某知名学院对多目标决策分析的研讨bkrm.pptx

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1、第五章多目标决策分析广西大学数学与信息科学学院第一节 多目标决策的目标准则体系n n一、目标准则体系的意义一、目标准则体系的意义n n在决策分析中，决策问题要达到的目的称为在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。标程度的标准和法则，称为决策准则。n n在多目标决策问题中，其目标或者经过逐层在多目标决策问题中，其目标或者经过逐层分解，或者依据决策主体要求和实际情况需分解，或者依据决策主体要求和实际情况需要，形成的多层次结构的子目标系统，使得要，形成的多层次结构的子目标系统，使得在最低一层子

2、目标可以用单一准则进行评价，在最低一层子目标可以用单一准则进行评价，称之为目标准则体系。称之为目标准则体系。第一节 多目标决策的目标准则体系n n 构造目标准则体系应注意的原则：一是系统性原则。二是可比性原则，三是可操作性原则。n n 二、目标准则体系的结构（一）单层次目标准则体系n n 各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。第一节 多目标决策的目标准则体系图5-1 单层次目标准则体系总目标目标m目标m-1目标2目标1第一节 多目标决策的目标准则体系n n（二）序列型多层次目标准则体系n n 目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干低一层次的子目标，各子目标

3、又可以继续分解，这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。第一节 多目标决策的目标准则体系n n（三）非序列型多层次目标准则体系（三）非序列型多层次目标准则体系n n某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在

4、直接联系。这类目标准则体标之间，不存在直接联系。这类目标准则体系称为非序列型多层次目标准则体系。系称为非序列型多层次目标准则体系。第一节 多目标决策的目标准则体系n n 三、评价准则和效用函数n n 在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。第一节 多目标决策的目标准则体系n n 多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数

5、，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。第一节 多目标决策的目标准则体系四、目标准则体系风险因素的处理 多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理。于是，风险型多目标问题就转化为确定型多目标问题。第二节 多维效用并合方法n n一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型在图在图5-25-2中，设中，设HH表示可行方案的总效用值，表示可行方案的总效用值，即满意度即满意度vv11，vv22，.，vvi i，表示第二层子目

6、，表示第二层子目标的效用值，如此类推，标的效用值，如此类推，ww11，ww22，.，wwjj表表示倒数第二层各子目标的效用值；示倒数第二层各子目标的效用值；uu11，uu22，.，uuss表示最低一层各准则的效用值。符号表示最低一层各准则的效用值。符号“”表示按某种规则和逻辑程序进行的效用表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。效用并合过程从下到上，逐层进并合运算。效用并合过程从下到上，逐层进行。行。Hv1w2w1v2w4w3viwkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.图5-2 序列型多层次目标准则体系第二节 多维效用并合方法最低一层各准则的效用，经过并合得到第三层子目标的效用并合

7、得到第二层各目标的并合效用值第二节 多维效用并合方法n n最后，可行方案最后，可行方案aaii的满意度的满意度n n多维效用并合的最满意方案为多维效用并合的最满意方案为aa*，其满意度，其满意度第二节 多维效用并合方法二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。效用并合采取不同方式进行。（一）距离规则（一）距离规则二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同时取最小值时，

8、并合效用大值；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平面上能使并合效用达到最大值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。离规则。第二节 多维效用并合方法设二维效用函数公式(5-2)可以推广到多维情形，成本和效益的效用并合应该按距离规则进行，由公式（5-3）知，并合效用函数第二节 多维效用并合方法（二）代换规则二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体

9、具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用均达到最高水平一样。第二节 多维效用并合方法代换规则的二维效用并合公式为推广到多维情形，n维效用并合的代换规则公式为第二节 多维效用并合方法n n（三）加法规则n n 二维效用并合的加法规则适用于如下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿。第二节 多维效用并合方法加法规则n的维并合效用公式为加法规则的二维效用并合公式为第二节 多维效用并合方法n n（四）乘法规则n n 乘法规则适

10、用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。第二节 多维效用并合方法第二节 多维效用并合方法第二节 多维效用并合方法n n（五）混合规则（五）混合规则n n混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换、加法和乘法三规则更为一般关系，是代换、加法和乘法三规则更为一般的情况。的情况。n n混合规则的二维效用并合公式混合规则的二维效用并合公式其中，其中，11称为形式因子。当称为形式因子。当 0 0时，经过简时，经过简单恒等变形，公式（单恒等变形，公式

