电磁场与电磁波-第6章.ppt

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1、第第6 6章章 时变电磁场时变电磁场主要内容主要内容:波动方程、电磁场的位函数、波动方程、电磁场的位函数、电磁能量守恒定律、电磁能量守恒定律、惟一性定理、时谐电磁场惟一性定理、时谐电磁场什么是时变电磁场：什么是时变电磁场：源量（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）源量（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。随时间变化的电磁场。在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场磁场，电场与磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。相互依存，

2、构成统一的电磁场。由于时变的电场和磁场相互由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开讨论。静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开讨论。英国科学家英国科学家麦克斯韦麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定提出位移电流假说，将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。时变电磁场的特点：时变电磁场的特点：1 1）电场和磁场互为对方

3、的涡旋（旋度）源。）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。2 2）电场和磁场共存，不可分割。）电场和磁场共存，不可分割。3 3）电力线和磁力线相互环绕。）电力线和磁力线相互环绕。一、波动方程一、波动方程1 1、时变场麦克斯韦方程组、时变场麦克斯韦方程组积分形式积分形式微分形式微分形式全电流定律全电流定律电磁感应定律电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原理高斯定律高斯定律 在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。旋无散的。电场线与磁场线电场线与磁场线相互交链，自行闭合相互交链，自行闭合，从而在空间形，从而在空间形成成电磁波电磁波。时变时

4、变电场电场的方向与时变的方向与时变磁场磁场的方向处处的方向处处相互垂直相互垂直。可见，时变可见，时变电场电场是是有旋有散有旋有散的，时变的，时变磁场磁场是是有旋无散有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割不可分割的，因的，因此，时变电磁场是此，时变电磁场是有旋有散场有旋有散场。2 2、波动方程、波动方程 由麦克斯韦方程组可以建立电磁场的波动方程，它由麦克斯韦方程组可以建立电磁场的波动方程，它揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。两边取旋度均匀无耗媒质的无源区域均匀无耗媒质的无源区域麦氏方程为麦

5、氏方程为得得电场电场E 的波动方程的波动方程同理同理磁场磁场H 的波动方程的波动方程得得无源区无源区波动方程波动方程在在直角坐标系直角坐标系中可分解为三个标量方程中可分解为三个标量方程 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。下求解波动方程。为拉普拉斯算符，在直角坐标系中为拉普拉斯算符，在直角坐标系中既然既然MaxwellMaxwell方程已经囊括所有宏观电磁现象，为什么还要方程已经囊括所有宏观电磁现象，为什么还要波动方程：答案是求解的

6、需要。波动方程：答案是求解的需要。MaxwellMaxwell方程里电场和磁场方程里电场和磁场耦合在一起，而波动方程里电场和磁场是独立出现的，它们耦合在一起，而波动方程里电场和磁场是独立出现的，它们有各自的波动方程。后者有时便于求解，但方程的阶数是二有各自的波动方程。后者有时便于求解，但方程的阶数是二阶，比阶，比MaxwellMaxwell方程高一阶。所以也有不用波动方程，直接方程高一阶。所以也有不用波动方程，直接用用MaxwellMaxwell方程求解。方程求解。从从上上方方程程可可以以看看出出：时时变变电电磁磁场场的的电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量在在空间中是以波动形式变化的，因此称

7、时变电磁场为电磁波。空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。建建立立波波动动方方程程的的意意义义：通通过过解解波波动动方方程程，可可以以求求出出空空间间中中电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量的的分分布布情情况况。但但需需要要注注意意的的是是：只只有有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。二、电磁场的位函数二、电磁场的位函数由麦氏第四方程由麦氏第四方程可令可令由麦氏第二方程由麦氏第二方程于是于是式中式中A A（T.m)称为称为动态矢量位动态矢量位，简称矢量位。，简称矢量位。(V)称为称为动态标量位动态标量位，简称标量位。，简称标量位。静

8、态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。由麦氏第一方程由麦氏第一方程将将将矢量恒等式将矢量恒等式即即 已知矢量位已知矢量位A A 和标量位和标量位 可求相应的磁场和电场。可求相应的磁场和电场。矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。由麦氏第三方程由麦氏第三方程以上二方程称为达朗贝尔方程。以上二方程称为达朗贝尔方程。此方程表明矢量位此方程表明矢量位 的源是的源是 ，而标量位，而标量位 的源是的源是 。时。时变

9、场中变场中 和和 是相互联系的。是相互联系的。同理同理得得即即 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。前面定义前面定义A A 的旋度等于磁感应强度的旋度等于磁感应强度B B。为确定矢量位。为确定矢量位A A 还还需规定其散度。令需规定其散度。令 （洛仑兹条件（洛仑兹条件)。所以所以矢量位波动方程矢量位波动方程标量位波动方程标量位波动方程 由上可见，按照罗伦兹条件规定由上可见，按照罗伦兹条件规定 A A 的散度后，原来两的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位 A A 仅与电流仅与电流 J J

