哈工大理论力学第三章.ppt

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1、内容内容 平面任意力系的简化与平衡平面任意力系的简化与平衡 1.掌握力的平移定理,平面力系的简化方法与简化结果。2.正确应用各种形式的平衡方程求解平面力系的平衡问题。要求要求3.物体系统平衡问题的求解。平面任意力系实例2-3 平面任意力系向作用面内一点简化11.力的平移定理力的平移定理附加力偶矩：M=MB(F)=FdF=F=FFBAFMdBAFdBAFdBAFM 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。2.平面任意力系向作用面内一点简化F1FiF2FnF1FiF2FnM1M2MiMnO矩心 矩心 各力向矩心平移平面汇交力系

2、平面力偶系2.平面任意力系向作用面内一点简化F1FiF2FnF1FiF2FnM1M2MiMnO矩心 矩心 各力向矩心平移平面汇交力系平面力偶系F1F2FiFnM1M2MiMnF1FiF2Fn 平面一般力系向矩心简化M1M2MiMnO平面汇交力系 平面汇交力系 平面汇交力系 平面力偶系O平面力偶系 平面力偶系 主矢FR 主矩MOOFR RMOMO=MiFR=FiF1FiF2FnO平面汇交力系 平面汇交力系 平面汇交力系 主矢FROFR利用合力投影定理计算主矢FR FRxFRyF1F2FnOFiF2yF1yF2xF2xFnyFnxFixFiyM1M2MiMn 平面力偶系O平面力偶系 平面力偶系 主

3、矩MOOMOMO=MiF1FiF2FnOd1di 主矩MO的计算M1=F1d1=MO(F1).Mi=Fidi=MO(Fi)MO=MO(Fi)F1FiF2Fn平面一般力系向作用面内一点简化O矩心 矩心 简化结果 主矢FR 主矩MMOOOFRMOFRx=FxFRy=Fy 主矢FR的计算 主矩MO的计算MO=MO(Fi)FRxFRy 平面固定端约束平面固定端约束=固定端简图三个约束反力AAAMA3.平面任意力系简化结果分析(1)FR=0,MO 0-合力偶M=MO，与O点无关。OFRMOOFRMO(2)FR 0,MO=0-合力FR=FR，作用线过O 点。(3)FR 0,MO 0-(4)FR=0,MO=

4、0-平衡。将FR 平移到另一点A，使附加力偶M=-MO,合力FR=FR，作用线不过O 点，作用线过A 点。OFRMOMA4.平面任意力系的合力矩定理OFRMOOFRMOFR 0,MO 0-M将FR平移到另一点 A，使附加力偶 M=-MO,A 合力FR=FR，作用线过A点。合力FR 对O点之矩：MO(FR)=FR d=MO d 主矩MO的计算 MO=MO(Fi)合力矩定理MO(FR)=MO(Fi)lq例 求线性分布荷载的合力。AByx1.求合力的大小FRx=Fx=0 x dxFRy=Fy2.求合力作用线的位置MA(FR)=MA(F)MA(F)MA(FR)合力大小为面积，作用线通过形心。2-4 平

5、面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是：即：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零力系的主矢和对任一点的主矩都等于零FR=0,MO=0MO=MO(F)因为有Fx=0MO=0Fy=0平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程Fx=0MO=0Fy=0 是平衡方程基本形式投影式力矩式 平面力系平衡方程的意义不动不动xyFx=0Fy=0不动不动MO=0不转动不转动xF 基本形式平衡方程 二矩式平衡方程MA=0MB=0Fx=0 注意：投影轴x轴不能与A,B两点的连线垂直。ABAB不行 不行 可以 可以平面力系平衡

6、方程形式Fx=0MO=0Fy=0F 基本形式平衡方程 三矩式平衡方程MA=0MB=0MC=0 注意：A,B,C三点不能共线。不行 不行平面力系平衡方程形式Fx=0MO=0Fy=0AB可以 可以CABC 平面平行力系平面平行力系中各力的作用线互相平行 平面平行力系平衡方程Fx=0 自然满足MO=0设各力的作用线与y轴平行xy Fy=0 二矩式平衡方程MA=0MB=0 注意：A,B两点的连线不能与各力平行xyABAB不行 不行可以 可以平面力系平衡方程形式例2-8已知：图示起重机 P1=10 kN,P2=40 kN,A为止推轴承，B为轴承 求：A,B的反力解：取起重机，画受力图。Fx=0，FAx+

7、FB=0Fy=0，FAyP1P2=0MA=0，FB5P11.5P23.5=0解得：FB=0.3P10.7P2=31 kNFAx=FB=31 kNFAy=P1+P2=50 kN()yx例2-9已知：梁AB如图所示。M=Pa求：A,B的反力解：取梁，画受力图。Fx=0，FAx=0Fy=0，FAy2qaP+FB=0MA=0，FB4aPaP2a2qaa=0解得：yx平面平行力系3m1m 1m例2-10已知：图示刚架自重 P=100 kN,M=20 kN.m,F=400 kN,q=20 kN/m 求：固定端A的反力解：取刚架，画受力图。MA1mFx=0，FAxFcos 3000+F1=0Fy=0，FAy

