第7章 频率变换优秀课件.ppt

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1、第7 章 频率变换第1 页，本讲稿共45 页1 频率概述 前述的处理方法：利用图像的视觉性质，直观、好理解。频率的处理方法：利用图像的分布变化特性，不直观、难理解。第2 页，本讲稿共45 页1 频率概述 声音与图像的频率频率低频率高图像上代表粗略部分。图像上代表细微部分。第3 页，本讲稿共45 页1 频率概述 声音的频率处理：用音调控制器。把高音调低：声音发闷；把低音调低：声音发尖。图像的频率处理：傅立叶变换（FT）。去掉高频成分：消除细微部分，图像变模糊；去掉低频成分：消除粗略部分，留下图像边缘。第4 页，本讲稿共45 页1 频率概述 Jean Baptiste Joseph Fourier

2、(17681830)第5 页，本讲稿共45 页 频率变换的基础：2 频率变换概述 任意波形能够表现为单纯的正弦波的和。第6 页，本讲稿共45 页2 频率变换概述 正弦波可由幅度（大小）A和相位来确定。频率变换的基础第7 页，本讲稿共45 页 右图(b)、(c)、(d)、(e)的四个波形可表示为：2 频率变换概述 频率f幅度A图形；频率f相位图形。频率变换的基础 实现了空间域到频率域的变换。第8 页，本讲稿共45 页 空间域到频率域的变换，属于正交变换的一种。2 频率变换概述 傅立叶变换（FT）：第9 页，本讲稿共45 页复数形式可以同时表示幅度A和相位。复数是由实部和虚部两部分的组合表示的数。

3、用如下公式表示：用复数函数F(u)表示：2 频率变换概述 傅立叶变换复数表示：第10 页，本讲稿共45 页其中，角频率=2u。这就是所有频率处理都要用到的非常重要的基础公式。2 频率变换概述 傅立叶变换公式：第1 1 页，本讲稿共45 页2 频率变换概述 计算机的领域与数学领域的不同：计算机 信号格式：数值范围：不连的数字信号 连续的模拟信号一定有限 可以无限离散傅里叶变换（DFT:Discrete Fourier Transform）。在计算机领域受到限制的傅里叶变换被称为：第12 页，本讲稿共45 页 DFT可通过把傅立叶变换公式变为离散值来导出。3 离散傅里叶变换 一维傅立叶变换（DFT

4、）假定输入信号为x(0)、x(1)、x(2)、x(N-1)共N个离散值，那么变换到频率域的结果（复数）也是N个离散值X(0)、X(1)、X(2)、X(N-1)：第13 页，本讲稿共45 页 离散傅立叶变换公式：3 离散傅里叶变换 一维傅立叶变换（DFT）其中，k=0,1,2,N-1；n=0,1,2,N-1；IDFT为一维离散傅里叶逆变换或一维离散傅里叶反变换（inverse discrete Fourier Transform）。与一般傅里叶变换相比：积分运算被求和运算所代替。W被称为旋转算子。第14 页，本讲稿共45 页 复数领域有欧拉公式：3 离散傅里叶变换 一维傅立叶变换（DFT）旋转算

5、子可以用欧拉公式来置换如下：把上式代入离散傅立叶变换公式，就只有三角函数和求和运算，从而能够用计算机进行计算。但是其计算量相当大。因此快速傅立叶变换（FFT）被提出。第15 页，本讲稿共45 页 二维图像的傅立叶变换特点：3 离散傅里叶变换 二维傅里叶变换（1）具有水平和垂直两个方向上的频率；（2）常把频率平面的中心作为直流分量；（3）二维频谱图的特性：幅度特性以幅度轴对称；相位特性以中心点对称。第16 页，本讲稿共45 页 二维FFT计算过程：3 离散傅里叶变换 二维傅里叶变换 可通过水平方向的一维FFT和垂直方向的一维FFT来实现，即按照下图所示的处理框图来实现二维FFT。第17 页，本讲

6、稿共45 页3 离散傅里叶变换 例：图像的二维傅立叶变换示例。I1=imread(lena.bmp);%读入一幅图像subplot(2,2,1),imshow(I1),title(图像1);%显示图像1F1=fft2(I1);%对图像1进行傅立叶变换F2=fftshift(F1);%频谱中心化F3=log(abs(F2);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,2),imshow(F3,),title(图像1的频谱);%显示图像1的频谱I2=imread(girl.bmp);%读入另一幅图像subplot(2,2,3,replace),imshow(I2),title(图像2);%显示图像

