南京信息工程大学杨玲老师信号与系统ppt第2章30849.pptx

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1、信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-1页第二章 连续系统的时域分析2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应2.3 卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性点击目录，进入相关章节信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-2页 LTI 连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时

2、域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。第二章 连续系统的时域分析2.1 LTI连续系统的响应2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-3页2.1 LTI连续系统的响应微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程 y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=

3、0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。例 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求：当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；特解的函数形式与激励函数的形式有关。P41 表2-1、2-2齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-4页2.1 LTI连续系统的响应解:齐次微分方程：y”(t)+5y(t)+6y(t)=0 特征方程为：2+5+6=0 其特征根1=2，2=3

4、。齐次解为：yh(t)=C1e 2t+C2e 3t由表2-2 可知，当f(t)=2e t时，其特解可设为：yp(t)=Pe t将其代入微分方程y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)得：Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得 P=1于是特解为 yp(t)=e t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得 C1=3，C2=2 最后得全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t,t0 信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第

5、2-5页2.1 LTI连续系统的响应二、用系数匹配法求0+初始值 若输入f(t)是在t=0 时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-6页例：描述某系统的微分

6、方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）利用系数匹配法分析：在0-t0+区间等号两端(t)项的系数应相等。由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t=0 处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不能含冲激函数(t)，否则y”(t)将含有(t)项。由于y(t)中不含(t)，故y(t)在t=0 处是连续的。故:y(0+)=y(0-)=2 2.1 LTI连续

7、系统的响应信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-7页对式(1)两端积分有 由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0 连续，故 于是由上式得 y(0+)y(0-)+3y(0+)y(0-)=2考虑 y(0+)=y(0-)=2，所以 y(0+)y(0-)=2，y(0+)=y(0-)+2=2由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。2.1 LTI连续系统的响应信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-8页2.1 LTI连续系统的响应三、零输入响应和零

8、状态响应 y(t)=yx(t)+yf(t),也可以分别用经典法求解。注意：对t=0 时接入激励f(t)的系统，初始值yx(j)(0+),yf(j)(0+)(j=0，1，n-1)的计算。y(j)(0-)=yx(j)(0-)+yf(j)(0-)y(j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面举例说明。信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-9页2.1 LTI连续系统的响应例：描述某

9、系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。解：（1）零输入响应yx(t)激励为0，故yx(t)满足 yx”(t)+3yx(t)+2yx(t)=0 yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2 yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=0该齐次方程的特征根为1，2，故 yx(t)=Cx1e t+Cx2e 2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4,Cx2=2，代入得 yx(t)=4e t 2e 2t,t 0 信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-10页2.1 LT

10、I连续系统的响应（2）零状态响应yf(t)满足 yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=2(t)+6(t)并有 yf(0-)=yf(0-)=0由于上式等号右端含有(t)，故yf”(t)含有(t)，从而yf(t)跃变，即yf(0+)yf(0-)，而 yf(t)不能含冲激函数(t)，故yf(t)在t=0 连续，即yf(0+)=yf(0-)=0，积分得 yf(0+)-yf(0-)+3yf(0+)-yf(0-)+2 因此，yf(0+)=2 yf(0-)=2 对t0 时，有 yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=6，不难求得其齐次解为Cf1e-t+Cf2e-2t，其特解为常数3，于是有:yf(t)

11、=Cf1e-t+Cf2e-2t+3代入初始值求得 yf(t)=4e-t+e-2t+3，t0 信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-11页2.2 冲激响应和阶跃响应2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t)例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。解 根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程

12、系第2-12页2.2 冲激响应和阶跃响应因方程h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)右端有(t)，故利用系数匹配法分析：h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，又h(t)中不含(t)，所以 h(t)在t=0 连续，即h(0+)=h(0-)=0。积分得 h(0+)-h(0-)+5h(0+)-h(0-)+6=1考虑h(0+)=h(0-)=0，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0,h(0+)=1+h(0-)=1对t0 时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t+C2e-

13、3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以 h(t)=(e-2t-e-3t)(t)信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-13页2.2 冲激响应和阶跃响应 例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。解 根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含(t)故令 h(t)=a(t)+p1(t)pi(t)为不含(t)的某函数 h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)

14、h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)代入式(1)，有信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-14页2.2 冲激响应和阶跃响应a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)利用(t)系数匹配，得 a=1，b=-3，c=12所以 h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t

15、)+p3(t)（4）对式(3)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-)=12故 h(0+)=3，h(0+)=12信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-15页2.2 冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为 2，3。故系统的冲激响应为 h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，C2=6,所以 h(t)=3e2t 6e3t,t 0结合式(2)得 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t)对t0 时，有 h”(t)+6h(t)+5h(t)=0信号与系统信号与系统湖南人文科技

16、学院通信与控制工程系第2-16页二、阶跃响应LTI 系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。即：g(t)=T(t)，0 2.2 阶跃响应和冲激响应由于(t)与(t)为微积分关系，故:信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-17页作业：书P79P80 2.2：(2)2.9信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-18页2.3 卷积积分1.任意信号作用下的零状态响应yf(t)f(t)根据h(t)的定义：(t)h(t)由时不变性：(t-)h(t-)f()(t-)由齐次性：f()h(t-)由叠加性：f(t)yf(t)卷积积

17、分2.3 卷积积分信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-19页2.3 卷积积分2.卷积积分的定义已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义为：为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积。注意：积分是在虚设的变量 下进行的，为积分变量，t 为参变量。结果仍为t 的函数。信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-20页2.3 卷积积分例：f(t)=e t,（-t)，h(t)=(6e-2t 1)(t)，求yf(t)。解：yf(t)=f(t)*h(t)当t t 时，(t-)=0信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-21页2.

18、4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数满足乘法的三定律：1.交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.2.分配律：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.3.结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-22页2.4 卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)

19、f(t)*(t t0)=f(t t0)2.f(t)*(t)=f(t)f(t)*(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*(t)(t)*(t)=t(t)信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-23页2.4 卷积积分的性质三、卷积的微积分性质1.2.例：f1(t)=1，f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)*f1(t)=四、卷积的时移特性若 f(t)=f1(t)*f2(t)，则 f1(t t1)*f2(t t2)=f1(t t1 t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t t1 t2)=f(t t1 t2)信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第2-24页2.4 卷积积分的性质求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）利用性质。比较灵活。（3）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。三者常常结合起来使用。