2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题6 立体几何（文科）解答题30题 含答案.docx

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1、2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题6 立体几何（文科）解答题30题1（贵州省贵阳市2023届高三上学期8月摸底考试数学（文）试题）如图，在直三棱柱中，M，N分别是，的中点(1)求证：；(2)求三棱锥的体积2（广西普通高中2023届高三摸底考试数学（文）试题）如图，多面体中，是菱形，平面，且.(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积.3（江西省五市九校协作体2023届高三第一次联考数学（文）试题）如图多面体中，四边形是菱形，平面，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.4（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（文）试题）如图，在四棱锥中，平面ABCD，

2、且，E是PD的中点，点F在PC上，且(1)证明：平面PAB；(2)求三棱锥的体积5（新疆阿克苏地区柯坪湖州国庆中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题）如图所示，已知平面，分别是，的中点，(1)求证：平面；(2)求证：；6（内蒙古乌兰浩特第一中学2022届高三全真模拟文科数学试题）如图在梯形中，为中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，连接，(1)证明：平面平面；(2)当时，求点到平面的距离.7（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷）如图，四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧面为矩形，.(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积.8（黑龙江省八校2021-

3、2022学年高三上学期期末联合考试数学（文）试题）已知直三棱柱中，点D是AB的中点(1)求证：平面；(2)若底面ABC边长为2的正三角形，求三棱锥的体积9（青海省西宁市2022届高三二模数学（文）试题）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面平面10（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD，点E为棱PC的中点(1)证明：平面平面PCD；(2)求四棱锥的体积；11（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文）试题）如图，在正三棱柱中，D，E分别是棱BC，的中点.(1

4、)证明：平面平面.(2)求点到平面的距离.12（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.(1)证明：；(2)若，求点M到平面PAB的距离.13（广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学（文）试题）如图，D，O是圆柱底面的圆心，是底面圆的内接正三角形，为圆柱的一条母线，P为的中点，Q为的中点，(1)若，证明：平面；(2)设，圆柱的侧面积为，求点B到平面的距离.14（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检

5、测数学（文）试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，(1)证明：平面平面PAC；(2)若，求点D到平面PBC的距离15（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试（2月联考）数学（文）试题）如图，在长方体中，点E在棱上，且(1)证明：；(2)求三棱锥的体积16（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）如图1，在等腰梯形中，分别是，的中点，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2(1)证明：平面(2)求点到平面的距离17（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（文）试题）如图1，在直角梯形中，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图2）.(1)求点到平

6、面的距离；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.18（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.(1)求证：；(2)求点到平面的距离.19（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）如图，在四棱锥中，底面是菱形，(1)证明：平面；(2)若，求四棱锥的体积20（内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若是棱的中点，求点到平面的距离.21（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）如

7、图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，平面平面.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.22（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知三角形是边长为2的正三角形，现将菱形沿折叠，所成二面角的大小为120，此时恰有.(1)求的长；(2)求三棱锥的体积.23（陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考文科数学试题）如图，在四棱锥中，底面是长方形，二面角为，点为线段的中点，点在线段上，且.(1)平面平面；(2)求棱锥的高.24（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）如图，在四棱锥中，平面底面，且.(1)证明：；(2)求点A到平面的距离.25（陕西省宝鸡教育联盟2022-2023

8、学年高三下学期教学质量检测（五）文科数学试题）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，E为BC的中点，D为的中点，P为线段AC上的动点(1)若平面，请确定点在线段上的位置；(2)若点为的中点，求三棱锥的体积26（山西省运城市2022届高三上学期期末数学（文）试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点(1)证明：平面PAB；(2)若点N到平面PCM的距离为，求的值27（2020届河南省许昌济源平顶山高三第二次质量检测文科数学试题）如图，四棱锥中，且.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.28（青海

9、省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.(1)证明：平面平面.(2)求点到平面的距离.29（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）文科数学试题）如图，在四棱锥PABCD中， ，(1)证明：；(2)若， ，且点到平面的距离为，求的长30（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）如图，在直三棱柱中，D，E分别是和的中点.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.专题6 立体几何（文科）解答题30题1（贵州省贵阳市2023届高三上学期8月摸底考试数学（文）试题）如图