7、2F4=fft2(I2);%对原始图像2进行傅立叶变换F5=fftshift(F4);%频谱中心化F6=log(abs(F5);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,4),imshow(F6,),title(图像2的频谱);第18 页，本讲稿共45 页3 离散傅里叶变换 例：绘制一个圆形的二值图像，并对其进行傅立叶函数的示例。f=zeros(40,40);%创建一个4040的0矩阵for i=1:40 for j=1:40d=sqrt(i-20)2+(j-20)2);%求取中心在(20,20)处的圆的半径值if(d=10)%创建一个半径在10以内像素点值为1的圆 f(i,j)=1;end

8、 endendfigure,subplot(1,2,1),imshow(f);title(图像);F=fft2(f);%对f进行快速傅立叶变换F1=fftshift(F);%对直流分量（零频率系数）中心化F2=log(abs(F1);%对幅值取对数subplot(1,2,2),imshow(F2,-1 5);title(频谱);%小于-1显示为黑，大于5显示为白，其余显示为中间灰色colorbar(vert);%加标尺第19 页，本讲稿共45 页3 离散傅里叶变换 colormap(jet);%设置jet颜色。The colors begin with dark blue,range thro

9、ugh shades of blue,cyan,green,yellow and red,and end with dark red.可用hot,cool,pink,flag,copper,bone,gray等替代jet。第20 页，本讲稿共45 页 线性变换：设x是N1的向量，T是一个NN的矩阵，则线性变换定义为：4 其他频率变换 线性变换、酉变换、正交变换 变换的结果y是输入元素的一阶和构成的，实际上结果向量的每个元素yi是输入向量x和T的第i行的点积。当T是非奇异的，逆变换存在，即第21 页，本讲稿共45 页 酉变换、正交变换4 其他频率变换 线性变换、酉变换、正交变换 酉变换：当T是酉

10、矩阵（unitary matrix）时。酉矩阵 T-1（逆）=T*T（共轭转置）或 TT*T=T*TT=I。正交变换：如果酉矩阵的所有元素都是实数时。正交矩阵 T-1（逆）=TT（转置）或 TTT=TTT=I。第22 页，本讲稿共45 页 线性变换的一般形式：4 其他频率变换 线性变换、酉变换、正交变换(x,y;u,v)是变换的核函数，可以看作是一个N2N2的块矩阵，每行有N个块，共有N行，每个块是一个NN的矩阵。块由u,v索引，块内由x,y索引。第23 页，本讲稿共45 页 可分离的、对称的酉变换（图像通常采用）4 其他频率变换 线性变换、酉变换、正交变换酉变换的核矩阵的行向量构成了N维向量

11、空间的一组基，它们是彼此正交的，即第24 页，本讲稿共45 页4 其他频率变换 正弦型变换 以正弦型函数为基函数的变换包括傅立叶变换、余弦变换、Hartley变换等。余弦变换（DCT）是傅立叶变换的特例，即f(x,y)为偶函数时傅立叶变换的计算只有余弦项。余弦变换（DCT）第25 页，本讲稿共45 页4 其他频率变换 正弦型变换 二维DCT定义为：余弦变换（DCT）第26 页，本讲稿共45 页4 其他频率变换 正弦型变换 二维逆变换IDCT定义为：余弦变换（DCT）第27 页，本讲稿共45 页4 其他频率变换 正弦型变换 DCT的核矩阵为：与DFT不同的是，DCT是实值的，在图像编码领域有广泛

12、的应用。可以用快速傅立叶变换算法实现快速离散余弦变换。MATLAB中进行二维离散余弦变换的函数为dct2。余弦变换（DCT）第28 页，本讲稿共45 页4 其他频率变换 例：图像的二维余弦变换示例。I1=imread(lena.bmp);%读入一幅图像subplot(2,2,1),imshow(I1),title(图像1);%显示图像1C1=dct2(I1);%对图像1进行离散余弦变换C2=log(abs(C1);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,2),imshow(C2,),title(图像1的频谱);I2=imread(girl.bmp);%读入另一幅图像subplot(2,2,

13、3),imshow(I2),title(图像2);%显示图像2C4=dct2(I2);%对图像2进行离散余弦变换C5=log(abs(C4);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,4),imshow(C5,),title(图像2的频谱);第29 页，本讲稿共45 页 Hartley变换4 其他频率变换 二 维 离 散 Hartley变 换（DHT，Discrete Hartley Transform）为 基函数为 正弦型变换第30 页，本讲稿共45 页 Hartley变换4 其他频率变换 二维离散Hartley逆变换 二维DHT的核矩阵为 正弦型变换 DHT实际上是DFT的另一种计算方法

