计算机仿真教案02-第二章数值积分法的系统仿真.ppt

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1、船舶与海洋工程学院第二章 数值积分法的系统仿真仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.1 概述2.1 概述 连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算 在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.1 概述1.相似原理 其中u(t)为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时时间隔为h，离散化后的输入变量为 系统变量为 其中表示 t=nh 设系统模型为如果 即（对

2、所有n=0,1,2,）则可认为两模型等价仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.1 概述仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.1 概述2.对仿真建模方法三个基本要求：（1）稳定性：不改变原系统的稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的 若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：绝对误差准则：相对误差准则：其中 规定精度的误差量仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.1 概述（3）快速性：若第n步计算所对应的系统时间间隔为3.数值积分算法：计算机由 计算 需要的时间为T n，若 T n=h n 称为实

3、时仿真T n h n 称为超实时仿真 T n h n 称为亚实时仿真 对，已知系统变量 的初始条件 求 随时间变化的过程 初值问题 仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.1 概述计算过程：由初始点 的 仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法2.2 数值积分法2.2.1 欧拉法仿真技术基础 数值积分法的系统仿真节点间距 为步长，通常可采用等距节点，即取 hi=h(常数)。2.2 数值积分法要计算出解函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值 1.欧拉公式：向前差商近似导数记为计算yn+1时,只用到前一步的结果yn,因此属于单步法x0 x1仿真技术基础 数值积分

4、法的系统仿真其实质如图所示,用折线来近似实际的曲线2.2 数值积分法Euler方法的几何体现仿真技术基础 数值积分法的系统仿真定义：若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度2.2 数值积分法定义：在假设 yi=y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri=y(xi+1)yi+1 称为局部截断误差/*local truncation error*/。欧拉法的局部截断误差：定义：欧拉法具有 1 阶精度仿真技术基础 数值积分法的系统仿真1.1 引言仿真技术基础 数值积分法的系统仿真（1）隐式欧拉法/*implicit Euler method*/2.2 数值

5、积分法2.欧拉公式的改进：用向后差商近似导数由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式一般先用显式计算一个初值，再迭代求解 隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有 1 阶精度)(,()(1 1 0 1x y x f h y x y+)1,.,0(),(1 1 1=+=+n i y x f h y yi i i ix0 x1仿真技术基础 数值积分法的系统仿真（3）中点欧拉公式/*midpoint formula*/2.2 数值积分法（2）梯形公式/*trapezoid formula

6、显、隐式两种算法的平均中心差商近似导数注：即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。假设，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法比较：方 法 显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单 精度低稳定性最好 精度低,计算量大精度提高 计算量大精度提高,显式多一个初值,可能影响精度仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法3 改进的欧拉法/*modified Eulers method*/Step 2:再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy),(),(

7、21 1 1+=i i i i i iy xif yixifhyiy此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector method*/。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。Step 1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(1 i i i iyixif h yiy+=+仿真技术基础 数值积分法的系统仿真 收敛性/*Convergency*/2.2 数值积分法4 收敛性/*Convergency*/定义：若某算法对于任意固定的 x=xi=x0+i h，当 h 0(同时 i)时有 yi y(xi)，则称

8、该算法是收敛的。例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为 欧拉公式为对任意固定的 x=xi=i h，有仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法例1.解:由前进Euler公式用 公式求初值问题显然取仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法得 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848仿真技术基础 数值

9、积分法的系统仿真2.2 数值积分法用Euler公式的预测校正系统求解例1例2解:由预测校正公式,有仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法依此类推,得 0 1.0000 0.1000 1.0918 0.2000 1.1763 0.3000 1.2546 0.4000 1.3278 0.5000 1.3964 0.6000 1.4609 0.7000 1.5216 0.8000 1.5786 0.9000 1.6321 1.0000 1.6819仿真技术基础 数值积分法的系统仿真考虑改进Euler法2.2 数值积分法2.2.2 Runge-Kutta法-(1)仿真技术基础 数值积分法

10、的系统仿真梯形公式具有2阶精度2.2 数值积分法改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法对于Simpson求解公式：这是隐式多步法选取适当的显化方法,可得类似(1)的高阶Runge-Kutta方法以下使用中值定理进行推导仿真技术基础 数值积分法的系统仿真对于常微分方程的初值问题2.2 数值积分法一、Runge-Kutta方法的导出的解即仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法-(3)引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法-(4)即(4)式仿真技术基础 数值积分法的

11、系统仿真2.2 数值积分法二、低阶Runge-Kutta方法如下图 即则(4)式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法由于-(5)仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法(由(5)式)令则(4)式化为仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法-(6)和(1)式一致,即改进Euler公式,也称为二阶Runge-Kutta法仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法三、高阶Runge-Kutta方法未知仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法令令参照Simpson求解公式仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法

12、取则（4）式化为-(7)(7)式称为三阶Runge-Kutta方法仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法因此-(8)-(9)比较(7)、(8)两式,可知因而三阶R-K方法（7）具有3阶精度仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法类似于(7)式,还可构造四阶(经典)Runge=Kutta方法-(10)因而方法(10)有4阶精度仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法例1.使用高阶R-K方法计算初值问题解:(1)使用三阶R-K方法(7)RK.m仿真技术基础

