高中数学反证法课件.pptx

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1、反证法直接证明：(1)综合法(2)分析法由因导果执果索因已知条件结论 已知条件结论 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦得没法吃。路边苦李 小故事小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对妈妈说：“昨天晚上下雨了。”您能对小华的判断说出理由吗？如果昨天晚上没有下

2、雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做：反证法发生在身边的例子:妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的?在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.小芳全家没外出旅游.小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校

3、碰到小芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全家没外出旅游证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60.引例已知：A，B，C是ABC的内角.求证：A，B，C中至少有一个 不小于60已知：A，B，C是ABC的内角.求证：A，B，C中至少有一个 不小于60证明：证明：假设 假设 的三个内角 的三个内角A A，B B，C C都小于 都小于60 60，所以 所以 A A 60 60，B B 60 60，C C 60 60 A+A+B+B+C180C180 这与 这与 相矛盾 相矛盾.三角形内角和等于180180 不能成立，所求证的结论成立.假设反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假 设结

4、论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设归谬结论归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。反证法：反设归谬存真 适宜使用反证法的情况（1）结论以否定形式出现（2）结论以“至多-，”，“至少-”形式出现（3）唯一性、存在性问题（4）结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。常见否定用语是不是 有没有等不等 成立不成立都是不都是，即至少有一个不是都有不都有，即至少有一个没有都不是部分或全部是，即至少有一个是唯一 至少有两个至少有一个有（是）全部没有（不是）至少有一个不全部都反馈练习1

5、、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.(1)互补的两个角不能都大于90.(2)ABC中,最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于90.假设ABC中,至少有两个钝角演练反馈1、写出下列命题，用反证法证明的第一步（1）已知a=b，则a2=b2（2）三角形最小的角小于或等于600（3）两条直线相交，只有一个交点（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交2、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形演练反馈2 2、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点

6、 的三角形不可能都是锐角三角形 的三角形不可能都是锐角三角形证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个点为A、B、C、D。考虑点D 在之内或之外两种情况。(1)如果点D 在之内，根据假设，DABC都为锐角三角形所以这与一个周角为360矛盾。演练反馈2、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形(1)如果点D 在之外，根据假设，ADBC都是锐角三角形，即这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。2、“已知:ABC中,AB=AC.求证:B180.这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以

7、B90.(3)假设B90.(4)那么,由AB=AC,得B=C90.即B+C180.这四个步骤正确的顺序应是()A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1)反馈练习C用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.例 1证明：假设弦AB、CD被P平分，连结 AD、BD、BC、AC,DPOBAC因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ADBC是平行四边形所以因为 ABCD为圆内接四边形所以因此所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件

8、矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被P平分。用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.POBADC例 1由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有所以，弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二OP AB，OP CD，1.用反证法证明：如果ab0，那么演练反馈2.已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。演练反馈 3.求证：是无理数。演练反馈总结提炼1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?用

9、反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等反设 归谬 结论2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?推理 合情推理 演绎推理（归纳、类比）（三段论）证明 直接证明 间接证明（分析法、综合法）（反证法）数学公理化思想【探究2】已知 a 0,关于 x 的方程 a x=b 有解吗？【探究1】将9个球分别染成红色或白色 无论怎样染色，至少有5个球 一 定是同色的。正确吗？反 证 法解唯一吗？假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于1/4 不成立则(1-a)b1/4,(1-b)c1/4,(1-c)a1/4所以(1-a)b(1-b)c(1-

10、c)a1/64即a(1-a)b(1-b)c(1-c)1/64(1)但a(1-a)1/4b(1-b)1/4c(1-c)1/4所以a(1-a)b(1-b)c(1-c)1/64(2)(1)(2)矛盾,所以,假设不成立所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于1/4设0a，b，c1 证明(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于1/4例：已知0 a3，函数f(x)x3ax 在区间1，)上是增函数，设当x01，f(x0)1时，f(f(x0)x0，求证：f(x0)x0.分析 要求证明存在某个对象具有某种特殊性质，而我们又无法具体地指出这个对象来，如本例，此时应考虑用反证法来解决 证 明 假 设 f(x0)x0，则 必 有 f(x0)x0或 f(x0)x01，由 f(x)在1，)上 为 增 函 数，则f(f(x0)f(x0)，又f(f(x0)x0，x0 f(x0)，与假设矛盾，若x0 f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)，又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾综 上 所 述，当 x01，f(x0)1且 f(f(x0)x0时 有f(x0)x0.