14、，由于它避免了复数计算，从而可以大大地减少计算量。第31 页，本讲稿共45 页 沃尔什-哈达玛变换4 其他频率变换 为了减少计算量，还有一类图像变换采用方波型基函数，即 沃 尔 什-哈 达 玛 变 换（WHT,Walsh-Hardamard Transform）。沃尔什-哈达玛变换变换是对称的、可分离的酉变换，它的核矩阵中只有+1和-1两种元素。它的维数N=2n，其中n是整数。离散沃尔什-哈达玛变换变换为 方波型变换 逆变换为第32 页，本讲稿共45 页 沃尔什-哈达玛变换4 其他频率变换 核矩阵HN按如下方式构造：方波型变换 最小阶（N2）的核矩阵为：利用这个迭代性质求解N阶（N=2n）的哈

15、达玛变换矩阵，便给出快速沃尔什-哈达玛变换算法WHT。第33 页，本讲稿共45 页 滤波处理的目的：5 滤波处理 使某些频率通过，使某些频率阻断。让我们通过设定右图所示的参数a和b的值，使a以上、b以下的频率（斜线表示的频率）通过，其它的频率阻断来进行滤波处理。第34 页，本讲稿共45 页5 滤波处理 例：小于40的频率通过，其余的频率阻断的MATLAB程序示例。I=imread(lena.bmp);%读入一幅BMP灰度图像figure,subplot(2,2,1),imshow(I);title(原始图像);%把图形窗口划分为22显示区域，在左上角的区域显示图像IF=fft2(I);%傅立叶

16、变换F1=fftshift(F);%频谱中心化F2=log(abs(F1);%为了显示F1的幅值对其取对数subplot(2,2,2),imshow(F2,);title(频谱);%在右上角的区域显示频谱F2第35 页，本讲稿共45 页5 滤波处理M,N=size(F1);%获取频谱F1的高度和宽度m=round(M/2);n=round(N/2);%四舍五入取整for i=1:M for j=1:Nd=sqrt(i-m)2+(j-n)2);%求取到频谱中心的距离if(d=40)F3(i,j)=F1(i,j);%注意不要用取对数的幅值！else F3(i,j)=0;%大于40频率阻断 end

17、end end第36 页，本讲稿共45 页5 滤波处理F4=log(abs(F3);%对F3的幅值取对数subplot(2,2,3),imshow(F4,);title(低通滤波后频谱);%在左下角的区域显示频谱F4F3=ifftshift(F3);%频谱反中心化I1=ifft2(F3);%傅立叶反变换I2=uint8(real(I1);%取幅值并转换成8位无符号整数subplot(2,2,4),imshow(I2);title(低通滤波后图像);%在右下角的区域显示图像I2第37 页，本讲稿共45 页5 滤波处理第38 页，本讲稿共45 页5 滤波处理 这种滤波处理，可以被认为是滤波器的频率

18、和图像的频率相乘的处理，实际上变更这个滤波器的频率特性可以得到各种各样的处理。假定输入图像为f(i,j)，则图像的频率F(u,v)变为：如果滤波器的频率特性表示为S(u,v)，则处理后图像g(i,j)表示为：第39 页，本讲稿共45 页5 滤波处理 在此，假定S(u,v)经IDFT得到s(i,j)，那么上式将变形为：这个 符号被称为卷积运算（convolution）。图像上（空间域）的卷积运算=频率域的乘积运算。第40 页，本讲稿共45 页频率变换结束！FunctionsT erms第41 页，本讲稿共45 页MATLAB Functionszeros:双精度类全0矩阵fft2:得到二维FFT

19、fftshift:FFT变换频谱的中心化colormap:设置色图colorbar:对图像增加颜色条返回dct2:得到二维DCTround:四舍五入取整real:复数实部第42 页，本讲稿共45 页Terms返回Spatial:空间的Spatial domain:空间域Frequency:频率High frequency:高频Frequency variable:频率变量Frequency domain:频域Low frequency:低频Fourier transform:傅立叶变换第43 页，本讲稿共45 页Terms返回Fourier spectrum:傅立叶频谱One(Two)-dim

20、ensional Fourier transform:一(二)维傅立叶变换Discrete Fourier transform(DFT):离散傅立叶变换Fast Fourier transform(FFT):快速傅立叶变换Inverse Fourier transform:傅立叶逆变换Amplitude:幅度，幅值Phase:相位Orthogonal:正交第44 页，本讲稿共45 页Terms返回Complex number:复数Amplitude characteristic:幅值特性Phase characteristic:相位特性Sampling frequency:采样频率Sampling theorem:采样定理Filtering:滤波Convolution:卷积Image transmission:图像传输Homomorphic filtering:同态滤波第45 页，本讲稿共45 页