特征值与特征向量小结.ppt

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1、Chapter 4特征值与特征向量小结特征值与特征向量小结一、内容小结一、内容小结2.相似矩阵的定义与性质相似矩阵的定义与性质3.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件1.特征值特征向量的定义与性质特征值特征向量的定义与性质4.正交矩阵的定义与性质正交矩阵的定义与性质5.实对称矩阵特征值特征向量的性质实对称矩阵特征值特征向量的性质1.特征值特征向量的定义与性质特征值特征向量的定义与性质定义定义.(1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的(2)属于同一特征值的特征向量的非零线属于同一特征值的特征向量的非零线性性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征

2、值的特征向量(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值有非有非0解解.结论结论1.方阵方阵A的特征值的几何重数不超过的特征值的几何重数不超过它的代数重数它的代数重数.结论结论2.对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素即为其主对角线上的元素.结论结论3.结论结论4.结论结论5.若若 是矩阵是矩阵 A的特征值的特征值,x是是 A的属于的属于 的特征的特征向量向量,则则2

3、.相似矩阵的定义与性质相似矩阵的定义与性质3.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定理定理1.结论结论1.若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互不相等的特征值个互不相等的特征值,则则A与对角阵相似与对角阵相似.结论结论2.结论结论3.实对称矩阵一定可对角化实对称矩阵一定可对角化.4.正交矩阵的定义与性质正交矩阵的定义与性质若若P为正交矩阵为正交矩阵,则线性变换则线性变换y=Px称为正交变换称为正交变换.正交变换不改变向量的长度正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间也不改变两向量间的内积及夹角的内积及夹角.5.实对称矩阵特征值特征向量的性质实对称矩阵特征值特征向量的性质(1)(1)实对称矩阵的特征值

4、为实数实对称矩阵的特征值为实数.(2)(2)实对称矩阵的特征向量为实向量实对称矩阵的特征向量为实向量.(3)(3)实对称矩阵实对称矩阵A对应于不同对应于不同特征值的特征特征值的特征 向量是正交的向量是正交的.(4)(4)实对称矩阵的每个特征值的代数重数实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等与几何重数相等.定理定理.二、题型与方法二、题型与方法2.判别矩阵是否可对角化，判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其与对角阵相似找可逆矩阵使其与对角阵相似1.求特征值特征向量求特征值特征向量3.实对称矩阵的对角化（实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换可逆变换与正交变换）利用利用可逆矩阵可逆矩阵将实

5、对称矩阵对角化将实对称矩阵对角化,其具体步骤其具体步骤为：为：利用利用正交矩阵正交矩阵将实对称矩阵对角化将实对称矩阵对角化,其具体步骤其具体步骤为：为：1.求特征值特征向量求特征值特征向量Solution.Solution.Proof.?2.判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化ex4.判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？Solution.=其代数重数其代数重数.因而因而A可对角化可对角化.=其代数重数其代数重数.故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.且知且知A有一特征值为有一特征值为1,求求x的的值及值及A的其它特征值的

6、其它特征值,并判断并判断A是否能与对角阵相似？是否能与对角阵相似？Solution.A能否对角化？若能对能否对角化？若能对角化角化,则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵P,Solution.得基础解系得基础解系所以所以 可对角化可对角化.得基础解系得基础解系Solution.3.实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化Solution.求求得得基基础础解解系系正交化正交化,单位化单位化,求得基础解系为求得基础解系为单位化单位化,4.简单证明题及其它简单证明题及其它Proof.Solution.Solution 1.或者或者 Solution 1.Solution 2.Solution 3.Solution.Solution.(1)(2).The end