大学文科数学1-2积分ppt.ppt

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1、2 积 分 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊阿基米德用“穷竭法”、我国的刘徽用“割圆术”，都曾计算过一些几何体的面积和体积，这些都是定积分的雏形。直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分和微分的之间的内在联系，给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决有关实际问题的有利工具，并使各自独立的微分和积分联系在一起，构成了完整的理论体系-微积分学。文 科 数 学1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线及 x 轴、两直线所围成，求其面积 A。矩形面积 A梯形面积 A一、积分的概念文 科 数 学1)大化小 在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线

2、将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形；2)常代变 在第i 个窄曲边梯形上任取作以 为底，为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积 得解决步骤：文 科 数 学4)取极限令 则曲边梯形面积3)近似和文 科 数 学设某物体作直线运动，且求在运动时间内物体所经过的路程 s。解决步骤1)大化小将它分成 n 个小段 在每个小2)常代变已知速度段上物体经过的路程为2.变速直线运动的路程文 科 数 学4)取极限上述两个问题的共性：解决问题的方法步骤相同：“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量的结构式相同：特殊乘积和式的极限所要计算的量（面积、路程）决定于一个函数以及自变量的一个变化区间；3)近似

3、和文 科 数 学任一种分法任取总趋于确定的则称此极限 I 为函数在区间 上的，即此时称 f(x)在a,b 上可积。记作二、积分的定义 定义1只要时，极限 I,定积分，定积分概念教学演示实验文 科 数 学积分上限积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即文 科 数 学利用定义计算定积分解：将 0,1 n 等分,分点为取 例1，则文 科 数 学注：利用得两端分别相加，得即文 科 数 学曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定积分的几何意义文 科 数 学(k 为常数)三、积分的性质5.若在a,b 上则文 科 数 学证：当 时，因 在上可积，所以在分割区间时，可以永远取 c 为分点，于是文 科 数 学当 a,b,c 的相对位置任意时,例如则有定积分对于积分区间具有可加性文 科 数 学补：若在 a,b 上则证：5.若在 a,b 上 则文 科 数 学解：计算定积分比较 的大小。解：在 上，例2练习文 科 数 学作业 P17积分的定义：1，2积分的性质：3，4，5文 科 数 学