2023届广东省深圳市高级中学高三适应性考试数学试题含答案.pdf

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1、深圳高级中学（集团）2023 届高考适应性考试 数学试题 一、选择题：每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合0,1,2A=，2,Nx xa aA=，则集合AN等于 A 0 B0,1 C1,2 D0,2 2在复平面内，复数z满足(1)2i z=，则z=A1 i B1 i+C1i D1 i+3等差数列 na的首项为 1，公差不为 0，若236,a a a成等比数列，则 na前 6 项的和为 A24 B3 C3 D8 4在ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 tanB=A5 B25 C45 D85 5已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且

2、它们的侧棱长也相等若直棱柱的体积和侧面积分别为1V和1S，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V和2S，则 A1212VVSS B1212VVSS C1212VVSS=D11VS与22VS的大小关系无法确定 6已知向量a，b满足|5a=，|6b=，6a b=，则cos,=a ab+A3135 B1935 C1735 D1935 76 名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有 1 名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数相等的概率为 A2031 B1031 C516 D58 8已知1ln2a=，2 eb=，433e4c=，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为 Aacb Bba

3、c Ccab Dcba 二、选择题：每小题 5 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9若函数()sinyAx=+（0A，0，2）的部分图象如图，则 A()f x是以为周期的周期函数 B()f x的图象向左平移3个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数 C()f x在5 5,126上单调递减 D()f x的图象的对称中心为,0212k+，Zk 10已知点1F2F是双曲线22221(0,0)xyabab=的左右焦点，以线段12FF为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若123PFPF=，则 A1PF与双曲线的实轴长相等 B12

4、PFF的面积为232a C双曲线的离心率为102 D直线320 xy+=是双曲线的一条渐近线 11对于函数()f x和()g x，设()()120,0 xx f xxx g x=，若存在12,x x，使得121xx，则称()f x与()g x互为“零点相邻函数”.若函数()3e4xf xx=+与()lng xxmx=互为“零点相邻函数”，则实数m的值可以是 Aln55 Bln33 Cln22 D1e 12在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2 2AB=，2BC=，6PAPB=，2PCPD=下列说法正确的是 A设平面PAB平面PCDl=，则/lAB B平面PAD 平面PBC C设点MBC，

5、点NPD，则MN的最小值为3 D在四棱锥PABCD的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球 三、填空题：每小题 5 分。13已知数列 na满足13a=，11nnna aa+=，则105a=_.14已知()f x是奇函数，且当0 x 时，()eaxf x=，若(ln2)8f=，则=a_.15有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 8%，第 2 台加工的次品率为3%，第 3 台加工的次品率为 2%，加工出来的零件混放在一起已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第 3 台车床加工出来的概率为

6、 16已知动点Q到抛物线28Cyx=：的焦点F的距离为 1，则Q的轨迹方程是 ；若(4,0)A，P是抛物线C上的动点，则2|PAPQ的最小值是 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列 na，nb的前 n 项和分别为nS，nT，且112b=，21122nSnn=+，当1n 时，满足112nnnnb aba=(1)求na；(2)求nT 18 如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC是矩形，1BCAC，12ACBCCC=，D 是 AB 的中点.(1)证明：11ADBC；(2)若AC 平面11BBCC，E 是11AC上的动点，平面1BCD与平面1B DE夹角的余弦值

7、为33，求111C EAC的值.19在ABC 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知coscosbAaBbc=.(1)求A；(2)若点D在BC边上，且2CDBD=，3cos3B=，求tanBAD.20锚定 2060 碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为 0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为 p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过 0.896(1)当 p最大时，经济作物幼苗的成活率也

8、将提升至 0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（10.243.2=）；(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种 5 年后，其树杆地径服从正态分布()2250,5N（单位：mm）梭梭树幼苗栽种 5 年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于 235mm 的概率约为多少？（精确到 0.001）为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种 5 年后，农林管理员随机抽取了 10 棵梭梭树，测得其树杆地径均小于 235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由 附：若随机变量 Z服从正态分布()2,N，则()0.6

9、827PZ+，()220.9545PZ+，()330.9973PZ+21动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB=，设动点M的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）设直线2yxm=+与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且PQPR，求PRPQ的取值范围 22（1）当()0,1x时，求证：()21ln1xxx+.（2）已知函数()()20 xf xxeaxaa=+有唯一零点0 x，求证：049x 且925a.深圳高级中学（集团）2023 届高考适应性考试数学试题答案一、单选题一、单选题1已知集合0,1,2A，2,Nx xa aA，则集合AN等于（）A 0；B0,1；C

