=fminbnd

5、(fun,0,2)plot(x0,y0,o)x0=0.7071y0=0.0711 6/16温室温室例例6.9 花园靠楼房处有一温室花园靠楼房处有一温室,温室伸入花园温室伸入花园 2 米米,高高3米米.温室上方是楼房窗台温室上方是楼房窗台,要将梯子从花园地上放靠在要将梯子从花园地上放靠在楼房墙上不损坏温室，用楼房墙上不损坏温室，用 7 米长的梯子是否可行米长的梯子是否可行？解解:设梯子长度为设梯子长度为L,梯子与地面的梯子与地面的 夹角为夹角为 数学模型数学模型:L=inline(2./cos(alpha)+3./sin(alpha)x,Lmin=fminbnd(L,0.8,0.9)x=0.85

6、28Lmin=7.0235梯子长度基本可行。梯子长度基本可行。7/16最优化方法最优化方法从可行方案中寻求最优方案从可行方案中寻求最优方案在一些限制条件下在一些限制条件下,针对系统的某一指标寻找最优方针对系统的某一指标寻找最优方案。可表示为求某一函数在约束条件下的极大值案。可表示为求某一函数在约束条件下的极大值(或或极小值极小值)问题。问题。线性规划的数学模型线性规划的数学模型决策变量决策变量:X=x1,x2,xn T目标函数系数目标函数系数:C=c1,c2,cnT不等式约束矩阵和向量不等式约束矩阵和向量:A,b8/16例例6.13 建筑公司承建办公楼和住宅楼。建办公楼将获建筑公司承建办公楼和

7、住宅楼。建办公楼将获利润利润500元元/平方米，建住宅楼获利润平方米，建住宅楼获利润600元元/平方米。平方米。总建筑面积不少于总建筑面积不少于5000m2，办公楼的面积不能大于，办公楼的面积不能大于5000 m2，住宅楼不能大于，住宅楼不能大于3000m2。假定公司当年建办公楼假定公司当年建办公楼x1平方米平方米，建住宅楼建住宅楼x2平方米平方米。以所得利润最大为目标以所得利润最大为目标，得目标函数得目标函数 z=500 x1+600 x2根据招标单位的要求根据招标单位的要求,约束条件约束条件 x1+x2 5000 x1 5000 x2 3000 x1 0,x2 09/16求解线性规划命令使

8、用格式求解线性规划命令使用格式 (1)x=linprog(C,A,b)x,fval=linprog(C,A,b)(2)x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq)(3)x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)MATLAB中线性规划问题中线性规划问题标准形式标准形式C目标函数系数向量目标函数系数向量A约束条件系数矩阵约束条件系数矩阵b约束条件常数向量约束条件常数向量10/16解线性规划问题标准形式解线性规划问题标准形式min -(500 x1+600 x2)s.t.-x1-x2-5000 x1 5000 x2300

9、0 x10,x20 C=50 60 C=500,600;A=-1,-1;1,0;0,1;b=-5000;5000;3000;x=linprog(-C,A,b)z=C*xx=5000 3000z=4300000程序程序:结果结果:11/16一组决策变量一组决策变量(x1,x2,xn)表示表示某套方案某套方案;一组线性不等式或线性等式为约束条件一组线性不等式或线性等式为约束条件;以决策变量的线性函数作为目标函数以决策变量的线性函数作为目标函数.明确问题的目标明确问题的目标假设一组决策变量假设一组决策变量考虑目标函数考虑目标函数考虑约束条件考虑约束条件建立线性规划问题数学模型建立线性规划问题数学模型

10、:12/16例例6.15某工厂制造某工厂制造A、B两种产品两种产品，A每吨用煤每吨用煤9吨吨，电电4千瓦千瓦，3个工作日个工作日；制造制造B每吨用煤每吨用煤5吨吨,电电5千瓦千瓦，10个个工作日工作日。制造制造A和和B每吨分别获利每吨分别获利7000元和元和12000元元，该该厂可利用资源有煤厂可利用资源有煤360吨吨，电力电力200千瓦千瓦，工作日工作日300个个。问问A、B各生产多少吨获利最大。各生产多少吨获利最大。AB上限上限煤煤(吨吨)95360电电(千瓦千瓦)45200工作日工作日(天天)310300利润利润(千元千元)712数据列表分析数据列表分析13/16数学模型数学模型:设生产

11、设生产A产品数量产品数量x1，B产品数量产品数量x2。约束条件约束条件9x1+5x23604x1+5x22003x1+10 x2300 x10，x20记记 C=7,12 c=7 12;A=9 5;4 5;3 10;b=360;200;300;x=linprog(-c,A,b)z=c*xx=20 24z=428.00计划计划A产品生产产品生产20吨吨，B产品产品生产生产24吨吨.利润利润:428千元千元 14/16c=-7,-12;A=9 5;4 5;3 10;b=360;200;300;Aeq=;beq=;e0=0,0;e1=inf,inf;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,b

12、eq,e0,e1)Optimization terminated successfully.x=20.0000 24.0000fval=-428完整的线性规划高级程序完整的线性规划高级程序:结果结果:15/16思考题与练习题思考题与练习题1.对对“梯子问题梯子问题”中的数学模型中的数学模型2.用用MATLAB命令命令fminbnd()求一元函数极大值问题求一元函数极大值问题的过程有哪些操作步？的过程有哪些操作步？3.线性规划问题中的约束条件分为几类？线性规划问题中的约束条件分为几类？4.MATLAB求线性规划命令求线性规划命令linpro()需要哪些输入参需要哪些输入参数数,其中输入参数的前后

13、次序是如何规定的其中输入参数的前后次序是如何规定的用均值不等式做分析用均值不等式做分析,其结论是否与实验结论一致其结论是否与实验结论一致？16/165 某厂生产两种产品某厂生产两种产品,产一吨甲产品用产一吨甲产品用A资源资源 3吨、吨、B资资源源 4m3;产一吨乙产品用产一吨乙产品用A资源资源 2吨吨,B资源资源 6m3,C资源资源 7个单位个单位.一吨甲产品和乙产品分别价值一吨甲产品和乙产品分别价值7万元和万元和5万元万元,三种资源分别限制为三种资源分别限制为90吨、吨、200m3和和210个单位个单位.建立描建立描述生产两种产品使总价值最高的线性规划数学模型述生产两种产品使总价值最高的线性规划数学模型？