11、（513513）可以化为较为规）可以化为较为规范的形式范的形式 第二节 多维效用并合方法第二节 多维效用并合方法n n 三、多维效用并合方法应用实例n n 多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、项目评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。这里介绍的“我国总人口目标”实例是西安交通大学系统工程研究所已完成的研究课题，引用已发表的部分资料。n n 第二节 多维效用并合方法n n 当今世界，人类活动与人类赖以生存的生态环境有着密切的关系，人口增长和生态环境是否相适应，人口增长和经济发展是否相协调，越来越引起世界各国的关注。社会经济的可持续发展，是我国面向2l世纪经济发展的战略

12、任务。计划生育，控制人口增长是我国的基本国策。第二节 多维效用并合方法n n 我国总人口目标问题，多年来一直众说纷纭，根据我国国情、经济实力、环境资源和社会发展等诸因素，科学分析我国总人口目标，关系到我国的国计民生和社会经济的长期稳定发展。应用多维效用并合方法，成功地对这个复杂的社会经济问题进行研究，科学分析了我国总人口目标方案，为我国人口政策制定提供科学的依据。第二节 多维效用并合方法n n 一、问题n n 经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命70年，制定控制人口目标，宜以100年为时间范围。需要确定100年内，我国人口控制最合理的总目标是多少。第二节 多维效用并合方法n n 二、

13、方案n n 对我国总人口目标的14个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为2亿，3亿。4亿，5亿，6亿，7亿，8亿，9亿，10亿，11亿，12亿，13亿，14亿，15亿14个人口方案，分别记为ai,其满意度分别为Hi(i=1,2,14)。第二节 多维效用并合方法三、目标准则体系各国对比u9我国人口总目标HV1V2吃用v1实力v2用w2吃w1粮食u1鱼、肉u2空气u4水u5能源u6土地u3最低总和生育率u8CNPu7图53 目标准则体系第二节 多维效用并合方法n n 四、评价准则和效用n n 1、粮食、鱼和肉合并为一项N（人口)o1u112.664.8图54 粮食目标准则的效用函数第二节 多维

14、效用并合方法n n 2、土地n n 3、水54ou3N10 56.7图55 土地目标准则的效用函数1ou4N4.5图56水目标准则的效用函数1第二节 多维效用并合方法n n 4、能源ou5N11.5图57 能源目标准则的效用函数1第二节 多维效用并合方法n n 5、总和生育率minu81o3 7N图58 min min目标准则的效用函数第二节 多维效用并合方法n n五、多维效用并合过程五、多维效用并合过程n n（11）uu11（粮食）、（粮食）、uu22（鱼、肉）两者宜用乘（鱼、肉）两者宜用乘法规则。法规则。n n（22）uu33（土地）、（土地）、uu44（空气）、（空气）、uu55（水）（

15、水）宜用乘法规则。宜用乘法规则。n n（33）uu66（能源）、（能源）、uu77（GNPGNP）宜用乘法规）宜用乘法规则。则。n n（44）uu88（minmin）、）、uu99（各国对比）宜用乘（各国对比）宜用乘法规则。法规则。第二节 多维效用并合方法第二节 多维效用并合方法第三节 层次分析方法美国运筹学家美国运筹学家T.L.SaatyT.L.Saaty于于2020世纪世纪7070年代提出的年代提出的AHPAHP决策分析法（决策分析法（Analytic Hierarchy ProcessAnalytic Hierarchy Process，简称简称AHPAHP方法），是一种定性与定量相结合

16、的方法），是一种定性与定量相结合的决策分析方法。决策分析方法。AHPAHP决策分析法，是解决复杂决策分析法，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。量经济学的主要方法之一。第三节 层次分析方法n n 一、基本原理n n（一）递阶层次模型将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。可以将层次分为三种类型：第三节 层次分析方法n n（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。n n（2）中间层：包含若干层元素，表示实

17、现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。n n（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。第三节 层次分析方法（二）层次元素排序的特征向量法（二）层次元素排序的特征向量法在复杂的问题决策中，只要引入合理的度量在复杂的问题决策中，只要引入合理的度量标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方法来度量每个要素的相对重要性，从而为有法来度量每个要素的相对重要性，从而为有关决策提供依据。关决策提供依据。对于社会、经济和管理等领域中的决策问题，对于社会、经济和管理等领域中的决策问题，通过建立层次结构模型，在相邻两层次之间，通过建立层次结构模型，在相