8、 Fsin 3000 P=0MA=0，MAMF11+Fcos 3000 3+Fsin 3000 1=0FAx=Fcos 3000 F1=316.4 kNFAy=Fsin 3000+P=300 kNMA=M+F11 3Fcos 3000 Fsin 3000=1188 kN.m（1）一个平面力系有三个独立的平衡方程，（2）按具体情况选取适当形式的平衡方程，可求解三个未知量。力求达到一个平衡方程只含一个未知量，以简化计算。单个物体的平衡例题：用平面任意力系解例2-1 已知：已知：AC=CB=aAC=CB=a，FF=10kN,=10kN,各杆自重不计各杆自重不计求：求：CDCD杆及铰链杆及铰链AA的受

9、力。的受力。解：解：CDCD为二力杆，取为二力杆，取ABAB杆，画受力图。杆，画受力图。得得 45ABCFD45ABCFMA=0，FC sin4500 a F2a=0Fx=0，FAx+FC cos4500=0Fy=0，FAy+FC sin4500 P=0FAx=FC cos4500=20 kNFAy=P FC sin4500=10 kN4m例题已知：图示起重机 P1=700 kN,P2=200 kN求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。解：取起重机，画受力图。满载时，FA=0为不安全状况MB=0，P3min8+2P110P2=0

10、P3min=75 kN4m例题P1=700 kN,P2=200 kN空载时，FB=0为不安全状况MA=0，P3min42P1=075 kNP3 350 kNP3max=350 kN（2）P3=180kN4FA+8P3+2P110P2=0MB=0，FA=(8P3+2P110P2)/4=210 kNFB+FAP3P1P2=0Fy=0，FB=870 kN1.物体系的平衡 物体系统平衡，系统内的每部分物体也平衡。可以对系统整体建立平衡方程，也可以对系统内由n个物体组成的系统可以建立3n个独立的平衡方程，可以求解可以求解33nn个未知量。个未知量。按具体情况选取适当形式的平衡方程，力求一个平衡方程只含一

11、个未知量，简化计算。的每部分物体建立平衡方程。2-5 物体系的平衡 静定和超静定问题静定问题未知量数目等于独立平衡方程数目，2.静定和超静定问题超静定问题未知量数目多于平衡方程数目，所有未知量都能由平衡方程求出。未知量不能全部由平衡方程求出。静定超静定静定超静定例2-11已知：图示曲轴冲床 OA=R，AB=l，F 不计物体自重与摩擦，系统在图示位置平衡求：力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。解：取冲头B,画受力图Fy=0，F FB cos=0Fx=0，FNFB sin=0FN=FB sin 例2-11取轮，画受力图MO=0，FA cos R M=0Fx=0，F

12、Ox+FA cos=0FOy=FFy=0，FOy+FA sin=0AB为二力杆，有代入上式，得M=FR例2-12FB=45.77 kN60AB CFD30qMl l l l已知：F=20kN，q=10kN/m，M=20kN.m，l=1m求：A、B的约束反力解：作受力图MA先取CD，作受力图60B CFD30qMC=0，l FB sin 6060oo 2lF cos 3030oo qll/2=0解得例2-12FB=45.77 kN60AB CFD30qMl l l l已知：F=20kN，q=10kN/m，M=20kN.m，l=1m求：A、B的约束反力MA再取整体，MA=0，已解得Fx=0，FAx

13、FB cos 6060oo F sin 3030oo=0Fy=0，FAy+FB sin 6060oo F cos 3030oo=0FAx=32.89 kNFAy=2.32 kNMA M 2ql 2l+FB sin 6060o o 3l F cos 3030oo 4l=0MA=10.37 kN.m例已知：P1，P2=2P1，r，R=2r，P=20P1，压力角=2020oo求：物C 匀速上升时，作用于 轮I上的力偶矩M；轴承A，B处的约束力。解：取轮、及重物C，Fy=0，FBxFr=0 Fx=0，FByP FtP2=0MB=0，PrFtR=0P2rBM轮RrA塔轮轮P1KP 画受力图BP2KFtF

14、rFFByFBxP得FBy=P+Ft+P2=32P1例取轮，Fy=0，FAxFr=0 Fx=0，FAy+FtP1=0MA=0，M Ftr=0画受力图BP2KFtFrFFByFBxP已解得MAP1KFrFtFAyFAxM=Ftr=10P1rFAx=Fr=3.64P1FAy=Ft+P1=9P1 MAP1KFrFt例已知：P=60kN，P1=20kN，P2=10kN,F=10kN 求：固定铰支座A，B的约束力。解：取整体,画受力图。FAyFAxFByFBxMA=0，12FBy5F2P10P4P26P1=0FBy=(5F2P10P4P26P1)/12=77.5 kNFy=0，FAy+FByPPP2P1