10、有关，标量位有关，标量位 仅与电荷仅与电荷 有关。有关。因此，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位因此，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A A和标量和标量位位 。求出。求出 A A 及及 以后，即可求出电场与磁场。以后，即可求出电场与磁场。这样，这样，麦克斯韦方程麦克斯韦方程的求解归结为的求解归结为位函数方程位函数方程的求解，的求解，而且求解过程显然得到了而且求解过程显然得到了简化简化。2 2、简化了动态位与场源之间的关系，使得、简化了动态位与场源之间的关系，使得A A单独由单独由J J 决定，决定，单独由单独由决定，给解题带来了方便；决定，给解题带来了方便；洛仑兹条件（洛仑兹条件（Luo

11、lunci Condition)Luo lunci Condition)的重要意义的重要意义1 1、确定了、确定了 的值，与的值，与 共同唯一确定共同唯一确定A A；位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程 在在三三维维空空间间中中仅仅需需求求解解 4 4 个个坐坐标标分分量量。在在直直角角坐坐标标系系中，实际上等于求解中，实际上等于求解 1 1 个标量方程。个标量方程。原原来来电电磁磁场场方方程程为为两两个个结结构构复复杂杂的的矢矢量量方方程程，在在三三维维空间中需要求解空间中需要求解 6 6 个坐标分量。（有源区域）个坐标分量。（有源区域）在无源区域，在

12、无源区域，与与 均为零，上述场量和位函数的波动均为零，上述场量和位函数的波动方程变为齐次波动方程：方程变为齐次波动方程：若静态场，若静态场，上述波动方程退化为相应的泊松方，上述波动方程退化为相应的泊松方程和拉普拉斯方程。程和拉普拉斯方程。三、电磁能量守恒定律三、电磁能量守恒定律 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律律坡印廷定理；坡印廷定理；静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。广到时变电磁场。电场能量密度电场能量密度磁场能量密度磁场能量密度损耗功率密度损耗功率

13、密度对于各向同性的线性媒质对于各向同性的线性媒质因此，时变电磁场的能量密度为因此，时变电磁场的能量密度为 可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，而且可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，而且时变电磁场的能量还会流动。时变电磁场的能量还会流动。为了衡量这种能量流动的为了衡量这种能量流动的方向方向及及强度强度，引入，引入能量流动密能量流动密度矢量度矢量(坡印廷矢量坡印廷矢量)，其，其方向方向表示能量表示能量流动流动方向，其方向，其大小大小表表示示单位单位时间内时间内垂直垂直穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的单位面积的功率功率，所以坡印廷矢量又

14、称为，所以坡印廷矢量又称为功率功率流动密度矢量。流动密度矢量。坡印廷矢量以坡印廷矢量以 S S 表示，表示，单位为单位为W/m2。1 1、坡印廷定理、坡印廷定理 设设无无外外源源 (J J=0,=0)的的区区域域 V 中中，媒媒质质是是线线性性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为,E,HV由麦氏第一、第二方程由麦氏第一、第二方程得得其中其中于是得于是得取体积分，并应用散度定理得取体积分，并应用散度定理得在时变场中总电磁能量密度为在时变场中总电磁能量密度为单位体积损耗的的焦耳热为单位体积损耗的的焦耳热为于是得于是得坡印廷定理坡印廷定理单位时间穿过闭单位时间

15、穿过闭合面合面S进入体积进入体积V 的电磁场能量的电磁场能量体积体积V 内单位时内单位时间电场能量和磁间电场能量和磁场能量的增加场能量的增加单位时间体积单位时间体积V 内变为焦耳内变为焦耳热的电磁能量热的电磁能量任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。2 2、坡印廷矢量、坡印廷矢量矢矢量量（）代代表表垂垂直直穿穿过过单单位位面面积积的的功功率率，因因此此，就就是是前前述述的的能能流流密密度矢量度矢量 S S，即即,E,HS 此此式式表表明明，S S 与与 E E 及及 H H 垂垂直直。又又知知 ，因因此此，S S，E E 及

16、及 H H 三三者者在在空空间间是是相相互互垂垂直直的的，且且由由 E E 至至 H H 与与 S S 构构成右旋关系，如图示。成右旋关系，如图示。SEH 表示单位时间内流过表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直与电磁波传播方向相垂直单位单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S S 的方向代表的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。W/m2(1(1）为时间为时间 的函数，表示瞬时功率流密度；的函数，表示瞬时功率流密度；（2 2）公式中，）公式中，E E、H H 应为场量的实数表达式；应为场量的实数表达式；（3