18、邻两层次之间，构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。过程。第三节 层次分析方法n n物体测重原理物体测重原理n n设有设有nn个物体个物体AA11，AA22，AAnn，它们的重量分，它们的重量分别记为别记为ww11，ww22，wwnn，现将每个物体的重，现将每个物体的重量两两进行比较如下：量两两进行比较如下：n n表表5522两两进行比较物体的重量两两进行比较物体的重量AA11AA22 AAnnAA11ww11/ww11ww11/ww22 ww11/wwnnAA22ww22/

19、ww11ww22/ww22 ww22/ww22AAnnwwnn/ww11wwnn/ww22 wwnn/wwnn第三节 层次分析方法写成矩阵的形式A称为判断矩阵。第三节 层次分析方法n n 若取重量向量w=(w1,w2,wn)T,则有Aw=nw，w是判断矩阵A的特征向量，n是特征值。n n 将物体测重原理应用于层次分析法，以上层为准则，通过两两比较，构造判断矩阵，然后通过求解最大特征值对应的特征向量，得到相应的优先权重。第三节 层次分析方法HG11G12G1n-1G1nA1A2An-1An.最高层中间层最低层G21G22G1k-1G1k层次结构图第三节 层次分析方法例如，以例如，以HH为决策准则

20、，对为决策准则，对GG1111，GG1212，.，GG11nn进行两两比较，得进行两两比较，得判断矩阵判断矩阵AA=(=(aaijij)nnnn，这里的元素的这里的元素的aaijij00（ii，jj11，22，nn）表示表示GG11ii，GG11jj比较的结果。比较的结果。第三节 层次分析方法二、判断矩阵二、判断矩阵（一）判断矩阵的构造（一）判断矩阵的构造设设nn个元素个元素(方案或目标方案或目标)对某一准则存在相对对某一准则存在相对重要性，根据特定的标度法则，第重要性，根据特定的标度法则，第ii个元素个元素(ii11，22，nn)与其它元素两两比较判断，与其它元素两两比较判断，其相对重要程度

21、为其相对重要程度为aaijij（ii，jj11，22，nn），这样构造的，这样构造的nn阶矩阵用以求解各元素关于某阶矩阵用以求解各元素关于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作简称判断矩阵，记作AA=(=(aaijij)nnnn第三节 层次分析方法n n 构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判断两元素相对重要程度的标度法则，使得任意两元素相对重要程度有一定的数量标准。T.L.Saaty教授引用的19标度方法，其各级标度的含义如表5-2所示。第三节 层次分析方法标 标 度 度 定 定 义 义 含 含 义 义1 1 同 同 样 样 重

22、要 重要两元素 两元素 对 对 某属性，一元素比另一元素同 某属性，一元素比另一元素同样 样 重要 重要3 3 稍微重要 稍微重要两元素 两元素 对 对 某属性，一元素比另一元素稍 某属性，一元素比另一元素稍微重要 微重要5 5 明 明 显 显 重要 重要两元素 两元素 对 对 某属性，一元素比另一元素明 某属性，一元素比另一元素明显 显 重要 重要7 7 强 强 烈重要 烈重要两元素 两元素 对 对 某属性，一元素比另一元素 某属性，一元素比另一元素 强 强烈重要 烈重要9 9 极端重要 极端重要两元素 两元素 对 对 某属性，一元素比另一元素极 某属性，一元素比另一元素极端重要 端重要2

23、2、4 4、6 6、8 8 相 相 邻标 邻标 度中 度中 值 值 表示相 表示相 邻 邻 两 两 标 标 度之 度之 间 间 折中 折中 时 时 的 的 标 标 度 度上列 上列 标 标 度倒数 度倒数 反比 反比 较 较 元素 元素i i 对 对 元素 元素j j 的 的 标 标 度 度 为 为a aij ij，反之，反之 为 为1/1/a aij ij表5-2 各级标度的含义第三节 层次分析方法n n（二）判断矩阵的一致性检验（二）判断矩阵的一致性检验n n判断矩阵的一致性指标，记作判断矩阵的一致性指标，记作其中，其中，nn为判断矩阵的阶数，为判断矩阵的阶数，maxmax为判断矩阵为判断

