计数原理、二项式定理.ppt

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1、专题七 概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理 1.分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类 计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才 能将规定的事件完成，则要用分步计数原理将各步 的方法种数相乘.2.排列与组合（1）排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中 取出m个元素的排列数公式是=n（n-1）（n-2）（n-m+1）或写成=.（2）组合：从n个不同元素中，任取m（mn）个 元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素

2、的组 合数公式是 或写成（3）组合数的性质=，=+.3.二项式定理（1）定理：(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+an-rbr+bn(r=0,1,2,n).（2）二项展开式的通项 Tr+1=an-rbr，r=0，1，2，n，其中 叫做二 项式系数.（3）二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系 数相等，即=，=，=，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项 式系数，相等，且同时取得最大值.各二项式系数的和 a.+=2n;b.+=+.=2n=2n-1.一、两个计数原理的应用 例1 某中学拟于下学期在高一年级开设矩阵与

3、变换、信息安全与密码、开关电路与布尔代数等三门数学选修课程，在计划任教高一年级的10名数学教师中，有3人只能任教矩阵与变换，有2人只能任教信息安全与密码，另有3人只能任教开关电路与布尔代数，这三门课程都能任教的只有2人，现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排3名教师任教，则不同的安排方案共有.思维启迪 本题可以根据已知条件作出韦恩图，然后分4种情况讨论没有任教的老师，得到答案.解析 按逻辑顺序作出如图所示的韦恩图.由韦恩图知，没有任教的老师可分为4类情况.第一类，没有任教的老师是只能任教信息安全与密码的2位教师中的一位，则任教信息安全与密码的老师由三门课

4、都能任教的2位老师来补充，有2种选法；第二类，没有任教的老师来自于三门课都能任教的2位老师中的一位，则剩下的一位老师只能任教信息安全与密码，有2种选法；第三类，没有任教的老师来自于只能任教矩阵与变换的3位老师中的一位，则需从三门课都能任教的2位老师中选1位来补充，共有32种选法；第四类，没有任教的老师来自于只能任教开关电路与布尔代数的3位老师中的一位，则需从三门课都能任教的2位老师中选1位来补充，共有32种选法，故共有2+2+32+32=16种选法.探究提高 解决此类题目的难点在于根据谁来分类，分类的标准是什么，故考虑问题时，首先要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准.变式训练1（1）（2009湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）答案 16