拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析.ppt

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1、第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析教学目的：1 掌握拉氏变换及拉氏反变换的定义；2 掌握拉氏变换的基本性质；3 掌握拉氏变换分析法（求解电路问题）；4 掌握系统函数的概念；5 掌握由系统函数分析系统频响特性的方法。教学重点：1 拉氏变换对及其性质；2 系统函数及系统频响特性。4.1 引言FT的优点在于：物理概念清楚FT不足之处:(1)只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，其分析信号的范围受到限制；(2)在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。拉氏变换法(LT 拉普拉斯Laplace)优点：1 将微积分方程求解问题转化为代数方程求解。2

2、进行变换时，初始条件被自动计入，无需计算从0到0状态的跳变。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章的学习方法：注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域一.拉氏变换的定义 从傅氏变换到拉氏变换二拉氏变换的收敛域三一些典型信号的拉氏变换一、从傅氏变换到拉氏变换有一些信号不满足狄里赫利条件，FT不存在：u(t)增长信号 周期信号 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件乘一衰减因子一拉普拉斯变换定义则1拉普拉斯正变换（LT)2拉氏逆变换(LT1）拉氏变换对双边拉氏变换单边拉氏变换自动包含0条件FT:实频率 是振荡频率LT:复频率S 是振荡频率，控制衰减

3、的速度 FT:LT:拉氏变换已考虑了初始条件初值，若有跳变则为 证明：二拉氏变换的收敛域收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域；记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件。数学描述：图形表示：说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。三一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛 3.单位冲激信号4tnu(t)常用信号的拉氏变换 4.3 拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性性质 时域微分时域积分 延时（时域移位）s域平移（频域移位）尺度变换初值定理 终值定理卷积定理 s域微分s域积分一线性性质已知则同理例题：二时域微分推

4、广：证明：零状态条件下，时域微分一次，频域乘一个s电感元件的s域模型电感元件的 s模型应用时域微分性质设当iL(0）0时，三时域积分证明：零状态条件下，时域积分一次，频域除一个s电容元件的s域模型电容元件的 s模型当vc(0-)=0时，四延时（时域平移）证明：时移特性、例题【例4-1】已知【例4-2】见书例4-5 P185“连根拔”向u（t）靠拢例 求半波正弦函数的拉氏变换0 T/2 tf1(t)E0 T/2 T tE0 T/2 T tE0 T/2 T tf(t)E？五s域平移(频域移位）证明：例4-3据频域移位性质六尺度变换时移和标度变换都有时:证明：见书P187七初值初值定理证明由原函数微

5、分定理可知八终值证明：根据初值定理证明时得到的公式终值存在的条件:说明例4-4 即单位阶跃信号的初始值为1。例4-5九卷积定理（时域、频域）证明：十对s微分拉氏变换的基本性质（1）线性微分积分时移频移拉氏变换的基本性质（2）尺度变换终值定理卷积定理初值定理 4.4 拉普拉斯逆变换主要内容查表法部分分式展开法留数法两种特殊情况简单函数利用典型信号的变换对及性质查表例1:一、查表法例2:求逆变换f(t)：解：得：F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点(m n)二、部分分式展开法1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重极点存在共轭极点出

6、现在1.第一种情况：单阶实数极 点展开：公式推导部分分式展开法求拉氏逆变换的过程(1)求极点(2)展成部分分式(4)逆变换(3)求系数例：求逆变换解：k2=-5，k3=62.第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在求f(t)例题求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式 公式推导3.第三种情况：有重根存在求k12?例：求逆变换如何求k2?求逆变换所以：三F(s)两种特殊情况非真分式 化为真分式多项式1.非真分式真分式多项式作长除法2.含e-s的非有理式 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型主要内容用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路 拉氏变换分

7、析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。拉氏变换分析法拉氏分析法一、用拉氏变换法分析电路的步骤 列时域微分方程，用微分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。列s域方程（可以从两方面入手），得到时域解答。求解s域方程（代数方程）。(1)输入信号x(t)为有始信号二、拉氏分析法（微分方程）(2)系统响应y(t),初始状态已知为：方程两边取拉氏变换，考虑到时域微分性质.右边：.左边：输入信号x(t)为有始信号整理成A0(s)A1(s)An-2(s

8、)An-1(s).系统函数拉氏分析法（复频域分析法）解：方程两边作拉氏变换例4-5-1：求系统响应y(t)。已知拉氏分析法的优点1.把微分方程转化成代数方程求解。3.当已知电路时可直接由电路的s域模型求 解，无需列写电路的微分方程。2.0-到 作单边拉氏变换，0-状态自动包含 其中，自动引入初始条件。三、利用元件的s域模型分析电路1.各电路元件的s域模型 2.电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用。电阻元件的s域模型电感元件的s域模型电容元件的s域模型零状态条件下：(s)电阻电感电容利用元件的s域模型求响应的步骤 由时域电路模型画s域等效模型；据KCL和KVL列s域方程（代数方程）；

9、解s域方程，求响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。例列s域方程:对应的s域模型如图:结果同例4-13，但不需要列写微分方程小结：拉氏分析法解电路问题的方法：u 由微分方程或电路求解u 由复频域电路模型求解4.6 系统函数(网络函数)H(s)系统函数H(s)LTI互联网络的系统函数并联 级联 反馈连接系统函数零状态条件下系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。1.定义：系统函数H(s)的含义 设系统的单位冲激响应为h(t),激励为x(t),零状态响应为yzs(t)，则有：一对拉氏变换对系统时域特性h(t),频域特性H(s)从频域反映系统的特性2.H(s)的分类