24、矩阵的最大特征值。一般来说，的最大特征值。一般来说，C.IC.I越大，偏离一越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。另外，致性越大，反之，偏离一致性越小。另外，判断矩阵的阶数判断矩阵的阶数nn越大，判断的主观因素造成越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。当阶数偏离一致性越小。当阶数nn22时，时，C.IC.I=0=0，判断矩阵具有完全的一致性。判断矩阵具有完全的一致性。第三节 层次分析方法一致性比率，记作C.R=C.I/R.I用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，

25、当C.R0.1时，判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。第三节 层次分析方法n n 判断矩阵的一致性检验步骤是：n n（1）求出一致性指标C.I=(max-n)/(n-1)n n（2）查表得到平均随机一致性指标R.I；n n（3）计算一致性比率C.R=C.I/R.I。当C.R.0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵。第三节 层次分析方法三、递阶层次结构权重解析过程三、递阶层次结构权重解析过程一）递阶权重解析公式一）递阶权重解析公式 AHPAHP方法的目的，在于求出各方案对总目标方法的目的，在于求出各方案对总目标GG的优先权重，求解

26、过程从上到下，在相邻层的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。首先，讨论相邻两层次间的权重解析。第首先，讨论相邻两层次间的权重解析。第kk层层子目标关于总目标子目标关于总目标GG的组合优先权重向量为的组合优先权重向量为递阶层次结构模型如图5-11 图5-11 递阶层次结构模型第三节 层次分析方法三、递阶层次结构权重解析过程（一）递阶权重解析公式AHP方法的目的，在于求出各方案对总目标G的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。首先，讨论相邻两层次间的权重解析。第k层子目标关于总目标G的组合优先

27、权重向量为第三节 层次分析方法n n或者表示为分量形式或者表示为分量形式n n其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，给出方案层关于总目标给出方案层关于总目标GG的优先权重向量。的优先权重向量。n n表示方案层表示方案层mm个方案关于准则层个方案关于准则层个准则的优先权重向量，个准则的优先权重向量，是是mmss矩阵；矩阵；第三节 层次分析方法最后，计算方案层各方案关于总目标G的优先权重。这个优先权重记为于是，AHP方法递阶权重解析过程的计算公式为第三节 层次分析方法n n（二）（二）AHPAHP方法的基本步骤方法的基本步骤n n1.1.建立层次结构模型建

28、立层次结构模型n n将目标准则体系所包含的因素划分为不同层次，将目标准则体系所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、方案层等，构建递阶层次结如目标层、准则层、方案层等，构建递阶层次结构模型。构模型。n n2.2.构造判断矩阵构造判断矩阵n n按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。n n3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验n n根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最大特根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最大特征值相对应的特征向量，经过归一化处理，即得征值相对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。层次单排

29、序权重向量。第三节 层次分析方法4.层次总排序及其一致性检验 层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。层次总排序检验的一致性指标，平均随机一致性指标和一致性比率指标分别是第三节 层次分析方法表5-6 计算层次B的总排序权重值AA11AA22AAmm层次层次BB总排序权值总排序权值ww11ww22wwmmBB11 p p11 11 pp12 12 pp11mmBB22 p p21 21 pp22 22 pp22mmBBnn p pnn1 1 ppnn2 2 ppnmnm层次A权重层次B第三节 层次分析方法（三）AHP方法应用实例 例5-2某市中心有一座商场，由于

30、街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题经过有关专家会商研究，制定出三个可行方案：1.在商场附近修建一座环形天桥；2.在商场附近修建地下人行通道；3.搬迁商场。第三节 层次分析方法n n决策的总目标是改善市中心交通环境。根据决策的总目标是改善市中心交通环境。根据当地的具体条件和有关情况，专家组拟定当地的具体条件和有关情况，专家组拟定55个个目标作为对可行方案的评价准则：目标作为对可行方案的评价准则：n n1.1.通车能力；通车能力；n n2.2.方便群众；方便群众；n n3.3.基建费用不宜过高；基建费用不宜过高；n n4.4.交通安全；交通安全；n n5.5.市容