17、 3）的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向 的单位面积的能量；的单位面积的能量；（4 4）的方向：电磁能量传播方向。的方向：电磁能量传播方向。说明：说明：坡印廷矢量坡印廷矢量坡印廷矢量的瞬时值大小为坡印廷矢量的瞬时值大小为 可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积。场强度的瞬时值的乘积。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量

18、为零。矢量为零。四、惟一性定理四、惟一性定理 在在闭闭合合面面 S 包包围围的的区区域域 V 中中，当当t=0时时刻刻的的电电场场强强度度 E E 及及磁磁场场强强度度 H H 的的初初始始值值给给定定时时，又又在在 t 0 的的时时间间内内，只只要要边边界界 S 上上的的电电场场强强度度切切向向分分量量 E Et 或或磁磁场场强强度度的的切切向向分分量量 H Ht 给给定定后后，那那么么在在 t 0 的的任任一一时时刻刻，体体积积 V 中中任一点任一点的电磁场由麦克斯韦方程的电磁场由麦克斯韦方程惟一地惟一地确定。确定。利用麦克斯韦方程导出的利用麦克斯韦方程导出的能量定理能量定理，用，用反证法

19、反证法即可证明这个定理。即可证明这个定理。VSE t(r,t)or H t(r,t)E(r,0)&H(r,0)E(r,t),H(r,t)五、时谐电磁场五、时谐电磁场 与电路和信号分析类似，为了便于分析，我们可以与电路和信号分析类似，为了便于分析，我们可以把一般随时间变化的时变电磁场，用傅立叶变换分解为把一般随时间变化的时变电磁场，用傅立叶变换分解为许多不同时间频率的正弦电磁场（也称时谐电磁场）的许多不同时间频率的正弦电磁场（也称时谐电磁场）的叠加。叠加。正正弦弦电电磁磁场场一一种种特特殊殊的的时时变变电电磁磁场场，其其场场强强的的方方向向与与时间无关，但其时间无关，但其大小大小随时间的变化规律

20、为随时间的变化规律为正弦函数正弦函数，即，即式式中中 Em(r r)仅仅为为空空间间函函数数，它它是是正正弦弦时时间间函函数数的的振振幅幅。为为角频率角频率。e(r r)为正弦函数的为正弦函数的初始相位初始相位。由由傅傅里里叶叶变变换换得得知知，任任一一周周期期性性或或非非周周期期性性的的时时间间函函数数在在一一定定条条件件下下均均可可分分解解为为很很多多正正弦弦函函数数之之和和。因因此此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。正正弦弦电电磁磁场场是是由由随随时时间间按按正正弦弦变变化化的的时时变变电电荷荷与与电电流流产产生生的的。虽虽然然场场的的变变化

21、化落落后后于于源源，但但是是场场与与源源随随时时间间的的变变化化规规律律是是相相同同的的，所所以以正正弦弦电电磁磁场场的的场场和和源源具具有有相相同同的的频频率率。1 1、时谐电磁场中场量的瞬时表示式：、时谐电磁场中场量的瞬时表示式：以余弦函数为基准（工程界惯例。少数也有用正弦函数以余弦函数为基准（工程界惯例。少数也有用正弦函数的），以电场强度矢量为例：的），以电场强度矢量为例：注意场量与时间变量注意场量与时间变量t t的关系非常简单和确定，这是引入的关系非常简单和确定，这是引入复矢量的前提。复矢量的前提。2 2、时谐电磁场中场量的复数表示式、时谐电磁场中场量的复数表示式 上式可以也用复数的实

22、部表示为上式可以也用复数的实部表示为式中式中称为称为时谐电场的复振幅时谐电场的复振幅故故式中式中称为称为时谐电场的时谐电场的复矢量复矢量同样时谐电磁场的其它场量也可以有类似的表示式，如同样时谐电磁场的其它场量也可以有类似的表示式，如这些表示式建立这些表示式建立了时谐电磁场场了时谐电磁场场量的瞬时表示式量的瞬时表示式与复数表示式之与复数表示式之间的联系间的联系 3 3、麦克斯韦方程的复数形式麦克斯韦方程的复数形式 时谐场对时间的导数时谐场对时间的导数由麦氏第一方程由麦氏第一方程设为时谐场设为时谐场、可与可与ReRe交换次序，得交换次序，得复数相等与其实部及虚部分别相等是等效的，故可以去掉上式复数

23、相等与其实部及虚部分别相等是等效的，故可以去掉上式两边的两边的 Re Re，得到，得到接着可以消去接着可以消去 去掉场量的下标去掉场量的下标上面的方程里已经没有时间变量了，因此方程得到了简化。上面的方程里已经没有时间变量了，因此方程得到了简化。形式上讲，只有把微分算子形式上讲，只有把微分算子 用用 代替，就可以把时代替，就可以把时谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。同理可得同理可得 以及以及上述方程称为麦克斯韦方程的上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式复数形式，式中各量均为，式中各量均为有效值有效值。复数形式的复数形式的Maxw