10、策动点导纳策动点阻抗策动点函数：激励与响应在同一端口时转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口3H(s)的求法微分方程两端在零状态条件下取拉氏变换利用网络的s域元件模型图，列s域方程求解。(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换例4-6-1例4-6-2列s域方程:零状态条件下，系统对应的s域模型如图如左:R4.应用：u求系统的零状态响应u由H(s)判断系统的时域特性、频响特性、稳定性例4-6-1(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)因为所以所以二LTIS互联的系统函数1LTI系统的并联2LTI系统的级联3LTI系统的反馈连接例4-6-2已知系统的框图如下，请写出此系

11、统的系统函数和描述此系统的微分方程。4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 H(s)零、极点与h(t)波形特征 H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应一H(s)零、极点与系统零极点图1系统函数的零、极点4-7-1 画出如下系统的零极点图极点：零点：2.系统函数的零极点图在s平面上，极点：用表示，零点：用表示，画出的图形为H(s)的零极点图。一阶极点当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡2.H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应二阶极点几种典型情况图示极点于S面左半平面 h(t)呈衰减形式极点于S面右半平面 h(t)呈增长形式极点于S面虚轴上 h(t)

12、等幅振荡或等值H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应关系：二H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应激励：系统函数：自由响应分量 强迫响应分量响应：结论：自由响应的响应形式由H(S)的极点决定。强迫响应的响应形式由E(S)的极点决定。H(S)和E(S)的零点只是影响响应的幅度和相位。4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性 定义几种常见的滤波器根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线一系统频响特性定义系统的前提：稳定的因果系统。一般有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。时域条件：频域条件：H(s)的全部极点落在s左半平面。系统稳定的条件：H(S)e(t)ymm(t)系统

13、的稳态响应系统的稳态响应为：由(1)：在频率为0的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，幅度被乘以系数H0，相位变化0。由(2)：H0和0是系统函数H(s)在j0处的幅值和相位。H(S)e(t)ymm(t)同理：在频率为1、2、的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，幅度被乘以系数H1、H2、H,相位变化1、2。系统幅频特性系统相频特性（相移特性）理解系统频响特性意义所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。记为：定义：O()wj Hw2w1w3wH1H2H3幅频特性：系统的频响特性由系统自身的结构决定，与激励没有关系。低通滤波器（L

14、PF)O312相频特性：系统函数：H(s)，H(j)和h(t)的关系拉氏变换对：h(t)H(S)傅氏变换对：h(t)H(j)二几种常见的滤波器的频响特性三根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线令分子中每一项令分母中每一项S平面w变化时，jw沿虚轴移动时，各矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。由矢量图确定频率响应特性例4-8-1由系统函数的零、极点画出系统的频响特性。频响特性分析辐频特性相频特性 4.8小结：u 频响特性的定义与含义u 由H(s）的零、极点确定系统的频响特性u H(s）、H(j)、h(t)的关系4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布 全通网络最小

15、相移网络非最小相移网络一全通网络 所谓全通是指它的幅频特性为常数，对全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像 全通网络的特点：频率特性幅频特性常数相频特性不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即 二最小相移网络 若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。3131三非最小相移网络非最小相移网络可代之以最小相移网络与全

16、通网络的级联。非最小相移网络 最小相移网络 全通网络+4.10 线性系统的稳定性 引言定义（BIBO）证明由H(s)的极点位置判断系统稳定性 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应 h(t)、和 H(s)系统函数从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。一系统的稳定性 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。对所有的激励信号e(t)其响应r(t)满足则称该系统是稳定的。式中，数学描述：二、系统稳定性的判定从频域：要求H(s)的极点位于S平面左半平面h(t)绝对

17、可积：系统稳定的充分必要条件三系统稳定性分类及判断H(s)的极点位于s左半平面H(s)的极点位于s右半平面1稳定系统2不稳定系统3临界稳定系统H(s)极点位于s平面虚轴上 为非零数值或等幅振荡 频域 时域例4-10-1当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？如图所示反馈系统，子系统的系统函数加法器输出端的信号输出信号为使极点均在s左半平面，必须则反馈系统的系统函数为连续时间系统稳定性判断罗斯-霍尔维兹准则（本部分内容自修）罗斯-霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为 式中，mn，ai(i=0,1,2,n)、bj(j=0,1,2,m)是实常数。H(s)的分母多项式为 H(s)的极点就是A(s)

18、=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai0。显然，若A(s)为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部

19、分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：罗斯判据(罗斯准则)指出：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。若第一列元素的值不是全为正值，则表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面，因而系统是稳定系统。若罗斯阵列第一列元素值的符号不完

20、全相同，则系统是不稳定系统。综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0,1,2,n)。若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为 判断三个系统是否为稳定系统。解 H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不

21、稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为 A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为 根据式(4.8-20)和式(4.8-21)，得 因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。例 4.8-3 图 4.8-4 所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1(s)为 图 4.8-4 例 4.8-3 图 K取何值时系统为稳定系统。解 令加法器的输出为X(s)，则有 由上式得 根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得 由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为 根据R-H准则，若 和-K0，则系统稳定。根据以上条件，当K0时系统为稳定系统。4.12 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 引言傅氏变换与拉氏变换的关系一二f(t)衰减函数，傅氏变换存在:三例如：对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴 则证明:根据变换的惟一性4.12 小结本章小结：拉氏变换对定义 拉氏变换的基本性质 拉氏逆变换的求法（部分分式展开法）拉氏分析法 电路系统的s域网络模型 系统函数H(s)系统的频响特性H(j)系统的稳定性（时域、频域）LT和FT之间的关系本章作业：41（8、12、13、15）43（1、4、5）44（14、16、19）411 419 421 445