31、美观。市容美观。n n试对该市改善市中心交通环境问题作出决试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。策分析。第三节 层次分析方法改善交通环境通车能力C1方便群众C2天桥a1地道a2搬迁a3基建费用C3交通安全C4市容美观C5图512 层次结构模型解：（1）建立层次结构模型；第三节 层次分析方法n n(2)(2)以总目标为准则，构造判断矩阵以总目标为准则，构造判断矩阵计算判断矩阵的最大特征值计算判断矩阵的最大特征值maxmax=5.2065.206及及对应的特对应的特征向量征向量ww=(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059)=(0.461,0.195,0.091,0.19

32、5,0.059)TT,计算计算C.RC.R0.0460.1,0.0460.1,第三节 层次分析方法同理以同理以cc11，cc22，cc33，cc44，cc55为准则构造判断矩阵，为准则构造判断矩阵，并计算它们的最大特征值及对应的特征向量。并计算它们的最大特征值及对应的特征向量。第三节 层次分析方法（33）层次总排序及一致性检验）层次总排序及一致性检验第三节 层次分析方法改善交通环境通车能力C1方便群众C2天桥a1地道a2搬迁a3基建费用C3交通安全C4市容美观C5图512 层次结构模型注意:第三节 层次分析方法n n 注意：如果去掉C5与a3的连线，在准则C5下的判断矩阵是22阶，计算最大特征

33、值对应的特征向量是二维的，此时应在对应的位置添加零，使得其变为三维向量。第四节 DEA方法 DEA（Data Envelopment Analysis）方法又称为数据包络分析方法，是对多指标投入和多指标产出的相同类型部门，进行相对有效性综合评价的一种新方法，也是研究多投入多产出生产函数的有力工具。第四节 DEA方法n n 一、一、DEA DEA模型 模型n n（一）（一）DEA DEA模型概述 模型概述n n DEA DEA方法是评价多指标投入和多指标产出决策单元相 方法是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法，是美国著名运筹学家查 对有效性的多目标决策方法，是美国著名运

34、筹学家查思斯和库伯教授于 思斯和库伯教授于1978 1978年首先提出的。年首先提出的。n n 在国外，在国外，DEA DEA方法已经成功地应用于银行、城市、医 方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事项目等方面效率评价，在对相互之间 院、学校及军事项目等方面效率评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也显 存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也显示出巨大的优越性。示出巨大的优越性。n n DEA DEA方法是以相对效率概念为基础，特别适用于多指 方法是以相对效率概念为基础，特别适用于多指标投入和多指标产出决策单元的相对有效性评价。标投入和多指标产出决策单元的

35、相对有效性评价。第四节 DEA方法(投入）（产出）（二）C2R 模型及其基本性质x11x12 x1nx21x22 x2nxm1xm2 xmnv1 1v2 2vm my11y12 y1ny21y22 y2nyp1yp2 xpnu11u22upp12 n第四节 DEA方法n n xij表示第j个决策单元第i种投入指标的投入量，xij0；n n yrj表示第j个决策单元第r种产出指标的产出量，yrj 0；n n vi表示第i种投入指标的权系数，vi0；n n ur表示第r种产出指标的权系数，ur0；n n i=1，2，n；j=1，2，p第四节 DEA方法对每个决策单元，都定义一个效率评价指标效率指标

36、hj表示第j个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率，可以适当选择权系数u，v，使得hj1。第四节 DEA方法现建立评价第j0个决策单元相对有效的C2R模型第四节 DEA方法模型（5-23）可以表示为矩阵形式记（5-24）有 第四节 DEA方法令，则 化为线性规划问题(P)第四节 DEA方法线性规划P的对偶规划问题(D)其中，松弛变量 第四节 DEA方法（三）评价系统的DEA有效性n定义5.1如果线性规划(P)的最优解满足条件则称决策单元j0为弱DEA有效。满足条件定义5.2 如果线性规划(P)的最优解，则称决策单元 为DEA有效。并且第四节 DEA方法定理5.1 线性规划(P)及其对

37、偶规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值定理5.2 关于对偶规划(D)，有：（1）如果(D)的最优值VD=1,则决策单元j0为弱DEA有效；反之亦然；（2）如果(D)的最优值VVDD=1=1，并且每个最优解 都满足条件，则决策单元j0为DEA有效；反之亦然。第四节 DEA方法定理5.3决策单元的最优效率指标VP与投入指标值xij及产出指标值yij 的量纲选取无关。（四）评价系统有效性的判定考虑带有非阿基米德无穷小量 的 模型(5-27)第四节 DEA方法其中，=（1，1，1），是元素均为1的m维向量，=（1，1，1）是元素均为1的p维向量。（）的对偶规划为（5-28）第四节 DEA方