10、1,2；D0,2【答案】D【详解】当0a 时，20 xa；当1a 时，22xa；当2a 时，24xa，故0,2,4N，故0,2AN，故选：D.2在复平面内，复数z满足(1)2i z，则z（）A1 i B1 i C1iD1i【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：2 12 1211112iiziiii.故选：D.3 等差数列 na的首项为 1，公差不为 0，若236,a a a成等比数列，则 na前 6 项的和为（）A24B3C3D8【答案】A【分析】设等差数列 na的公差0d d，由236,a a a成等比数列求出d，代入6S可得答案.【详解】设

11、等差数列 na的公差0d d，等差数列 na的首项为 1，236,a a a成等比数列，2326aaa，211125adadad，且11a，0d，解得2d ，na前 6 项的和为616 56 566 122422（）Sad.故选：A.4在ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 tanB=（）A5B25C45D85【答案】C【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求cosB，最后根据同角三角函数关系求tan.B【详解】设,ABc BCa CAb22222cos9162 3 4933cababCc 2222114 5cossin1()tan4 52999acbBBBac故选：C5已知

12、一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等若直棱柱的体积和侧面积分别为1V和1S，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V和2S，则A1212VVSSB1212VVSSC1212VVSSD11VS与22VS的大小关系无法确定【答案】A【解析】设棱柱的底面周长为c，底面面积为S，侧棱长为l，斜棱柱的高为h，则11VS lSSc lc，而2VS h，斜棱柱各侧面的高均不小于h，所以2Sc h，于是，有22VS hSSc hc，所以，1212VVSS6已知向量a，b满足|5a，|6b，6a b，则cos,=a ab（）A3135B1935C1735D1935【答案】D【分析】计算出aab、a

13、b的值，利用平面向量数量积可计算出cos,a ab 的值.【详解】5a，6b，6a b ，225619aabaa b .2222252 6367ababaa bb ，因此，1919cos,5 735aaba abaab.故选：D.76 名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有 1 名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数相等的概率为（）A2031B1031C516D58【答案】B【分析】利用古典概型即可求得两项竞赛参加人数相等的概率.【详解】记“两项竞赛参加人数相等”为事件 A，则33636C C10()2231P A 故选：B8已知1ln2a，2 eb，433e4c，其中e为

14、自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为AacbBbacCcabDcba【答案】C【解析】构造函数e()xf xx，得(ln2)af，1()2bf，4()3cf，21()exxfxx当01x时，()0fx，当1x 时，()0fx，所以()f x在(0,1)上单调递减，(1,)上单调递增易知11lneln2lne2，所以1(ln2)()2ff，所以ab又24(ln4)ln2ln4af，因为41ln43，所以4(ln4)()3ff，所以ac所以bac二、多选题二、多选题9若函数sinyAx（0A，0，2）的部分图象如图，则（）A fx是以为周期的周期函数B fx的图象向左平移3个单位长度得到的图象

15、对应的函数是奇函数C fx在5 5,126上单调递减D fx的图象的对称中心为,0212k，Zk【答案】AC【分析】首先根据函数图象得到 2sin 23fxx，对于选项 A，根据三角函数的周期性即可判断 A 正确，对选项 B，fx向左平移3后得到 2sin 23g xx，不是奇函数，即可判断 B 错误，对选项 C，根据 4 32,32322x，即可判断 C 正确，对选项 D，根据()f x的图象的对称中心为,026k，即可判断 D 错误.【详解】由题图可知2A，因为当0 x 时，()3f x ，所以3sin2 .因为2，所以3，所以 2sin3f xx.由题图可知1514122TT，所以556

16、3T，所以61255.由题图可知，当512x 时，y取得最大值，所以52 1232k，k Z，解得2425k，k Z.又65125，所以2，所以 2sin 23fxx.对于 A，22T，则 A 正确.对于 B，()f x的图象向左平移3个单位长度得到函数 2sin 23g xx的图象，此函数不是奇函数，故 B 错误.对选项 C，5 5,126x，则 4 32,32322x，所以 fx在5 5,126上单调递减，故 C 正确.对选项 D，23xk，k Z，得26kx，k Z，所以()f x的图象的对称中心为,026k，k Z，则 D 错误.故选：AC.10已知点1F2F是双曲线22221(0,0

