概率论与数理统计第一章14条件概率课件.ppt

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1、湖北大学材料科学与工程学院尚勋忠第1章 随机事件及其概率第四节 条件概率条件概率乘法公式小结 布置作业 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B 发生的条件下求事件A 发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地 P(A|B)P(A)P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子 已知事件B 发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，P(A|B)=1/3.B 中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A 中.容易看到P(A|B)于是P(A)=3/10，又如，10件产

2、品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记 B=取到正品 A=取到一等品，P(A|B)则P(A)=3/10，B=取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A=取到一等品，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B 已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.若事件B 已发生,则为使 A 也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A 中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B 已发生,故B 变成了新的样本空间,于是 有(1).设A、B

3、是两个事件，且P(B)0,则称(1)2.条件概率的定义为在事件B 发生的条件下,事件A 的条件概率.3.条件概率的性质(自行验证)2)从加入条件后改变了的情况去算 4.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)0 掷骰子例：A=掷出2 点，B=掷出偶数点P(A|B）=B 发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A 所含样本点个数 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2 解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点应用 定义在B 发生后的缩减样本空间中计算由条件概率的定义：即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)

4、(2)而 P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B 的位置对调，有故 P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率注意P(AB)与P(A|B)的区别！请看下面的例子 例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000 个189个是标准件300个乙

5、厂生产300个乙厂生产设B=零件是乙厂生产,A=是标准件所求为P(AB).设B=零件是乙厂生产A=是标准件若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是 P(A|B).B 发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000 个189个是标准件300个乙厂生产 例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为 P(B|A).条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机

6、试验都是在一定条件下进行的,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A 发生的可能性大小.P(A)与 P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小,即 P(A|B)仍是概率.乘法公式应用举例 一个罐子中包含b个白球和r 个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.（波里亚罐子模型）b个白球,r 个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个

7、球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球,r 个红球 随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.解 设 Wi=第i 次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第j 次取出是红球，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出 当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的

8、卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”到 底 谁 说 的 对 呢？让 我 们 用 概 率论 的 知 识 来 计 算 一 下,每 个 人 抽 到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到 入场券 的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”我们用Ai表示“第i 个人抽到入场券”i 1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则 表示“第i 个人未抽到入场券”因为若第2个人抽

9、到了入场券，第1个人肯定没抽到.由于由乘法公式 P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，计算得：这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，三、小结 这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.第四节 条件概率全概率公式贝叶斯公式小结 布置作业 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有

10、1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3 红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解 记 Ai=球取自i 号箱,i=1,2,3;B=取得红球B 发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，1 2 3其中 A1、A2、A3两两互斥看一个例子:三、全概率公式 将 此 例 中 所 用 的 方 法 推 广 到 一 般 的 情 形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即 B=A1B+A2B+A3B，且 A1B、A2B、A3B 两两互斥一个

11、事件发生.某 一 事 件A 的 发 生 有 各 种 可 能 的 原 因，如 果A是由原因Bi(i=1,2,n)所引起，则A 发生的概率是 每一原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是各原因引起A 发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解 由 此 可 以 形 象 地 把 全 概 率 公 式 看 成 为“由 原因 推 结 果”，每 个 原 因 对 结 果 的 发 生 有 一 定 的“作 用”，即 结 果 发 生 的 可 能 性 与 各 种 原 因 的“作用”大 小 有 关.全 概 率 公 式 表 达 了 它 们 之 间 的 关

12、系.B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因B 是结果 例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设A=飞机被击落 Bi=飞机被i 人击中,i=1,2,3 由全概率公式则 A=B1A+B2A+B3A解依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)可求得 为求P(Bi),设 Hi=飞机被第i 人击中,i=1,2,3 将数

13、据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为0.458.于是该 球 取 自 哪 号 箱 的 可 能 性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1 2 31红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式 有三个

14、箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1 2 31红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记 Ai=球取自i 号箱,i=1,2,3;B=取得红球求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1 2 31红4白?该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件 B）

15、发生的最可能原因.例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则 表示“抽查的人不患癌症”.已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，求 P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得 P(C A)=0.1066 2.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者

16、的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(C A)=0.1066 P(C)=0.005 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C A)=0.1066 2.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B 是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B 发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.这一讲我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.五、小结六、作业习题1-45 7 9 10 12