概率分布正态化总结讲解.ppt

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1、 关于非正态分布变量当量正态化的总结 为什么要在可靠性分析中研究变量的分布规律 常用的变量分布类型都有哪些 如何对这些非正态分布类型进行当量正态化章节综述第一章：为什么要研究随机变量的分布 结构可靠性就是研究结构在各种因素作用下的安全问题。进行可靠性分析的目的，就是将机构可靠性或失效可能性的大小，用概率定量的表示出来，以保证结构具有足够的安全水平。并且在分析过程中将各种因素对结构失效的影响以灵敏度的方式量化表示，从而为设计人员在设计中提供重要的参数设置依据，达到优化设计的目的。第一章：为什么要研究随机变量的分布 按照结构可靠度设计统一标准的定义，结构可靠度是结构在规定时间内和规定条件下完成预定

2、功能的能力，而相应的概率为可靠度。规定的时间是指设计使用年限，即结构或构件不需要大修即可按其预定目的使用的时间；规定的条件指正常设计、正常施工和正常使用；预定功能即安全性、适用性和耐久性。但是在工程实际中由于尺寸公差、加工精度和使用环境等各种不确定因素的存在，影响结构可靠性的各个变量往往存在随机性。因此给结构可靠性分析带来了困难。第一章：为什么要研究随机变量的分布 在材料力学和弹性力学发展以后，早期的结构可靠性设计中，人们往往采用许用应力法。考虑到各种不确定因素，有许用应力乘以安全系数后，就得出结构的强度，然后确定结构的规格尺寸，这种方法称为静强度决定论方法或传统设计方法。但是这种方法所采用的

3、载荷及材料性能等数据，均取它们的平均值，或者取所谓的最大或最小值，没有考虑到数据的分散性，而且在设计中引入了一个大于1的安全系数，这种安全系数在很大程度上由设计者根据经验确定，带有一定的不确切性和盲目性。第一章：为什么要研究随机变量的分布 特别是对于一些新材料、新产品的分析设计更是如此，事实上这中方法并不能绝对防止结构失效的发生，相反，却造成了结构重量的增加，材料的浪费和结构性能的降低，显然不能满足产品安全性、经济性的发展的需要。因此概率化的设计法思想便应运而生，早在1911年卡宾奇就提出用统计数学方法来研究载载和材料强度。19261929年，霍契阿洛夫和马耶罗夫制定了概率设计的计算方法，由此

4、拉开了可靠性分析方法的序幕。第一章：为什么要研究随机变量的分布 概率论预测方法利用自然律得到响应量与影响响应量的基本变量之间的关系，并利用统计学方法收集基本变量的样本数据得到基本变量的统计规律，然后采用演绎推理的方法，将基本变量的统计规律传递到响应量，得到响应量的统计规律后也就全面掌握了系统行为的统计规律。概率论预测方法避免了确定论方法与统计学方法的缺点，收集到的基本变量的统计资料具有推广价值，其所采用的演绎推理方法具有通用性，因此概率论方法是目前可靠性分析与设计中普遍应用的一种方法。第一章：为什么要研究随机变量的分布 目前概率论预测方法的应用已经遍及自然科学和社会科学的各个领域。从电子、航空

5、、宇航、核能等尖端工业部门扩展到电机与电力系统、机械设备、动力、土木建筑、冶金、化工等部门。可靠性的应用也从复杂航天器的设计推广普及到日常生活中的机电产品设计之中,并贯穿于产品的开发研制、设计、制造、试验、使用、运输、保管及维修保养等各个环节。第一章：为什么要研究随机变量的分布概率论与数理统计的关系 概率论研究无限次试验所反映出的规律，是一种数学上假设。数理统计研究有限次试验所反映出的规律，具有工程价值。概率论是统计的理论基础，统计是概率的工程应用。事实上，用已知推断未知，用部分推断总体不仅仅是科学发展的方向，也是工程界必须解决的问题。特别是对于一些特殊的科学领域，我们很难进行近乎无限次的实验

6、，因此获得全面而准确的实验数据存在困难，这也就是我们对随机变量的分布规律进行研究的原因。我们需要利用有限的数据来尽可能准确地推断出其变量分布的规律，从而分析和推断出整个系统的分布规律。第二章：常见的随机变量的分布类型 正态分布 均匀分布 指数分布 对数正态分布 极值分布（Gumbel）瑞利分布（Rayleigh）韦伯分布（Weibull）正态分布概要 正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论中,正态分布是几种连续分布和离散分布的极限分布。各种各样的心理学测试和物理现象都被发现近似地服从正态分布。通常我们用概率密度函数和累计分布函数来描述变量的分布规律。正态分布的概率密度

7、函数曲线呈高度对称性，被称为“钟型曲线”。该分布的相关特性如下表所示：正态分布概要概率密度函数 累计分布函数正态分布概要在正态分布中值得注意的是：密度函数关于均值对称 均值是它的众数(statistical mode)以及中位数(median)函数曲线下68.268949%的面积在均值左右一个标准差范围内 95.449974%的面积在均值左右两个标准差2的范围内 99.730020%的面积在均值左右三个标准差3的范围内 99.993666%的面积在均值左右四个标准差4的范围内 正态分布概要 由上图可以看出约68%的数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标