10、，在直三棱柱中，M，N分别是，的中点(1)求证：；(2)求三棱锥的体积【答案】(1)详见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）利用等体积公式，转化为，即可求解体积.【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，且平面平面，因为，且点是的中点，所以平面，又因为平面，所以；（2）三棱锥,由条件可知是等腰直角三角形，所以，点到平面的距离，.2（广西普通高中2023届高三摸底考试数学（文）试题）如图，多面体中，是菱形，平面，且.(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直；（2）利用割补法分别计算四棱锥

11、与三棱锥的体积，再求和即可.【详解】（1）如图所示，连接，平面，平面，四边形为菱形，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）如图所示，取中点，连接，四边形为菱形，且，平面，平面，又，且，平面，平面，所以四棱锥的体积为，又因为平面，所以三棱锥的体积，所以几何体的体积.3（江西省五市九校协作体2023届高三第一次联考数学（文）试题）如图多面体中，四边形是菱形，平面，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明；(2) 利用，求得点B到平面的距离.【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，因为是菱形，

12、所以，且是的中点，所以且，又，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）设到平面的距离为，因为平面，平面,所以,因为,平面，所以平面，且平面,所以,因为，所以，所以,所以且,所以,取中点为，连接,因为是菱形，所以为等边三角形，所以,且,又因为平面，平面,所以,且平面,所以平面,又因为,因为，即,所以.4（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（文）试题）如图，在四棱锥中，平面ABCD，且，E是PD的中点，点F在PC上，且(1)证明：平面PAB；(2)求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）

13、在线段上取点，使得，进而证明即可证明结论；（2）利用等体积转化，即可得到本题答案.【详解】（1）证明：在线段上取点，使得，所以，在中，且，因为在四边形中，所以，所以，四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）作交于点，因为面，所以，又，与交于点，所以面，又，所以，所以，所以，得，因为为中点，所以5（新疆阿克苏地区柯坪湖州国庆中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题）如图所示，已知平面，分别是，的中点，(1)求证：平面；(2)求证：；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】1）根据中位线定理，可得，即可由线面平行的判定定理证明平面；（2）由已知推导出，再由，得

14、平面，由此能证明；【详解】（1），分别是，的中点，平面，且平面，平面；（2）平面，分别是，的中点，平面，平面，平面，.6（内蒙古乌兰浩特第一中学2022届高三全真模拟文科数学试题）如图在梯形中，为中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，连接，(1)证明：平面平面；(2)当时，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先根据题意易证，从而得到平面，再根据面面垂直的判定即可证明平面平面.（2）利用三棱锥等体积转换求解即可.（1）在梯形中，所以，在中，所以，所以，即，梯形为直角梯形.因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）因为平面平面，所以平面，又平面，所以，所以，即为

15、等边三角形.取的中点，连接，如图所示：因为，为中点，所以.因为平面平面，所以平面，因为，设到平面的距离为，因为，所以，解得.即点到平面的距离为.7（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷）如图，四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧面为矩形，.(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理可证，易证，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（2）因为，由（1）可知平面，由此可知是三棱锥的高，再根据，由此即可求出结果.（1）证明：中，因为，所以.所以，又侧面为矩形，所以，又，平面.所以平面，又平面，所以平面平面.（2）

16、解：因为，平面，所以平面，易得，所以的面积.三棱锥的体积.8（黑龙江省八校2021-2022学年高三上学期期末联合考试数学（文）试题）已知直三棱柱中，点D是AB的中点(1)求证：平面；(2)若底面ABC边长为2的正三角形，求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）连接交于点E，连接DE，由三角形中位线定理，得，进而由线面平行的判定定理即可证得结论；（2）利用等体积转化，依题意，高为CD，再求底面的面积，进而求三棱锥的体积.【详解】（1）连接交于点E，连接DE四边形是矩形，E为的中点，又D是AB的中点，又平面，平面，面（2），D是AB的中点，又面ABC，面ABC，又面，面，面，

17、CD为三棱锥的高，又，三棱锥的体积9（青海省西宁市2022届高三二模数学（文）试题）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面平面【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式求出侧面积，再求出底面积相加即可得解；（2）通过证明平面，可得平面平面.（1）圆锥的侧面积，底面积，故表面积.（2）证明：由圆锥的性质知，平面，因为平面，所以，因为是底面圆的一条直径，所以又是的中点，所以，又，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面10（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）如图，在四棱锥中，底

