空间向量的综合应用(理).ppt

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1、1.理解直线的方向向量与平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）系的一些定理（包括三垂线定理）.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用向量方法在研究立体几何问题中的应用.1平面的法向量平面的法向量已知平面已

2、知平面，如果向量，如果向量n的基线与平面的基线与平面垂直，垂直，则向量则向量n叫做平面叫做平面的的或说向量或说向量n与平面与平面 正交正交法向量法向量2直线与平面的夹角直线与平面的夹角(1)斜线和平面内任一直线所成的斜线和平面内任一直线所成的角已知角已知OA是平面是平面的斜线段，的斜线段，O是斜足，线段是斜足，线段AB垂直于垂直于，B 为垂足，设为垂足，设OM是是内通过点内通过点O的的任一条直线，任一条直线，OA与与OB所成的角为所成的角为1，OB与与OM所成的角所成的角为为2，OA与与OM所成的角为所成的角为，则，则cos.cos1cos2(2)斜线和平面所成角的性质斜线和平面所成角的性质(

3、最小角定理最小角定理)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中内所有直线所成角中的角的角(3)斜线和平面的夹角斜线和平面的夹角斜线和它在平面内的斜线和它在平面内的所成的角叫做斜线和平面所成所成的角叫做斜线和平面所成的角的角(或斜线和平面的或斜线和平面的)(4)直线和平面所成角直线和平面所成角的范围是的范围是.最小最小射影射影夹角夹角090思考探究思考探究直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成的角有怎样的关系？的角有怎样的关系？提示：提示：当直线的方向向量与

4、平面的法向量所成的角是锐角当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是锐角时，其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量时，其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是钝角时，其补角的余角是线面角所成的角是钝角时，其补角的余角是线面角 3二面角及其度量二面角及其度量(1)二面角及相关概念二面角及相关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱，每个半平面叫做二面角的，每个半平面叫做二面角的棱为棱为l，两个面分别为，两个面分别为，的二面角，记作的二面角，记作l.二面角二面角面面(2)二面角的平面

5、角二面角的平面角在二面角在二面角l的棱上任取一点的棱上任取一点O，在两半平面内分，在两半平面内分别作射线别作射线OA l，OB l，则，则叫做二面角叫做二面角l 的平面角的平面角平面角是平面角是的二面角叫做直二面角的二面角叫做直二面角(3)二面角二面角的范围是的范围是.AOB直角直角01801.若直线若直线l1，l2的方向向量分别为的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6，9,6)，则，则()A.l1l2B.l1l2C.l1与与l2相交但不垂直相交但不垂直D.以上均不正确以上均不正确 解析：解析：ab2(6)496(4)0，ab，从而，从而l1l2.答案：答案：B2.若平面若平面与平面与平面的

6、法向量分别是的法向量分别是a(4,0，2)，b(4,0,2)，则平面，则平面与与的位置关系是的位置关系是()A.平行平行B.垂直垂直C.相交但不垂直相交但不垂直D.无法判断无法判断解析：解析：由题意，有由题意，有ab，a与与b共线，从而共线，从而与与平行平行.答案：答案：A3.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O是底面正方形是底面正方形ABCD的中心，的中心，M是是D1D的中点，的中点，N是是A1B1上的动点，则直线上的动点，则直线NO、AM的位置关系是的位置关系是()A平行平行B相交相交C异面垂直异面垂直D异面不垂直异面不垂直 解析：解析：建立坐标系如图，设

7、正方体建立坐标系如图，设正方体的棱长为的棱长为2，则，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，y,2)，(1,1y，2)，(2,0,1)，0，则直线则直线NO、AM的位置关系是异面垂直的位置关系是异面垂直答案：答案：C4.已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为则两平面所成的二面角的大小为.解析：解析：cosm，n，即即m，n45，其补角为，其补角为135.两平面所成二面角为两平面所成二面角为45或或18045135.答案：答案：45或或1355.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线

8、BC1与平面与平面A1BD所成所成角的余弦值为角的余弦值为.解析：解析：如图，建立直角坐如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为标系，设正方体棱长为1，则则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1).设设n(x，y，z)为平面为平面A1BD的法向量的法向量则则取取n(1，1，1)，设直线设直线BC1与平面与平面A1BD所成角为所成角为，则则sin|cosn，|.cos.答案：答案：1.证线线平行与垂直证线线平行与垂直.若直线若直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2，则：，则：l1l2v1v2.l1

9、l2v1v2v1v20.2.证线面平行与垂直证线面平行与垂直若直线若直线l的方向向量为的方向向量为v，平面，平面的法向量为的法向量为n，则：，则：lvn.lvn.3.证面面平行与垂直证面面平行与垂直若若平面平面和和的法向量分别为的法向量分别为n1，n2，则，则 n1n2.n1n2.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四边，在四边形形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30的角的角.(1)求证：求证：CM平面平面PAD；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PAD.思路点拨思

