解析几何第四版第二章.ppt

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1、第二章 轨迹与方程本章主要内容：1)平面曲线的方程 2)曲面的方程 3)空间曲线的方程本章基本要求：1)理解轨迹与方程的关系 2)熟悉曲面、曲线的一般式和参数式 3)熟练掌握球面、特殊柱面、圆柱螺旋线的方程2.1 平面曲线的方程1、曲线方程曲线上点的特征性质：1）曲线上的点都具有这些性质；2）具有这些性质的点都在曲线上。曲线上点的特征性质曲线上点的两个坐标x与y之间的约束关系 F(x,y)=0建立坐标系定义：当平面上取定了坐标系后，如果一个方程与一曲线 有以下关系：1）满足方程的(x,y)必是曲线上某点的坐标；2）曲线上任何点的坐标(x,y)都满足这个方程。则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲

2、线叫做这个方程的图形。例 1 求圆心在原点，半径为R的圆的方程。例 22、参数方程建立坐标系O；e1，e2（坐标式参数方程）(消去参数 t)（向量式参数方程）例 3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点的轨迹。或（旋轮线或摆线）A OP Caxy例 4 已知大圆的半径为a，小圆的半径为b，设大圆不动，而小圆 在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P的轨迹的方程。（内旋轮线或内摆线）yx OPABC例 5 把线绕在一个圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线 从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头 的轨迹。（渐伸线或切展线）xyOPABR或yxOby=tx+b(x,y)或

3、例6双曲线 的参数方程为(令 x=ty+a)xyO MPa-a曲线的参数方程与普通方程互化时，必须注意：两种不同形式的方程应该等价。例9 将参数方程化为普通方程。(1)(2)(3)（旋轮线）作业：P77 1、5、7(3)、8(1,2)、9思考：P77 42.2 曲面的方程1、曲面方程曲面上点的特征性质：1）曲面上的点都具有这些性质；2）具有这些性质的点都在曲面上。曲面上点的特征性质曲面上点的三个坐标x，y与z之间的约束关系 F(x,y,z)=0 或z=f(x,y)建立空间坐标系定义：当空间上取定了坐标系后，如果一个方程与一曲面 有以下关系：1）满足方程的(x,y,z)必是曲面上某点的坐标；2）

4、曲面上任何点的坐标(x,y,z)都满足这个方程。则这个方程称为这条曲面的方程，这个曲面叫做这个方程的图形。x y z O P0(x0,y0,z0)点P(x,y,z)在球面上 R|P0P|=R(xxxx00)22+(+(yyyy00)22+(+(zzzz00)22=R(xx0)2+(y y0)2+(z z0)2=R2 (xx0)2+(y y0)2+(z z0)2=R2 xx22+yy22+zz22 22xx00 xx 22yy00yy 22zz00zz+xx0022+yy0022+zz0022 RR22=0=0 特点:三元二次;二次项x2,y2,z2前面的系数相同;没有xy,yz,zx这类的二次

5、项.满足这三个特点的方程一定表示一个球面，理由见下页。反之，任意一个球面方程一定满足上述三个特点。b2 4a2+c2 4a2+d2 4a2 e a ax2+ay2+az2 bx cy dz+e=0(x)2+(y)2+(z)2=k b 2a c 2a d 2a 当k 0时:球面,球心(,),b b 22aa c c 22aa d d 22aa 半径 k 当k=0时:点 当k 0时:虚球面 2、参数方程建立坐标系O；e1，e2，e3（向量式参数方程）（坐标式参数方程）(消去参数)例 6 求球心在原点，半径为r的球面的参数方程。(消去参数)PrxyzOQ例7 求以 z 轴为对称轴，半径为 R 的柱面

6、的参数方程。(消去参数)QxyzooPu3、球坐标系与柱面坐标系PxyzOQQxyzooPu例8 在同一个直角标架所决定的直角坐标系，球坐标系与柱坐标系中：(1)直角坐标为(1,1,1)的点，求它的球坐标与柱坐标；(2)球坐标为(1,)的点，求它的直角坐标与柱坐标.解(1)球坐标,柱坐标;(2)直角坐标,柱坐标.作业：P87 1、3(4)、4(1)、6(1)、82.3 空间曲线的方程1、一般方程例 1 写出OZ轴的方程.例 2 求在xOy坐标面上,半径等于R,圆心为原点的圆的方程.P(x,y,z)2、参数方程（坐标式参数方程）建立坐标系O；e1，e2，e3（向量式参数方程）例 3 一个质点一方

7、面绕一条轴线作等角速度的圆周运动,另一方面作平行于轴线的等速直线运动,其速度与角 速度成正比,求这个质点运动的轨迹方程.参数方程(圆柱螺线)z y O x a a x2+y2=a2 x=acos(z/b)z z y y OOx x aa(y0,0 y0,0 z z bb)x2+y2=a2 b arctan z=y y xx(对应对应 00/2/2)参数方程一般方程一般方程arctan y y xx z=例4.维维安尼曲线 x=(1+cost)y=sint z=asinaa22aa22t t 2 2 x2+y2+z2=a2(xa/2)2+y2=a2/4(0 t 2)(-2 t 2)例5.双柱面曲

8、线 y2+z2=a2 x2+z2=b2(b a 0)令y=acost,z=asint,代入x2+z2=b2得 x=b2 a2sin2t 由此可得该双柱面曲线的参数方程为 x=b2 a2sin2t(0 t 2)y=acost z=asint 例6.有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的转动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程。例7 有两条互相直交的直线l1与l2，其中l1绕l2做螺旋运动，即l1一方面绕l2作等速转动，另一方面又沿着l2作等速直线运动，在运动中l1永远保持与l2直交，这样由l1所画出的曲面叫做螺旋面，试建立螺旋面的方程。作业：P92 2(1)(3)(5)、3(1)、5(2)、6讨论：P88 7；P92 4