17、)xyabab的左右焦点，以线段12FF为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若123PFPF，则（）A1PF与双曲线的实轴长相等B12PFF的面积为232aC双曲线的离心率为102D 直线320 xy是双曲线的一条渐近线【答案】BCD【分析】结合双曲线的定义和条件可得123,PFa PFa，然后1290FPF，然后逐一判断即可.【详解】由双曲线的定义可得122PFPFa，因为123PFPF，所以123,PFa PFa，故 A 错误；因为以线段12FF为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，所以1290FPF，所以12PFF的面积为213322aaa，故 B 正确；由勾股定理得22232aa

18、c，即2252ac，所以22102cea，故 C 正确因为22221cbaa，所以2232ba，即32ba所以双曲线的渐近线方程为：22220 xyab，即320 xy，即320 xy，故 D 正确故选：BCD11对于函数 fx和 g x，设 120,0 xx f xxx g x，若存在12,x x，使得121xx，则称 fx与 g x互为“零点相邻函数”.若函数 3e4xf xx与 lng xxmx互为“零点相邻函数”，则实数m的值可以是（）Aln55Bln33Cln22D1e【答案】BC【分析】由题意，易得13x，进而得到224x，结合含参函数，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.【详

19、解】由题意，可得 1311e40 xf xx，222ln0g xxmx，易知13x，则231x，224x，则22ln xmx在224x有解，求导得：2221ln xmx，令0m，解得2ex，可得下表：2x2,eee,4m0m极大值则当2ex 时，m取得最大值为1e，2ln22,2xm，2ln4ln24,42xm则m的取值范围为ln2 1,2e，也即ln4 1,4e.故选：BCD.12在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2 2AB，2BC，6PAPB，2PCPD下列说法正确的是A设平面PAB平面PCDl，则/lABB平面PAD 平面PBCC设点MBC，点NPD，则MN的最小值为3D在四棱锥

20、PABCD的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球【答案】AB【解析】该四棱锥如图A：设平面PAB 平面PCDl，因为/AB平面PCD，所以/lAB，所以 A 对；B：平面PCD 平面ABCD，BC 平面PCD，BCPC又底面ABCD为矩形，所以/ADBC，ADPC因为2PCPD，2 2CD，即222CDPCPD，所以PCPD而ADPDD，所以PC 平面PAD，平面PBC 平面PAD，所以 B 对；C：由 B 选项可知MN的最短距离就是2PC，所以 C 错；D：取AB、CD的中点E，F，则与平面PAB、平面PCD、平面ABCD都相切的球的半径即为PEF的内切圆半径121r，同理与平面PAD、平面

21、PBC、平面ABCD都相切的球的半径即为PCD的内切圆半径222r，所以12rr，所以 D 错三、填空题三、填空题13已知数列 na满足13a ，11nnna aa，则105a_.【答案】14/0.25【分析】算出数列的前五项，找到数列的周期为 3，则本题即可解决.【详解】由11nnna aa，得111nnaa.因为13a ，所以243a，314a，43a ，543a，所以 na是以 3 为周期的数列，则105314aa.故答案为：1414已知()f x是奇函数，且当0 x 时，()eaxf x .若(ln2)8f，则a_.PABCD【答案】-3【分析】当0 x 时0 x，()()axf xf

22、xe 代入条件即可得解.【详解】因为()f x是奇函数，且当0 x 时0 x，()()axf xfxe 又因为ln2(0,1)，(ln2)8f，所以ln28ae，两边取以e为底的对数得ln23ln2a，所以3a，即3a 15有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 8%，第 2 台加工的次品率为3%，第 3 台加工的次品率为 2%，加工出来的零件混放在一起已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第 3 台车床加工出来的概率为【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件iB：第i台车床加

23、工的零件，则1(|)8%P A B，2(|)3%P A B，3(|)2%P A B，1()10%P B，2()40%P B，3()50%P B，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03P AP ABP ABP AB如果该零件是次品，那么它是第 3 台车床加工出来的概率为 3333(|)2%50%(|)0.0331P ABP A B P BP BAP AP A，16已知动点Q到抛物线28Cyx：的焦点F的距离为 1，则Q的轨迹方程是；若(4,0)A，P是抛物线C上的动点，则2|PAPQ的最小值是【答案】22(2)1xy，4【解析】第二空解答：由题意可

