向量及其线性组合.ppt

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1、第二节 向量与向量组 的线性组合二、向量组的线性组合一、向量及其线性运算三、小结、思考题一、向量及其线性运算n维向量:称为列向量定义3.11.向量的定义 写成一列的 n 维向量,称为列向量,也就是列矩阵,通常用a,b,等表示,如:例例 若则1,2,3,4都是列向量.若则1T,2T 都是行向量.1.行向量和列向量总被看作是不同的向量;2.行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算;3.当没有明确说明是行向量还是列向量时,都当作 列向量.注：写成一行的 n 维向量,称为行向量,也就是行矩阵,通常用aT,bT,T,T 等表示.如，零向量：注：维数不同的零向量是不相同的。负向量：向量相等：2.向量的线性

2、运算定义3.2即（1）向量的加法（2）向量的数乘定义3.3减法向量的线性运算向量加法及向量数乘两种运算，统称为向量的线性运算.3.n维向量空间定义3.4 所有 维实向量的集合记为，即，我们称它是指在是n维向量空间，运算，并且中定义了加法及数乘并且这两种运算满足一下8条规律：4.向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例例 由构成的向量组1,2,3,4为列向量组.由构成的向量组1T,2T为行向量组.（1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成一个矩阵.n个m维列向量所组成的列向量组构成一个 m n 矩阵说明：m个n维行向量所组成的向量组1T,2T,mT 构成一

3、个m n矩阵（2）任何一个矩阵都可以构成一个向量组.例例 一个mn矩阵A其全体列向量构成一个含有n个m维列向量的向量组称其为矩阵A的列向量组.其全体行向量构成一个含有 m个n维行向量的向量组称其为矩阵A的行向量组.（3）线性方程组的向量表示.因此线性方程组的矩阵形式利用矩阵乘法，上述方程组可表示为利用分块矩阵及其乘法，得将上述矩阵进行相应分块，以后要熟悉线性方程组的这两种表示形式：从而得到线性方程组的向量表示为矩阵表示向量表示 设某市有三家肯得基店，各店出售的汉堡、炸薯条、可乐的价格为10、5、2.5（元），且各店一天的销售量分别如下表，计算各店一天的总销售额（元）。例例二、向量组的线性组合

4、定义3.5 给定向量组A:a1,a2,am和向量b,如果存在一组数1,2,m,使b=1a1+2a2+mam则称向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.由定义可知：若向量b能由向量组A线性表示，则即线性方程组有解定理3.3 向量b能由向量组A:a1,a2,am线性表示 矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,am,b)的秩.注：判定b是否能由 a1,a2,am线性表示的方法：对B进行初等行变换，使其化成行阶梯形矩阵，若R(A)=R(B)，则b可以由a1,a2,am线性表示，继续对B进行初等行变换使其化成行最简形，得到方程组Ax=b的解x=(1,2,m)T,

5、则b用a1,a2,am的表示式为 R(a1,a2,am)=R(a1,a2,am,b).反之亦然.验证例例11解法一解法一则利用矩阵的初等变换方法，求解线性方程组解法二例例22证明证明即例例33解解例例44解解例例55解解设例例66证明证明证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式。得表示式说明：此题中b用A线性表示的表示式不唯一.问：什么情况下表示式唯一？下节给出结论.若向量组B中每一向量都能由向量组A线性表示，即设有向量组 及则称向量组B能由向量组A线性表示.定义向量组 A 能由向量组 B 线性表示向量组 A 和 B 等价向量组 B 能由向量组 A 线性表示定义3.6向量组等

6、价的性质2.对称性1.自反性3.传递性如何判定一个向量组能否被另一个向量组表示？如何判定两个向量组等价？向量的表示方法：行向量与列向量 维向量的概念及运算三、小结3一个向量可由向量组线性表示的判定向量b 能由向量组 A线性表示线性方程组 Ax=b 有解5两个向量组等价4一个向量组可由另一向量组线性表示向量组 B 能由向量组 A线性表示矩阵方程AX=B 有解向量组 A 与向量组 B等价有关 n维向量空间叫做 维向量空间叫做 维向量空间 中的 维超平面 时，维向量没有直观的几何形象确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义向量在生产实践与科学研究中有广泛应用思考题若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加答36维的思考题解答 P159 3.(2)6.(1)(2)7.8.作业