10、路点拨课堂笔记课堂笔记以以C为坐标原点，为坐标原点，CB为为x轴，轴，CD为为y轴，轴，CP为为z轴建立如图所示轴建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD，PBC为为PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M(，0，)，(0，1,2)，(2，3,0)，(，0，)，(1)令令n(x，y，z)为平面为平面PAD的一个法向量，则的一个法向量，则令令y2，得，得n(，2,1).n2010，n，又，又CM 平面平面PAD，CM平面平面PAD.(2)取取AP的中

11、点的中点E，则则E(，2,1)，(，2,1).PBAB，BEPA.又又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA，又，又PADAA.BE平面平面PAD，又又BE平面平面PAB，平面平面PAB平面平面PAD.求直线与平面所成的角的方法有求直线与平面所成的角的方法有(1)找出直线在平面内的射影从而确定出直线与平面所找出直线在平面内的射影从而确定出直线与平面所成的角，通过解三角形求之成的角，通过解三角形求之(2)应用平面的法向量求解应用平面的法向量求解设直线设直线AB的一个方向向量为的一个方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，则直线，则直线AB与平面与平面所成的角所成的角为为sin|cosa，

12、n|.如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，中，底面为直角梯形，AD BC，BAD90，PA 底面底面ABCD，且，且PAADAB2BC，M、N分别为分别为PC、PB的中点的中点(1)求证：求证：PB DM；(2)求求CD与平面与平面ADMN所成角的余弦值所成角的余弦值 思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记如图，以如图，以A为坐标原点为坐标原点建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系A；，设设BC1，则，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，M(1，1)，D(0,2,0)(1)证明：证明：(2,0，2)(1，1)0，PB DM.(2)(2,0，

13、2)(0,2,0)0，PB AD.又又PB DM，ADDMD，PB 平面平面ADMN.因此因此的余角即是的余角即是CD与平面与平面ADMN所成的角所成的角cos，sin，CD与平面与平面ADMN所成角的余弦值为所成角的余弦值为.若本例条件不变，求若本例条件不变，求AM与平面与平面CDN所成角的余弦值所成角的余弦值解：解：以以A为坐标原点，建立空间直角坐标为坐标原点，建立空间直角坐标A；，设设BC1，则，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，M(1，1)，N(1,0,1)(1，1)，(2,1,0)，(1，2,1)，设设m(x，y，z)是平面是

14、平面CDN的一个法向量，的一个法向量，x令令x1，得，得m(1,2,3)，cos，m sin，m.直线直线AM与平面与平面CDN所成角的余弦值为所成角的余弦值为.利用空间向量方法求二面角，有两种办法：利用空间向量方法求二面角，有两种办法：(1)分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；平面角的大小；(2)通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为别为n1和和n2，则二面角

15、的大小等于，则二面角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)特别警示特别警示利用空间向量方法求二面角时，注意结合图利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角形判断二面角是锐角还是钝角(2009全国卷全国卷)如图，如图，直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABAC，D、E分别为分别为AA1、B1C的中的中点，点，DE平面平面BCC1.(1)证明：证明：ABAC；(2)设二面角设二面角ABDC为为60，求，求B1C与平面与平面BCD所成的角所成的角的大小的大小.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)证明：以证明：以A为坐标为坐标原点，原点，AB为为x轴，轴，AC为为y轴，

16、轴，AA1为为z轴轴.建立如图所示的直角坐标建立如图所示的直角坐标系系Axyz.设设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则，则B1(1,0,2c)，E(，c).于是于是(，0)，(1，b,0).由由DE平面平面BCC1知知DEBC，0，求得求得b1，所以所以ABAC.(2)设平面设平面BCD的法向量的法向量(x，y，z)，则则0，0.又又(1,1,0)，(1,0，c)，故，故令令x1，则，则y1，z，(1,1，).又平面又平面ABD的法向量的法向量(0,1,0).由二面角由二面角ABDC为为60知，知，60，故故cos60，求得，求得c.于是于是(1,1，)，(1，1，)，C

17、os，60.所以所以B1C与平面与平面BCD所成的角为所成的角为30.解：解：由本例由本例(2)知，知，(1,1，)，又又B(1,0,0)，A1(0,0，)，(1,0，).11，又又|2，|，cos异面直线异面直线B1C与与BA1所成角的余弦值为所成角的余弦值为.在本例在本例(2)的条件下，能否求出异面直线的条件下，能否求出异面直线B1C与与BA1所成角的余弦值所成角的余弦值.利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方空间