18、面ABCD，点E为棱PC的中点(1)证明：平面平面PCD；(2)求四棱锥的体积；【答案】(1)证明见解析；(2)1.【分析】（1）作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，由勾股定理得到各边长，得到和，从而得到线面垂直，证明面面垂直；（2）求出四棱锥的体积，进而由E为棱PC的中点得到四棱锥的体积.【详解】（1）在四棱锥中，底面，平面ABCD，PAAB，且，过点B作BMCD于点M，连接AE，则，由勾股定理得：，故PB=BC，又点为棱的中点，由勾股定理得，PAC为直角三角形，E为PC的中点，由得，又，故，又，所以平面平面；（2）四边形ABCD的面积为，故，点为棱的中点，.11（江西省部分学校2023届高

19、三上学期1月联考数学（文）试题）如图，在正三棱柱中，D，E分别是棱BC，的中点.(1)证明：平面平面.(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明；(2)根据等体积法求解.【详解】（1）证明：由正三棱柱的性质，所以，则，因为，所以，即.因为，D是棱BC的中点，所以.由正三棱柱的定义可知平面ABC，则.因为BC，平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为AD，平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）连接.因为，所以的面积.由正三棱柱的性质可知平面，则点到平面的距离为AD.因为是边长为2的等边三角形，所以，故三棱锥的体积

20、.因为，E是的中点，所以，则的面积.设点到平面的距离是d，则三棱锥的体积.因为，所以，解得.12（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.(1)证明：；(2)若，求点M到平面PAB的距离.【答案】(1)见解析；(2).【分析】（1）由三线合一得，再根据线面垂直的性质定理得，最后根据线面垂直的判定定理得到面，则；（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，利用等体积法有，即，代入相关数据求出，则.【详解】（1）分别连接，为中点，

21、为等边三角形，点在底面上的投影为点，平面，平面，又平面平面，面，面，.（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，为在底面上的投影,为与面所成角，垂直平分，为正三角形，Rt中，易得，到的距离为，又，由，点到平面的距离为13（广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学（文）试题）如图，D，O是圆柱底面的圆心，是底面圆的内接正三角形，为圆柱的一条母线，P为的中点，Q为的中点，(1)若，证明：平面；(2)设，圆柱的侧面积为，求点B到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，再证明进而由线面垂直的判定定理可得平面，从而得证平面.（2）利用由等积法求解即可【详解】（1）

22、D，O为圆柱底面的圆心，平面.而为圆柱的一条母线，.又P为的中点，Q为的中点，四边形为平行四边形，.又P在上，而平面，O为P在内的投影，且是圆内接正三角形.三棱锥为正三棱锥.，即.，平面.平面，平面.（2）设点B到面的距离为h，设圆柱底面半径为r，由母线及圆柱的侧面积为，得，解得，则.在中，则，又，且，解得.故点B到平面的距离为.14（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，(1)证明：平面平面PAC；(2)若，求点D到平面PBC的距离【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，由及直线与平面垂直的判定定理得平面PAC，再由平面与平

23、面垂直的判定定理证明平面平面PAC；（2）由（1）得，由平面与平面垂直的性质定理，平面ABCD，利用等体积法，求得D到平面PBC的距离.【详解】（1）证明：取AB的中点为E，连接CE，由，可知四边形ADCE是平行四边形，所以，点C在以AB为直径的圆上，所以，又，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PBC，所以平面平面PAC（2）因为平面PAC，平面PAC，所以，由，得，又因为，因为平面PAC，又平面ABCD，平面平面PAC，连接DE交AC于点O，则O为AC的中点，连接PO，则，因为平面平面PAC，平面平面，所以平面ABCD，设点D到平面PBC的距离为d，由得，所以15（江西省部分学校20

24、23届高三下学期一轮复习验收考试（2月联考）数学（文）试题）如图，在长方体中，点E在棱上，且(1)证明：；(2)求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析;(2) .【分析】(1)通过证明平面得到.(2) 将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解.【详解】（1）因为是长方体，所以平面， 因为平面，所以，因为，面A1DC，所以平面，因为 平面，所以.（2）在平面中，由得，所以，所以，所以，所以，所以，因为平面，所以平面，所以DC为三棱锥的高，所以 .16（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）如图1，在等腰梯形中，分别是，的中点，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2(1)