38、法利用带有的模型（D），容易判断决策单元DEA的有效性。为此，有以下定理。定理5.4 设为非阿基米德无穷小，线性规划(D)的最优解为0,s0-,s0+，0,有，（1）若 l，则决策单元 为弱DEA有效；（2）若 l，并且 0，0，则决策单元 为DEA有效。在实际操作中，只要取足够小就可以了。第四节 DEA方法（五）DEA有效决策单元的构造定义5.3 设0，s0-,s0+,0是线性规划问题(D)的最优解令（5-29）称 为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的“投影”。定理5.5 设 为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。则新决策单元相对于原来的n个决

39、策单元来说，是DEA有效的。第四节 DEA方法二、DEA有效性的经济意义（一）生产函数和生产可能集1生产函数在单投入和单产出的情况下，生产函数y=f(x)表示理想的生产状态，即投入量x所能获得的最大产出量y。因此，生产函数曲线上的点(x，y)所对应的决策单元，从生产函数的角度看，是处于技术有效状态。生产函数图形如图5-16，图5-16中，点A，C 处于技术有效状态。第四节 DEA方法图5-16 生产函数xy第四节 DEA方法2生产可能集生产可能集定义为所有可能的生产活动构成的集合，记作Tx,y。由于(xj,yj)是决策单元j的生产活动，于是有(xj,yj)T,(i,j=1,2,n)在C2R模型

40、中，生产可能集应该满足下面的四条公理。第四节 DEA方法即是说，如果x1，x2分别以,(1-)加权和作为投入量，则y1,y2以同样的加权和作为产出量。公理5.1（凸性）对于任意，以及任意，均有 公理5.2（锥性）对于任意（x,y)T，任意数0，均有(x,y)=(x,y)即是说，如果以x的倍作为投入量，则产出量y是的同样倍数。第四节 DEA方法即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。公理5.3（无效性）对于任意（x,y)T，公理5.4（最小性）生产可能集T是满足公理14的所有集合的交集。第四节 DEA方法由n个决策单元（）的生产活动所描述的生产可能集，满足公

41、理14是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为（5-30）第四节 DEA方法（二）DEA有效性的经济意义用线性规划模型（）评价决策单元 的DEA有效性，模型 第四节 DEA方法为了清楚起见，考虑不含松弛变量的线性规划模型（5-31）由于(x0,y0)T，即（x0,y0）满足条件第四节 DEA方法线性规划模型(D)表示，在生产可能集内，当产出y0保持不变的情况下，尽量将投入量x0按同一比例减少。如果投入量x0不能按同一比例减少，即模型（D）最优值VD=0=1在单投入和单产出的情况下，决策单元j0同时技术有效和规模有效。如果投入量x0能按同一比例减少，模型（D）最优值VD=01，决策单元j0不是技术

42、有效和规模有效。第四节 DEA方法(2)0=1，但至少有某个si0-0,(i1，2，m),或者至少有某个sr0-0,(r1，2，p)。决策单元j0不是DEA有效，其经济意义是，决策单元j0不是技术效率有效，也不是规模有效。设模型（D）的最优解为0，0，s0-,s0+。（1）0=1,且s0-=0,s0+=0,决策单元j0不是DEA有效，其经济意义是，决策单元j0不是技术有效和规模有效。(3)01，决策单元j0不是DEA有效，其经济意义是，决策单元j0的生产活动（x0,y0）既不是技术效率最佳，也不是规模收益最佳。第四节 DEA方法（2）若，则决策单元 规模收益递增；（3）若，则决策单元 规模收益

43、递减。（1）若，则决策单元 规模收益不变；定理5.6设线性规划（D）的最优解为0，0，s0-，s0+。（三）生产活动规模收益的判定第五节 目标规划方法 求解多目标线性规划的方法很多，目标规划是求解多目标线性规划的方法很多，目标规划是其中有效方法之一。其基本方法是，对每一其中有效方法之一。其基本方法是，对每一个目标函数引进一个期望值。由于条件限制，个目标函数引进一个期望值。由于条件限制，这些目标值不尽然都能达到，引入正、负偏这些目标值不尽然都能达到，引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件目标函数转化为约束条件