18、的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法法.另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型.考题印证考题印证(2009福建高考福建高考)(12分分)如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，MD 平面平面ABCD，NB 平面平面ABCD，且，且MDNB1，E为为BC的中点的中点.(1)求异面直线求异面直线NE与与AM所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)在线段在线段

19、AN上是否存在点上是否存在点S，使得，使得ES 平面平面AMN？若？若存在，求线段存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由.【解解】(1)如图，以如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐为坐标原点，建立空间直角坐标系标系Dxyz.依题意，易得依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0).2分分(，0，1)，(1,0,1).3分分cos，5分分所以异面直线所以异面直线NE与与AM所成角的余弦值为所成角的余弦值为.6分分(2)假设在线段假设在线段AN上存在点上存在点S，使得，使得ES平

20、面平面AMN.(0,1,1)，可设，可设 (0，)，又又(，1,0)，(，1，).8分分由由ES平面平面AMN，得，得即即9分分故故，此时，此时(0，)，|.10分分经检验，当经检验，当AS时，时，ES平面平面AMN.11分分故线段故线段AN上存在点上存在点S，使得，使得ES平面平面AMN，此时，此时AS.12分分自主体验自主体验直三棱柱直三棱柱A1B1C1ABC的三视图如图所示，的三视图如图所示，D、E分别分别为棱为棱CC1和和B1C1的中点的中点.(1)求二面角求二面角BA1DA的余弦值；的余弦值；(2)在在AC上是否存在一点上是否存在一点F，使，使EF平面平面A1BD，若存在，若存在确定

21、其位置；若不存在，说明理由确定其位置；若不存在，说明理由.解：解：(1)如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系.则则B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)，(2,0，1)，(2,2，2).设平面设平面A1DB的法向量为的法向量为n1(1，x，y)，则则n1(1，1，2).而平面而平面ACC1A1的法向量为的法向量为n2(0,1,0)，cosn1，n2.二面角二面角BA1DA的余弦值为的余弦值为.(2)当当F为为AC的中点时，的中点时，EF平面平面A1BD，证明：设证明：设F(x,0,0)，由由E(0,1,2)，得，得(x，1，2).若若EF平面平面A1BD，则，则n1.由

22、由n1(1，1，2)得得x1，F为为AC的中点的中点.存在存在F为为AC的中点，使的中点，使EF平面平面A1BD.1.设平面设平面的法向量为的法向量为(1,2，2)，平面，平面 的法向量为的法向量为(2，4，k)，若，若，则，则k()A.2B.4C.4D.2解析：解析：，两平面的法向量平行，即有两平面的法向量平行，即有k4.答案：答案：C2.若直线若直线l的方向向量与平面的方向向量与平面的法向量的夹角等于的法向量的夹角等于120，则直线则直线l与平面与平面所成的角等于所成的角等于()A.120B.60C.30D.以上均错以上均错解析：解析：如图所示，可知直线如图所示，可知直线l与平面所成的角等

23、于与平面所成的角等于30.答案：答案：C3.(2008福建高考福建高考)如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，ABBC2，AA11，则，则BC1与平面与平面BB1D1D所成所成角的正弦值为角的正弦值为()A.B.C.D.解析：解析：以以D点为坐标原点，以点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为所在的直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)(2，0,1)，(2,2,0)，且，且为平面为平面BB1D1D的的一个法向量一个法向量cos.BC1与平面与平面BB1D

24、1D所成角的正弦值为所成角的正弦值为.答案：答案：D 4.(2010南京模拟南京模拟)若直线若直线l的方向向量的方向向量e(2,1，m)，平面，平面的的法向量法向量n(1，2)，且，且l，则，则m.解析：解析：l，en，m4.答案：答案：45.如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD A1B1C1D1中，中，M和和N分别是分别是A1B1和和BB1的中点，那么直线的中点，那么直线AM与与CN所成角的所成角的余弦值为余弦值为.解析：解析：建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，则则A(1,0,0)，M(1，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)则则(0，1)，(1,0，).cos

25、.直线直线AM与与CN所成角的余弦值为所成角的余弦值为.答案：答案：6在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1、CD 的中点的中点证明：平面证明：平面AED 平面平面A1FD1.证明：证明：建立如图所示的空间建立如图所示的空间直角坐标系直角坐标系Dxyz，不妨设正，不妨设正方体的棱长为方体的棱长为2，则，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)设平面设平面AED的法向量为的法向量为n1(x1，y1，z1)，则则令令y11，得，得n1(0,1，2)同理可得平面同理可得平面A1FD1的法向量的法向量n2(0,2,1)因为因为n1n20，所以平面，所以平面AED 平面平面A1FD1.