24、知，抛物线28yx的焦点为(2,0)F设点(,)P x y，则由抛物线的定义得|2PFx，22222|(4)816816PFxyxxxx要使22|PAPB最小，则应有|13PBPFx，此时有22|16|3PAxPBx令3xt，则3xt，所以22|(3)16|PAtPBt2625256ttttt 因为2|0|PAPB，显然有0t，则由基本不等式知2525210tttt，当且仅当25tt，即5t 时等号成立故2|PAPB的最小值为1064四、解答题四、解答题17已知数列 na，nb的前 n 项和分别为nS，nT，且112b，21122nSnn，当1n 时，满足112nnnnb aba(1)求na；

25、(2)求nT【答案】(1)nan；(2)1222nnTn.【分析】（1）由条件结合nS与na的关系可求na；（2）由递推关系证明nbn为等比数列，由此可求 nb的通项公式，再利用错位相减法求和.【详解】（1）因为21122nSnn，所以111122S，当2n 时，2211111112222nSnnnn，又11aS，当2n 时，1nnnaSS，所以11a，当2n 时，1nnnaSSn，所以nan；（2）因为112nnnnb aba，所以121nnnnbb，所以1112nnbbnn，又112b，所以数列nbn为以12为首项，公比为12的等比数列，所以12nnbn，所以231111112312222

26、2nnnTnn，2311111112122222nnnTnn，所以231111111222222nnnTn，所以1111112212212nnnTn，所以1111142222nnnTn，所以1222nnTn.18如图，三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBC C是矩形，1BCAC，12ACBCCC，D 是 AB 的中点.(1)证明：11A DBC；(2)若AC 平面11BBC C，E 是11AC上的动点，平面1BCD与平面1B DE夹角的余弦值为33，求111C EAC的值.【答案】(1)证明见解析(2)11113C EC A【分析】（1）先证明线面垂直，根据线面垂直得出线线垂直；（2）先

27、设比值得出向量关系，根据空间向量法求已知二面角的值即可求出比值.【详解】（1）取 BC 的中点 F，连接DF，1C F，记11BCC FG，D是 AB 的中点，/DF AC，1BCAC，1BCDF，在矩形11BBC C中，112tan2CFFC CCC，112tan2BBBCBBC，11FC CBCB，111190CFCBCBCFCFC C，90CGF，11BCC F，1C F 平面11ADFC,DF 平面11ADFC1C FDFF，1BC平面11ADFC，1A D Q平面11ADFC，11BCAD；（2）因为AC 平面11BBC C，BC，1CC 平面11BBC C，所以ACBC，1ACCC

28、，由矩形11BBC C得1BCCC，以点C为原点，CA，CB，1CC所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2BC，11(01)C EC A，则(0,0,0)C，(1,1,0)D，1(0,2,2)B，(2,0,2)E，所以1,1,0CD ，12,2,0,CB 11,1,2,B D 12,2,0,B E设111,mx y zr是平面1BCD的一个法向量，则1mCDmCB，11110,220,xyyz令12z，则111,1,xy(1,1,2)m.设222,nxy zr是平面1B DE的一个法向量，则11,nB DnB E 2222220220 xyzxy，令22z，则22

29、1x，221y，22,211n.22(1)3|cos,|3646m nm nm n ，13或3（舍去），11113C EC A.19记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知coscosbAaBbc.(1)求A；(2)若点D在BC边上，且2CDBD，3cos3B，求tanBAD.【答案】(1)3A(2)tan32BAD【分析】（1）由余弦定理化简可得出222bcabc，可求出cos A的值，再结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）求出sinB、sinC的值，设BAD，则23CAD，分别在ABD和ACD中，利用正弦定理结合等式的性质可得出sin、cos的等式，即可求得tan的值，即为

30、所求.【详解】（1）解：因为coscosbAaBbc，由余弦定理可得22222222bcaacbbabcbcac，化简可得222bcabc，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc，因为0A，所以，3A.（2）解：因为3cos3B，则B为锐角，所以，2236sin1 cos133BB，因为ABC，所以，23CB，所以，222331616sinsinsincoscossin333232326CBBB，设BAD，则23CAD，在ABD和ACD中，由正弦定理得3sinsin6BDADADB，6sin36sin3CDADADC，因为2CDBD，上面两个等式相除可得6sin36 sin3，得316c

31、ossin36 sin22，即2 cos26 sin，所以，2tantan3226BAD.20锚定 2060 碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为 0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为 p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过 0.896(1)当 p 最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至 0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（10.243.2）；(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种 5 年后，其