24、ellMaxwell方程方程微分形式微分形式 积分形式积分形式 例例1.1.已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为试求其磁场强度的复数形式。试求其磁场强度的复数形式。解解 根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为由于电场仅有由于电场仅有 y 分量，且与变量分量，且与变量 y 无关，即无关，即 。那么那么又知又知4 4、复数形式的波动方程、复数形式的波动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程波动方程波动方程设为时谐场设为时谐场得得同理同理亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程式中式中 用复数形式研究时谐场称为频域问题。用复数形

25、式研究时谐场称为频域问题。复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。加点。1.1.复数式复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义物理意义,采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；以简化；2.2.实数形式实数形式代表真实场，具有明确物理意义；代表真实场，具有明确物理意义；3.3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方平方关系的物理量（称为二次式关系的物理量（称为二次式 ），只

26、能用场），只能用场量的量的瞬时形式瞬时形式表示。表示。说明说明:5 5、复电容率和复磁导率、复电容率和复磁导率（1 1）令令 为导电媒质的等效复介电常数或复电容为导电媒质的等效复介电常数或复电容率，则上式可写成率，则上式可写成用途：把导电媒质也视为一种等效的电介质，从而可以统用途：把导电媒质也视为一种等效的电介质，从而可以统一采用电介质的分析方法。一采用电介质的分析方法。另外，即使介质不导电，也会有能量损耗，且与频率有关。另外，即使介质不导电，也会有能量损耗，且与频率有关。这时同样可以用复介电常数表示这种介质损耗，即这时同样可以用复介电常数表示这种介质损耗，即 虚部表示有能量损耗，从能量损耗的

27、角度，虚部表示有能量损耗，从能量损耗的角度，表征电介质中的电极化损耗表征电介质中的电极化损耗 。考虑上述两种能量损耗：欧姆损耗考虑上述两种能量损耗：欧姆损耗 和电极化损耗和电极化损耗 ，总的复介电常数是总的复介电常数是（2 2）同样在磁介质有损耗的情况下，也可以采用复数磁导率：）同样在磁介质有损耗的情况下，也可以采用复数磁导率：工程上，通常用损耗角正切来表征电介质的损耗特性工程上，通常用损耗角正切来表征电介质的损耗特性（3 3）损耗角）损耗角 导电媒质：导电媒质：弱导电媒质（良绝缘体）弱导电媒质（良绝缘体）良导体良导体磁介质损耗角正切磁介质损耗角正切 6 6、时谐场的位函数、时谐场的位函数因此

28、矢量位复数形式的波动方程是因此矢量位复数形式的波动方程是因为因为故故无源无源罗伦兹条件的复数形式罗伦兹条件的复数形式正弦电磁场与位函数的关系正弦电磁场与位函数的关系7 7、平均能量密度和平均能流密度矢量、平均能量密度和平均能流密度矢量由前一章定义的坡印廷矢量由前一章定义的坡印廷矢量坡印廷矢量的坡印廷矢量的瞬时值瞬时值对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值平平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量）均坡印廷矢量（平均能流密度矢量）正弦变化矢量正弦变化矢量式中式中 为相应的复矢量为相应的复矢量 虚部虚部 实部实部故故由上式可计算出在一个时间周期内的平均值由

29、上式可计算出在一个时间周期内的平均值于是可以定义复数坡印亭矢量于是可以定义复数坡印亭矢量因此有因此有 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 与时间无关。与时间无关。正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为正弦电磁场的能量密度的周期平均值为 即即式中式中 E E(r r)及及 H H(r r)均为有效值。均为有效值。或者以场强的最大值表示为或者以场强的最大值表示为 或者表示为或者表示为上式又可写为上式又可写为 上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度与磁场能量密

30、度的最大值之和的一半。场能量密度与磁场能量密度的最大值之和的一半。同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为 平均值为平均值为可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。经推导可得复数坡印亭定理经推导可得复数坡印亭定理如果考虑传导电流的焦耳热损耗，有如果考虑传导电流的焦耳热损耗，有极化电流的介电损耗，有极化电流的介电损耗，有磁损耗，有磁损耗，有 上式可写成上式可写成物理意义：上式右边是体积内的有功功率和无功功率，所以物理意义：上式右边是体积内的有功功率和无功功率，所以上式左边的面积分是穿过闭合面的复功率，其实部是有功功上式左边的面积分是穿过闭合面的复功率，其实部是有功功率，即功率的平均值。率，即功率的平均值。