15、=0FAy=P+P+P2+P1FBy=72.5 kNFx=0，FAxFBx+F=0例P=60kN，P1=20kN，P2=10kN,F=10kN 取吊车梁,画受力图。FAyFAxMD=0，8FE2P24P1=0FAy=72.5 kNFE=(2P24P1)/8=12.5 kN已解得 FBy=77.5 kN再取BC部分,画受力图。MC=0，6FBy10FBx4P4FE=0FBx=(6FBy4P4FE)/10=17.5 kN再考虑整体Fx=0，FAxFBx+F=0FAx=FBxF=7.5 kN FByFBxDB ACEF例2-17求证：AC杆始终受压，且大小为F。已知：a,b,F,各杆重不计，B,D

16、处光滑；解：取AB杆、AD杆和销钉A,画受力图ME=0，FBDABExFFDFA1FEyFEx二力杆 二力杆FB、FD未知取AB杆,画受力图FBABxFFAy2FAxMA=0，FBbFx=0DB ACEF求证：AC杆始终受压，且大小为F。再取整体,画受力图。MC=0，FDbFx=0FCyFCxFDF由AB杆平衡,得代入得 FA1=F说明AC杆始终受大小为F的压力，且与x无关。2-6 平面简单桁架的内力计算 桁架是一种由若干直杆在其两端用铰链联结而成的结构。在平面桁架中，引用如下假定：（1）各杆轴线都是绝对平直。（2）各杆两端用理想铰相互联结。（3）载荷和支座反力都作用在节点上并位于桁架平面内。

17、（4）各杆件自重不计或平均分配在节点上。桁架的各杆都是只承受轴力的二力杆桁架的特征1.节点法 桁架的内力计算方法截面法节点法 原理截取桁架的节点为隔离体，利用各结点的平衡条件来计算各杆内力。作用于每一节点的各力组成一个平面汇交力系，可以列两个平衡方程进行解算。为避免解算联立方程，应从未知力不超过两个的结点开始，依次推算。y12345xFABCD2m 2m例2-18 平面桁架如图，F=10kN求:各杆内力解：解：(1)(1)求支反力求支反力 取整体，画受力图取整体，画受力图FByFBxFAFFxx=0,=0,FFBxBx=0,=0,MA=0，44FFByBy2F=0,0,FFByBy=5kNMB

18、=0，44FFAA+2F=0,0,FFAA=5kN 取节点取节点AAF2AFAF1FFyy=0,=0,F1sin 3030oo+FFAA=0,0,F1=10 kN0 kNFFxx=0,=0,F1cos 3030oo+FF22=0,0,F2=8.66 kNkNy12345xFABCD2m 2mFByFBxFAFFByBy=5kNFFAA=5kN 取节点取节点A A,得得F2AFAF1FFyy=0,=0,F1=10 kN0 kNFFxx=0,=0,F2=8.66 kNkN 取节点取节点DDF5DF3FF2F5=F2=8.66 kNkNF3=F=10 kNkN 取节点取节点CCF4CF1F3FFxx

19、=0,=0,F4cos 3030oo F1cos 3030oo=0,0,F4=F1=10 kN0 kN（压力）（压力）2.截面法 通过需求内力的杆件作适当截面，将桁架分为两部分，取其中任一部分为隔离体。根据它的平衡条件去求未知的内力。截面法适用于简单桁架中只需计算少数杆件的内力等情况。例例2-19 2-19 平面平面桁架桁架如图，如图，FFEE=10kN,=10kN,FFGG=7kN,=7kN,FFFF=5kN,=5kN,求求:1,2,3:1,2,3杆内力杆内力解：解：(1)(1)求支反力求支反力 取整体，画受力图取整体，画受力图FFxx=0,=0,FFAxAx+FFFF=0,=0,Fy=0，

20、FFAyAy=7.557 kNMB=0，33FFAyAy+2FE+FG FF sin6060oo=0,0,FFBB=9.44 kNFAx=5 kN kNFEFGACEDGFBy123x1m 1m 1mFFFAyFAxFBFB+FFAy Ay FE FG=0,0,()FAx例例3-11 3-11 FFEE=10kN,=10kN,FFGG=7kN,=7kN,FFFF=5kN,=5kN,(2)(2)求内力求内力作截面作截面m-nm-n，Fy=0，FFAyAy=7.557 kNME=0，0.8660.866FF11FAy=0,0,FFBB=9.44 kNFAx=5 kN kNFEFGCEDGFBy123x1m 1m 1mFFFAy FBF2 sin6060oo+FFAyAyFE=0,0,取左半，画受力图取左半，画受力图F2FAyF1FEACEDF3FAxFAxmnFF11=8.726 kN kN（压力）（压力）MD=0，0.8660.866FF331.5FAy 0.866FAy+0.5 FE=0,0,FF33=12.32 kN kN（拉力）（拉力）FF22=2.821 kN kN（拉力）（拉力）