44、，与原有约束条件构成新的约束条件组。引入目标的优先等级构成新的约束条件组。引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。目标问题转化为单目标问题求解。第五节 目标规划方法n n 一、多目标线性规划转化为目标规划问题的方法n n（一）期望值ekn n 对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk(k=1,2,K)，根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值ek。第五节 目标规划方法（二）正负偏差变量 对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量，且，。引入偏差变量之后，目标函数就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分。原有的

45、约束条件，也可以用引入偏差变量的办法，将不等式约束变成约束，偏差变量起着松弛变量的作用。0 第五节 目标规划方法（三）达成函数（准则函数）目标规划模型的目标函数称为达成函数(准则函数)，通过构造达成函数，多目标问题就转化为单目标问题。达成函数的一般形式是（四）优先因子和权系数目标规划的模型的一般形式是第五节 目标规划方法第五节 目标规划方法n n 目标规划的建模步骤是：n n（1）假设决策变量；n n（2）建立约束条件；n n（3）建立各个目标函数；n n（4）确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；n n（5）确定各目标优先级别和权系数，构造达成函数。第五节 目标规划方法n

46、n例例5599某厂生产某厂生产AA，BB两种型号的产品，需要两种型号的产品，需要消耗甲、乙两种材料，其单位消耗、单位利消耗甲、乙两种材料，其单位消耗、单位利润和材料库存如表润和材料库存如表5588所示。市场对产品所示。市场对产品BB的的需求量大，要尽可能多生产，如何安排生产需求量大，要尽可能多生产，如何安排生产AA，BB型号产品，使厂家获得利润最大。根据市型号产品，使厂家获得利润最大。根据市场需求情况，决策者确定首要目标是确保利场需求情况，决策者确定首要目标是确保利润润755755万元，其次是产品万元，其次是产品BB的产量不得低于目的产量不得低于目标值标值650650万件，试对厂家生产作出决策

47、分析。万件，试对厂家生产作出决策分析。第五节 目标规划方法表58单位消耗、单位利润和材料库存单位消耗、单位利润和材料库存甲甲乙乙利润利润AABB0.50.10.50.10.30.30.30.30.70.71.01.0总量总量 300180300180原料 消耗产品第五节 目标规划方法第五节 目标规划方法本章小结n n在多目标决策问题中，采用目标准则体系将在多目标决策问题中，采用目标准则体系将决策总目标经过逐层分解，形成多层次结构决策总目标经过逐层分解，形成多层次结构的子目标系统，使得最低一层子目标可以用的子目标系统，使得最低一层子目标可以用单一准则进行评价。单一准则进行评价。n n多维效应并合

48、方法从目标准则体系最低一层多维效应并合方法从目标准则体系最低一层准则层开始按不同的并合准则并合它们的效准则层开始按不同的并合准则并合它们的效用，得到倒数第二层子目标并合效用，以此用，得到倒数第二层子目标并合效用，以此做下去，最终得到可行方案对目标准则体系做下去，最终得到可行方案对目标准则体系的总效用值。的总效用值。本章小结n n层次分析方法可以将复杂问题分解为若干层层次分析方法可以将复杂问题分解为若干层次和若个因素，在各因素之间进行简单比较次和若个因素，在各因素之间进行简单比较和计算，就可以得出不同方案重要性的权重，和计算，就可以得出不同方案重要性的权重，从而为决策方案的选择提供依据。从而为决

49、策方案的选择提供依据。n nDEADEA方法是一种新的多目标决策方法，特别方法是一种新的多目标决策方法，特别适用于多指标投入和多指标产出决策单元的适用于多指标投入和多指标产出决策单元的相对有效性评价，它不需要确定决策单元的相对有效性评价，它不需要确定决策单元的数学模型，是非结构化的评价方法。数学模型，是非结构化的评价方法。DEADEA方方法具有黑箱类型的特色，对经济系统相对有法具有黑箱类型的特色，对经济系统相对有效性评价独具优势。效性评价独具优势。关键词n n 多目标决策分析(Multi-objective Decision Analysis)n n 效用并合(Utility Combine)n n 层次分析法(Level of Analysis)n n 数据包络分析（Data Envelopment Analysis）n n 目标规划(Goal Programming)