利息理论第2章等额年金(上).ppt

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1、第二章等额年金（上）主要内容v 年金的定义v 年金的类型v 年金的现值与终值v 年金的利率问题、时间问题求解一、年金的定义v 年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。v 等额年金：每次的支付额相等。二、年金的类型v 确定性分类：确定型年金、不确定型年金。v 每次的支付额分类：等额年金、变额年金。v 支付时点分类：期初付年金、期末付年金。v 支付期限分类：定期年金、永续年金。v 连续性年金：离散型年金、连续型年金。三、年金的现值与终值v 1、n 年定期年金v 1）期末付年金v 现值0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn。上式可写成：期初投资1 元，每年末可获得利息i，且第n 年末可获得

2、本金1 元。年金终值v.0 1 n-2 n-1 n1 1 1 11+i(1+i）2(1+i)n-1。每年末存入1 元，第n 年末可得证明：2）期初付年金v 现值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1。终值v。0 1 n-2 n-1 n1 1 1 1 1+i(1+i)2(1+i)n。期初付年金与期末付年金其他例：王平从银行贷款20，000 元，他想在今后的10 年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求：1）每年末的还款额；2）每年初的还款额。v 解:2、延期m 年的n 年期年金v 1）期末付延期年金v 现值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1Vm+1vm+n-

3、1Vm+n。v 或：终值或：2)期初付延期年金v 现值或：。v 终值 或：例：3，000 元的债务从第5 年初开始，每年初偿还相同的数额，共分15 次还清，年利率为8%，求年还债额。解：3、永续年金v 1）期末付年金现值v 2）期初付年金现值期初投资 元，则每年可获得1 元期初投资 元，则每年可获得1 元3）延期m 年的永续年金4、其他时点上的年金v 过期年金的终值0 1-n n+1 n+m 1-1同理：.v 年金的当前值0 1-m n 1-1 1 1同理：例：某投资项目，前3 年每年初投资5 万元，后3 年每年末投资3 万元，i=6%，试计算该项投资在10 年末的终值v 解：前3 年投资在1

4、0 年末的终值为：v 后3 年投资在第10 年末的终值为：v 总的终值为：37.43 万元5、连续年金v 现值例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每年末向银行偿还20，000 元，10 年后还清，如果企业打算在5年内一次还清，试求一次还清的额度。v 解：李明今年30 岁，他计划每年初存300 元，共存30 年建立个人养老金，这笔存款能使他从60 岁退休开始每年初得到固定金额的养老金，共能取20 年，假设存款利率在前30 年为6%，后20 年为12%，求每年得到的养老金额。v 解：例：某单位计划用10 年时间每年初存入银行一笔固定的金额建立基金，用于10 年末开始每年2，000

5、元的永续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。解：例：设某期初付年金共支付20 年，其中：前6 年的年金额为5 元，中间9 年的年金额为7 元，后5 年的年金额为10 元，请写出年金现值和终值的表达式。解：现值终值四、年金的利率、时间问题求解v 1、利率问题v 1）迭代法一v 2）Newton-Raphson 迭代法1）迭代法一v 迭代公式步骤v 第一步：确定i0，求i1；v A、i0 可由线性插值法确定；v B、泰勒级数前两项确定。第二步：由i1求i2，以此类推。v 可得i0、i1、i2-，直到it+1it为止。v 确定迭代公式：得：。v 得：缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。2）

6、Newton-Raphson 迭代公式优点：速度快。推导N-R 近似公式v。如果已知，则迭代公式其中：例、某人存入银行8，000 元，然后每年末从银行支取1，000 元，共取10 年，求：iv 解法一：线性插值法。试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2)f(0.045)=-0.0873=f(i1)令：解二：迭代一：i(0)=0.045 i(1)=0.0448583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567i(8)=0.0431539-i(42)=0.04277506 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750由公式：

7、解法三，N-R 迭代法由N-R 公式：得：i=0.0427752、时间问题v 1）解析式2）小额支付v 当n 为非整数时，有小额支付问题。0 1 k-1 k s k+1 1 1 1 w n=k+s s1最后一次支付额w1W 的计算W 的提前支付v W 在第k+1 年初的现值。v 最后一次取款额为W 的延时支付v W 在第k+1 年末的终值。例：投资者将其20，000 元存入某基金，希望在每年末领取1，000，i=4.5%，求：v 1）领取的时间及取款的次数；v 2）最后一次的取款额；v 3）最后一次取款额在当年的现值和终值。解：v 1）求n取款次数为53 次2）设小额支付为w3）如果w 在53