25、证明：平面(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明平面平面，再由性质得出平面；（2）以的中点为坐标原点建立坐标系，由向量法得出点到平面的距离.【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以.又四边形是菱形，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可证平面，因为平面.所以平面平面，又 平面，所以平面.（2）取的中点为，连接，由题意易知，因为平面平面，平面平面，平面所以平面，所以以点为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系设平面的法向量为， ，取，则则点到平面的距离 17（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（文）试题）如图1，在直角梯形中，点在上，且，将沿折起

26、，使得平面平面（如图2）.(1)求点到平面的距离；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】(1)应用面面垂直性质定理得到线面垂直,再应用等体积法,计算距离即可;(2)因为平面,可求得分的比例关系,根据(1)即可求得三棱锥的高,计算即可求得三棱锥的体积.【详解】（1）取中点，因为，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.在直角三角形中，. ,.（2）存在点，此时，过点作，连接因为，所以所以四边形EFPC为平行四边形，所以因为平面平面，所以平面.因为，所以由（1）知平面，点到平面的距离,.18（陕西省汉中市2023届高

27、三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.(1)求证：；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质进行推理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.【详解】（1）证明：平面，平面，四边形为菱形，又，平面平面，平面（2）平面，由四边形为菱形，可得，设点到平面的距离为，则，由可得，解得.点到平面的距离为.19（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）如图，在四棱锥中，底面是菱形，(1)证明：平面；(2)若，求四棱锥的体积【答案】(1)证明见解析.(2)【分析】（1）根据题干中的已知条件结合

28、菱形的性质，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）在中，利用余弦定理求得的值，在中，利用勾股定理证明，即可证明为四棱锥的高，利用棱锥的体积公式计算即可.(1)解：如图，记与的交点为，连接.因为底面为菱形，故，为、的中点，又，故，所以，故，又,故平面.(2)解：因为，在中，由余弦定理得：，解得：.同理.又，故为等边三角形，则，,所以.在中，故，所以，又，故平面.所以四棱锥的体积为.20（内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若是棱的中点，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直判定可证

29、得平面，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论；（2）设点到平面的距离为，利用等体积转换的方式，由，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.【详解】（1）连接，又，为棱中点，又，平面，平面，又平面，；在直角梯形中，取中点，连接，又，四边形为正方形，又，平面，平面，平面，；，又，平面，平面.（2），由（1）知：平面，则点到平面的距离，；，分别为棱中点，由余弦定理得：，则，设点到平面的距离为，解得：，即点到平面的距离为.21（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，平面平面.(1)求证：；(2)求三

30、棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由勾股定理可得，结合为等腰直角三角形，可得平面，进而得到.（2）考虑到条件平面平面，故以ABC为底面，ABP底边AB上的高为体高进行求解.(1)证明：，为等腰直角三角形，又，平面.平面.平面，命题得证.(2)解取的中点.连接（如图）.为等腰直角三角形，.又平面平面，平面平面，平面，平面.又平面.，由（1）得，平面平面.又平面，.所以三棱锥的体积为.22（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知三角形是边长为2的正三角形，现将菱形沿折叠，所成二面角的大小为120，此时恰有.(1)求的长；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)(2

31、)【分析】（1）取中点，连接，先证明平面，进而得到再计算的长即可；（2）根据为二面角的平面角可得三棱锥的高，进而利用体积转换求三棱锥的体积即可（1）取中点，连接，是正三角形，又平面，故为等腰三角形又菱形，故，故（2）由（1）知，为二面角的平面角， AD平面PMC，平面PAD平面PMC交线为PM.故三棱锥的高23（陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考文科数学试题）如图，在四棱锥中，底面是长方形，二面角为，点为线段的中点，点在线段上，且.(1)平面平面；(2)求棱锥的高.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直的判定进行证明；（2）利用等体积法求解棱锥的

32、高.【详解】（1），.又，平面，平面，又平面，平面平面.（2）如图，作于，于，连接，平面，平面，；,面ABCD，平面；平面，；，面EHM，平面面EHM，.设棱锥的高为，平面，二面角为，.底面是长方形，点为线段的中点，且.，. ，棱锥的高.24（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）如图，在四棱锥中，平面底面，且.(1)证明：；(2)求点A到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，证明平面，得线线垂直；（2）利用体积法求点面距：【详解】（1）取的中点，连接.因为，所以.又，所以.又，所以为正三角形，所以.因为，且在平面内，所以平面.又平面，所以.（2）因为，