32、树杆地径服从正态分布2250,5N（单位：mm）梭梭树幼苗栽种 5 年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于 235mm 的概率约为多少？（精确到 0.001）为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种 5 年后，农林管理员随机抽取了 10 棵梭梭树，测得其树杆地径均小于 235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由附：若随机变量 Z 服从正态分布2,N，则0.6827PZ，220.9545PZ，330.9973PZ【答案】(1)0.5632(2)（1）0.001；（2）答案见解析【分析

33、】（1）先求得红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率的取值范围，再利用条件概率公式即可求得三种幼苗均成活的概率；（2）利用正态分布的性质即可求得树杆地径小于 235mm 的概率；答案不唯一，符合概率统计的原理，言之有理即可.【详解】（1）由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，故概率为221 0.82 0.810.80.896pppp，即2384.480pp，解得45p 或2815p（舍去）又0p，故 p 的取值范围为40,5，故 p 的最大值为 0.8，记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件 A，经济作物幼苗成活为事件 B，则有 0.8 0.80.64

34、P A，0.88P B A 故所求概率为 0.64 0.880.5632P ABP AP B A（2）设正常情况下，任意抽取一株梭梭树，树杆地径为mmX，由题意可知2250,5NX，因为2352503 5，所以由正态分布的对称性及“3”原则可知：1123512352650 00270 00122.XP XP理由：农林管理员的判断是合理的如果该地块土质对梭梭树的生长没有影响，由（1）可知，随机抽取 10 棵梭梭树，树杆地径都小于 235mm 的概率约为100.001，为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的理由

35、：农林管理员的判断是不合理的由于是随机抽取了 10 棵梭梭树，所以不可控因素比较多，例如有可能这 10 颗树的幼苗栽培深度较浅，也有可能是自幼苗栽种后的浇水量或浇水频率不当所致（答案不唯一，言之有理即可）21如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）设直线2yxm 与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且PQPR，求PRPQ的取值范围（1）3x2-y2-3=0（x1）；（2）(1,7)7,74 3【详解】（1）设M的坐标为(,)x y，显然有0 x，且0y，当90MBA时，点M的坐标为(2,3)，当90MBA时，

36、2x，由2MBAMAB，有22tantan1tanMABMBAMAB，即22121()1yyxyxx，化简可得，22330 xy，而点(2,3)也在曲线22330 xy，综上可知，轨迹C的方程为221(1)3yxx；（2）由22213yxmyx，消去y并整理，得22430(*)xmxm，由题意，方程(*)有两根且均在(1,)内设 f(x)x24mxm23，2222412(1)1430164(3)0mfmmmm，解得1m，且2m，设Q，R的坐标分别为(,)QQxy，(,)RRxy，由PQPR及方程(*)有223(1)Rxmm，223(1)Qxmm，22222123(1)23(1)411123(1

37、)23(1)23(1)RQPRmmxmPQxmmmm ，由1m，且2m，得241174 3123(1)m 且2417123(1)m，故PRPQ的取值范围是(1,7)7,74 322.（1）当0,1x时，求证：21ln1xxx.（2）已知函数 20 xf xxeaxaa有唯一零点0 x，求证：049x 且925a.参考答案：参考答案：（1）设 21ln011xg xxxx 222114011xgxxxx x，1 分 g x在0,1上单调递增 10g，得 0g x，即 231ln1xxf xx.3 分（2）1xfxxea 2xfxxe，得 fx在,2 单调递减，在2,单调递增.2min20fxfe

38、a 当2x 时 0fx，10fa ，110aaafaaeaa ee11,xa，10fx，且1,xx，0fx，f x单调递减，2,x，0fx，f x单调递增.1x为极小值点，1minf xf x5 分若 f x有唯一零点0 x，则 min0f x，即01xx0000fxf x，即00020010 xxxeax eaxa，将代入，得002220010 xxxex e即0220010 xxex，若00 x，则00220010 xxxexe，00 x设 221xh xxex，2432xhxexxx，当10 x 时，0hx，h x在1,0单调递增.7 分121110244he，0102x0102x，00

39、011xx 由00h x，得020201xxex，等式两边取自然对数，得0002ln1xxx根据（1）中01x时，21ln1xxx000000002112ln284111xxxxxxxx，得049x 9 分（另解：2242994544240ln999595hee 421445ln45915 049x）先证明01x时，11ln2xxx10 分00000000001212ln111xxxxxxxxxx，得2000211xxx由0200020021111xxxaxexx得2002210axaxa，00011,02xaxex，12112ea 2221xaxaxa，设 10 x，010a 且049x 409，得925a.综上049,925xa 12 分（另解 1：2211xxx，3201xxx，049925ax）（另解 201149aaxa，得925a）