13、数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法其余结果如下:(2)如果使用四阶R-K方法(10)n x n k1 k2 k3 y n 1.0000 0.1000 1.0000 1.1025 1.2555 1.1111 2.0000 0.2000 1.2345 1.3755 1.5945 1.2499 3.0000 0.3000 1.5624 1.7637 2.0922 1.4284 4.0000 0.4000 2.0404 2.3423 2.8658 1.6664 5.0000 0.5000 2.7768 3.2587 4.1634 1.9993仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法其余

14、结果如下:n x n k1 k2 k3 k4 y n 1.0000 0.1000 1.0000 1.1025 1.1133 1.2351 1.1111 2.0000 0.2000 1.2346 1.3756 1.3921 1.5633 1.2500 3.0000 0.3000 1.5625 1.7639 1.7908 2.0423 1.4286 4.0000 0.4000 2.0408 2.3428 2.3892 2.7805 1.6667 5.0000 0.5000 2.7777 3.2600 3.3476 4.0057 2.0000仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.1 概述仿真技术基础

15、 数值积分法的系统仿真2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介一、常微分方程组的数值解法下列包含多个一阶常微分方程的初值问题称为常微分方程组的初值问题-(1)仿真技术基础 数值积分法的系统仿真(1)式具有n个未知函数做如下假设则(1)式化为矩阵形式-(2)2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础 数值积分法的系统仿真只要将以前所介绍的各种求解方法中的函数转化为函数向量,即可得到相应的常微分方程组的数值解法这里只介绍求解微分方程组的计算机实现x,Y=ODE45(F,xspan,Y0)首先编制微分方程组的函数文件：func

16、tion z=F(x,Y)z=F(x,Y);然后使用求解命令ode45F为微分方程组的文件名xspan为需求值的节点向量Y0为函数向量的初值x为自变量，Y为函数值矩阵2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础 数值积分法的系统仿真例1.求解微分方程组解:首先编制微分方程组的m文件function z=fun(x,y)z(1)=x-y(1)+2*y(2);z(2)=2*x-3*y(1)-5*y(2);z=z;再编写求解程序2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法xspan=0:0.1:2;y0=0,1.5;x,y=od

17、e45(fun,xspan,y0)plot(x,y)运行后得仿真技术基础 数值积分法的系统仿真二、高阶常微分方程的数值解法简介例2.求下列高阶微分方程的数值解解:显然假设则2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础 数值积分法的系统仿真即高阶问题化为微分方程组的初值问题Gaojiefangcheng.mgaojie.mfunction z=gaojie(x,y)z=y(2);y(3);y(1)*y(2)+3*y(3);2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础 数值积分法的系统仿真 x y 0 0 0.1000 0.0945 0.2000 0.1754 0.

18、3000 0.2381 0.4000 0.2765 0.5000 0.2822 0.6000 0.2436 0.7000 0.1451 0.8000-0.0342 0.9000-0.3230 1.0000-0.7586function gaojiefangcheng()xspan=0:0.1:1;y0=0,1,-1;x,y=ode45(gaojie,xspan,y0);x,y(:,1)plot(x,y(:,1)xlabel(x)ylabel(y)2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础 数值积

19、分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法2.4 阿达姆斯法基本思想：在计算yn+1时，充分利用前面求出的若干点值（yn,yn-1,yn-2,yn-3,）的信息，以期提高计算精度。设一阶常微分方程y(t)=ft,y(t),其初始条件为：y(t)|t=0=y(0)=y0将方程两端从tn到tn+1求积，得：仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法 根据导数ft,y(t)在tn,tn-1,tn-2,tn-3时的值，构造一个三次插值多项式（t），用于替代f t,y(t)其中：仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法具有以下特性：积分式可近似写为：仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.4

20、阿达姆斯法作变换：t=t n+xh；由于：t-t n-3=t-t n+t n t n-3=h(x+3),t t n-2=h(x+2),t t n-1=h(x+1)，可以得出：仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法进一步可得：四阶阿达姆斯显式公式，也称外推公式。若用ft,y(t)在tn+1,tn,tn-1,tn-2时的值作插值多项式，可得：四阶阿达姆斯隐式公式，也称内推公式。仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法根据插值理论，可以得出它们的截断误差分别为：显式公式：隐式公式：截断误差均为步长h的5次方幂，具有4阶精度，与4阶龙格-库塔法相同。k阶阿达姆斯公式的一般形式

21、为：显式：隐式：仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法阿达姆斯系数表隐式 显式仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法阿达姆斯公式的特点：对于显式公式，每次只需计算一次右端函数；对于隐式公式，每次只需计算二次右端函数；且均与阶数无关，因而计算效率较高。不能自启动，计算过程中改变步长困难。阿达姆斯预报-校正公式：原理：显式预报，隐式校正。4阶预报-校正公式如下：仿真技术基础 数值积分法的系统仿真2.5 误差分析、收敛性和稳定性2.5 误差分析、收敛性和稳定性误差分析整体截断误差：从初始值开始,由某个近似数值计算方法经n+1步准确计算（不含舍入误差）的解,微分方程的真解 与 之差。舍入误差：从初始值开始,由某个近似数值计算方法经n+1步计算，得出的实际值 与该计算方法的真解 之差。数值积分法求解常微分方程的初值问题时，数值解 与真解 的误差由整体截断误差和舍入误差两部分组成，即