8、 年初支付，则其现值为：如果w 在53 年末支付，则其终值为：五、可变利率年金v 假设每年的实际利率分别为i1、i2、-in。v 1、期末付年金0 i1 1 i2 2 n-2 in-1 n-1 in n 1 1 1 1 1现值终值v。2、期初付年金现值终值3、如果支付时，以当年利率为标准。例：某人每年初存入银行1，000 元，前4 年的年利率为6%，后6 年的年利率为10%，试求该年金的终值和现值。v 解：终值：现值：例：在每年初投资1，000 元，为期5 年。如果前2 年的投资按年实际利率5%计算，后3 年的投资按年实际利率6%计算，试计算该项投资在第5 年末的价值。v 解：前2 年的投资在

9、第5 年末的价值为：v 后3 年的投资在第5 年末的价值为：v 总价值为：第2 章练习题v。1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10 万元的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5 年内每月末付款2，000 元即可付清车款，假设每月结转一次利息的年名义利率为8%，试计算首期付款的金额为多少？v 2、某人将在10 年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2，000 元，如果每年的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金？v 3、某人从2000 年3 月1 日起，每月可以领取200 元，直到2010 年6 月1 日。如果每月结转一次利息的年名义利率为6%，试计算：1）年金的现值；2

10、)年金的终值；3)年金在2005 年12 月31 日的值。4、某人在今后的20 年内，每年初向一基金存入10，000 元，从第30 年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。1）如果限期领取20 年，每次可以领取多少？2）如果无限期的领下去（继承人可以领取）每次可领取多少?v 5、某人留下了10 万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5 年的利息收入由其长子领取，第二个5 年的利息由其次子领取，从第11 年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。6、某人将一笔遗产（每年可以领取的永续年金）捐赠给了A、B、C、D 四家慈善机构。在前

11、n 年，每次领取的款项由A、B、C 三家平均分享，n 年后，剩余部分均由D 领取。试确定当(1+i)n为多少时，A、B、C、D 四家在该遗产中享有的现值相等。v 7、假设一笔10，000 元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1，000 元，直到还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1，000 元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。8、如果年利率为i，那么一笔在36 年内每年末支付4，000 元的年金，与另一笔在18 年内每年末支付5，000 元的年金将有相等的现值。试计算1，000 元的投资在年实际利率为i 时，经过多长时间可以翻番。v 9、借款人原计划

12、在每月末偿还1，000 元，用5 年的时间还清贷款。每月结转一次利息的年名义利率为12%。如果他希望一次性支付60，000 元还清贷款，应该在何时偿还？v 10、投资者每月初向一基金存入一笔款项，5年后可以积存到60，000 元。如果前2 年每次存入1，000 元，后3 年每次存入500 元，试计算每月结转一次利息的名义利率。11、投资者每年末向一年金存入2，000 元。如果在前2 年的投资按6%的年实际利率计算，在后2 年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积存多少价值。v 12、投资者每年末向一基金存入2，000 元。如果基金在前2 年收益率为6%，在后2 年的年收益率为5%

13、，投资者在第四年可以积存多少价值。题1。题2。v。题3题4题5题6。第1 章练习题1）投资1 在利息强度为 的情况下，经过27.72 年将增加到2，在每2 年计息一次的年名义利率 的情况下，经过n 年增加到7.04，求n。解：2）基金以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度t/6 积累，在时刻t=0.两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。v 解：3）投资1000 元在15 年末的积累之为3，000 元，试确定每月计息一次的年名义利率。v 解：4)基金x中的投资以利息强度 积累，基金y以年利率i 积累，两基金期初值都为1，在第20 年末，他们的积累之相等，求在第3 年末基金y的积累值。解：.v 5)、假设累积函数a(t)=at2+b，如果期初的100元在3 年末可以累积到172 元，试计算在第6 年初投资100 元，在第10 年末可以累积到多少元？v 解：.v 6)、如果每季度接转一次利息的年名义利率为6%，试计算200 元本金在3 年零4 个月末的值。解：7)、如果 内等价的年实际利率。2 年内的利率解：年利率。解n=20