8、准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为 68-95-99.7法则或经验法则.关于非正态分布需要转化的一些说明 由于正态分布具有上述一些优良的特性，而且工程界的大多数参数都是服从正态分布的，因此在目前比较成熟的可靠性分析方法中，很多方法（改进一次二阶矩方法，一次、二次响应面法）往往都是针对正态分布展开的，因此我们对非正态分布变量需要采用当量正态化。具体方法将在第三章中详细介绍，为了能更好的理解各种分布类型的相关特性，对实验数据的获得提供相应参考，本章将对一些常见的非正态变量的分布类型分类进行简要阐述。均匀分布概要连续型均匀分布相对简单，其分布特性列表如下

9、：概率密度函数 累计分布函数指数分布概要概率密度函数 累计分布函数 对数分布概要概率密度函数 累计分布函数 极值分布（Gumbel）概率密度函数 累计分布函数 其中 瑞利分布（Rayleigh）概率密度函数 累计分布函数 期望值为 方差为韦伯分布（Weibull）概率密度函数 累计分布函数 期望值为 方差为第三章 非正态分布的当量正态化 非正态变量转化的基本原理是将非正态的变量当量正态化,替代的正态分布函数要求在设计验算点x*处的累积概率分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF值、PDF值相等。第三章 非正态分布的当量正态化 假定非正态随机变量服从某一分布，其分布函数为

10、，密度函数为。找到非正态变量 的等价正态变量，通过计算确定两个分布参数 和。R-F法提出了如下所示的在特定点 处的等价变换条件。（1）（2）式中，和 分别为标准正态分布的分布函数和密度函数，表示对标准正态分布函数的导函数。第三章 非正态分布的当量正态化 依据这(1),(2)式中的两个条件，可以确定 等价正态变量 的两个基本分布参数 和。对(2)式取反函数有：（3）进而得到 和 的关系为（4）将(1)式代入(2)式可求得 参数如下（5）第三章 非正态分布的当量正态化 通过对上述理论公式的推导和分析，我们要思考的是：要对非正态变量顺利实现当量正态化，需要具备那些条件呢？第三章 非正态分布的当量正态

11、化 事实上，具备以下四个要素才能顺利实现变量的正态化：变量服从的分布，以及它的分布参数或统计参数 变量当量正态化的验算点 在验算点处的 值和 值 正态分布函数的反数值常用分布的分布参数表分布形式 位置参数 尺度参数 形状参数均匀分布 a b正态分布对数正态分布指数分布 _Weibull分布 _Gumbel分布Gumma分布 _Rayleigh分布 _常用分布的统计参数表分布形式 均值 标准差均匀分布正态分布对数正态分布指数分布Weibull分布Gumbel分布Gumma分布Rayleigh分布统计参数向分布参数的转化分布形式 位置参数 尺度参数 形状参数均匀分布正态分布对数正态分布指数分布 _

12、Weibull分布 _b aGumbel分布Gumma分布 _Rayleigh分布 _第三章 非正态分布的当量正态化 在得到各非正态变量分布参数的情况下，只需将验算点 带入各自的概率密度函数和概率分布函数即可求得验算点处的 和 值，至于各种分布的概率密度函数和概率分布函数公式在大多数的数学资料里都有清楚的罗列，这也不是本课题的研究重点，在此不再獒述。那么在以上红笔标记的四个条件都具备的情况下，又如何求解呢？第三章 非正态分布的当量正态化 关于 问题的求解，本课题组曾提出两个设想：直接利用maple求解出其反函数公式，然后将 值带入 建立一个正态分布表的电子文档，直接调用程序遍历查询 那么究竟采

13、用那种解决方案，既能更方便、准确的求出结果，有能很好的和软件源程序语言相结合呢？那么采用该方案的具体实现方式又是什么呢？第三章 非正态分布的当量正态化 结合上述思想，进过查询大量文献，目前针对该问题有多种具体的解决方案：1.在matlab中直接调用库函数norminv(F(x),0,1),0,1)即可求解2.在excell中直接根据要求精度,采用库函数NORMSINV(X)即可返回满足精度要求的区间点。3.在VB中编写程序实现4.在fotran中编写程序生成达到工程精度要求的正态分布表，然后编写程序遍历查询第三章 非正态分布的当量正态化 从软件源程序的简易性和执行速度角度考虑，最终我们采用第四套方案，成功解决了标准正态分布函数的反函数求解问题。至此，非正态分布转化的所需的四个要素都已经具备，针对不同的分布类型，只需按照上面介绍的理论方法编写程序即可。按模块化编程的思想，将各分布类型的转化模块植入到具体的可靠性算法当中，即可实现非正态变量的可靠性分析。致谢 thank you