33、所以.又，所以，则.由，得，故，连接，则.因为平面底面，平面，所以平面，则连接.因为，所以，在中，到的距离，则.设点A到平面的距离为，由，得，解得，即点到平面的距离为.25（陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测（五）文科数学试题）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，E为BC的中点，D为的中点，P为线段AC上的动点(1)若平面，请确定点在线段上的位置；(2)若点为的中点，求三棱锥的体积【答案】(1)点P是线段AC上靠近点C的四等分点(2)【分析】（1）连接与DE相交于，连接，连接交于点，由线面平行的性质得到，再根据三角形相似得到，从而

34、得到，即可得到，从而得解；（2）取的中点，连接，即可得到，再由面面垂直的性质得到平面，求出的长度，即可得到点到平面的距离，从而得到点到平面的距离，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】（1）解：如图，连接与相交于，连接，连接交于点，平面，平面平面，平面，又，所以，点是线段上靠近点的四等分点；（2）解：如图，取的中点，连接，四边形为边长为2的菱形，为等边三角形，为等边三角形，平面平面，平面平面，平面，平面，又由，为的中点，为的中点，可得，四边形为边长为2的菱形，为等边三角形，D为的中点，平面平面，点到平面的距离与点到平面的距离相等，为的中点，点到平面的距离为，三棱锥的体积为26（山西省运城市2

35、022届高三上学期期末数学（文）试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点(1)证明：平面PAB；(2)若点N到平面PCM的距离为，求的值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接AC，通过证明，即可得平面PAB；（2）过点作，垂足为，利用可得的值，则可得答案.【详解】（1）证明：连接AC在中，因为，所以，因为，所以是等边三角形因为点是的中点，所以，在中，满足，所以，而，所以平面；（2）过点作，垂足为，由（1）可知平面，因为平面，所以平面平面，平面平面，所以平面由得，解得，所以.27（2020届河南省许昌济源平顶山高三第二次质量

36、检测文科数学试题）如图，四棱锥中，且.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面即可.（2）由，利用等体积法，即可求出点到平面的距离.【详解】（1）解：取、的中点分别为、，连结，因为，所以四边形为梯形，又、为、的中点，所以为梯形的中位线，所以，又，所以，因为，为的中点所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，故，因为，为中点，所以，又，不平行，必相交于某一点，且，都在平面上， 所以平面，又平面，则平面平面.（2）由（1）及题意知，为

37、三棱锥的高，故，而，设点到平面的距离为，由等体积法知：，解得，所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.28（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.(1)证明：平面平面.(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.（2）求得三棱锥的体积，设点到平面的距离为，表示出三棱锥的体积，利用等体积法,即可求

38、得答案.【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.因为平面，所以；因为是等边三角形，且是棱的中点，所以.因为平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）连接，由题意可得的面积.因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.由（1）可知平面，则三棱锥的体积因为是棱的中点，且，所以，则.由（1）可知平面,平面 ，则，从而的面积.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.29（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）文科数学试题）如图，在四棱锥PABCD中， ，(1)证明：；(2)若， ，且点到平面的距离为，求的长【答案】(1)证明见解析(

39、2)【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，再结合线面垂直的性质得异面直线垂直即可；（2）取的中点，连接，过作于，利用且点到平面的距离为以及三角形等面积法求得的值，在利用直线与平面，平面与平面位置关系，证明四边形为矩形，即可得的长.【详解】（1）证明：如图，连接，即，平面平面，又平面，（2）解：取的中点，连接PE，CE，过作于.，为中点，由（1）知，为中点，平面，平面，又平面，平面平面，又平面平面，平面平面，由条件知由（1）有平面，平面，设，又，则，得，平面，平面，又平面，四边形为矩形，30（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）如图，在直三棱柱中，D，E分别是和的中点.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；（2）由等体积法求体积，.【详解】（1）连接，因为，所以.因为是的中点，所以.因为，是的中点，所以.因为，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为，平面，平面，所以平面，所以，设G为BC的中点，因为，所以，由条件知，所以，所以，所以.