广东省深圳市龙华高级中学、格致中学2022-2023学年高二下学期5月段考数学试题含答案.pdf

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1、龙龙华华高级中学、格致中学高级中学、格致中学 20222023 学年下学期学年下学期 5 月月段段考考试卷试卷高二数学高二数学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上卡上.2.作答选择题时作答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.3.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答非选

2、择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效.第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分）一一、选择题选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.）1.在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布2110,N，则下

3、列结论中不正确的是（）（参考数据：若2,XN，则()0.6827PX，(22)0.9545PX，(33)0.9973PX.）A.这次测试的平均成绩为 110B.越小，测试成绩在100,120内的概率越大C.测试成绩小于 100 分和大于 120 分的概率相等D.当20时，测试成绩小于 130 分的概率为 0.68272.曲线()lnf xxxx在,0a处的切线方程为（）A.0y B.yxC.eyxD.eyx 3.已知等比数列 na的公比为 q，且116a，24a，3a成等差数列，则 q 的值是（）A.5B.4C.3D.24.有 7 件产品，其中 4 件正品，3 件次品，现不放回从中取 2 件产

4、品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（）A.47B.23C.13D.165.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 80%，乙厂产品占 20%，甲厂产品的合格率是 75%，乙厂产品的合格率是 80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）A.0.95B.0.8C.0.76D.0.756.现要从 A，B，C，D，E 这 5 人中选出 4 人，安排在甲、乙、丙、丁 4 个岗位上，如果 A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）A.56 种B.64 种C.72 种D.96 种7.若1x，2x是函数321()1(0,0)3f xxaxbxab的导函数的两个不同零点

5、，且1x，2x，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则ab（）A.132B.92C.52D.48.已知当1x 时，关于 x 的不等式1lnaxax恒成立，则实数 a 的值不可能是（）A.0B.1C.2D.3二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得选项中，有多项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的分，有选错的得得 0 分分.）9.已知1nx的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则（）A

6、.8n B.1nx的展开式中2x项的系数为56C.奇数项的二项式系数和为 128D.21nxy的展开式中2xy项的系数为 5610.袋子中装有大小、形状完全相同的 6 个白球和 4 个黑球，现从中有放回地随机取球 3 次，每次取一个球，每次取到白球得 0 分，黑球得 5 分，设 3 次取球总得分为 X，则（）A.3 次中恰有 2 次取得白球的概率为36125B.44(5)125P X C.6E X D.1825D X 11.已知数列 na满足11a，112,2,nnnnnanaan为奇数为偶数，则下列说法正确的是（）A.37a B.20222aaC.202320232aD.23213265nn

7、Sn12.设函数e(21)()xxf xx，则（）A.12ef B.函数 f x的图象过点11,e的切线方程为1ey C.函数 f x既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D.方程 f xk有两个不等实根，则实数 k 的取值范围为10,4 e,e第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）13.已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 5 道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 道题才算合格，则甲合格的概率为_.14.将 8 个人分成三组，其

8、中一组由 2 人组成，另外两组都由 3 人组成，则不同的分组方法种数为_.15.若前 n 项和为nS的等差数列 na满足712812aaa，则17S_.16.已知函数(1)e,0()ln,0 xxxf xxxx，函数2()()(2)()2g xfxaf xa，若函数 g x恰有三个零点，则 a 的取值范围是_.四四、解答题解答题（本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步证明过程或演算步骤骤.）17.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2 cos2aBcb，ABC的面积为2 3.（1）求 A；（2）若2bc，求AB

9、C的周长.18.已知各项都是正数的数列 na，前 n 项和nS满足2*2nnnaSanN.（1）求数列 na的通项公式.（2）记nP是数列1nS的前 n 项和，nQ是数列112na 的前 n 项和.求nP和nQ；当2n 时，试比较nP与nQ的大小.19.如图，在正三棱柱111ABCABC中，2AB，D 是棱 AB 的中点.（1）证明：平面1ACD 平面11ABB A；（2）若11,2AA，求平面1ACD与平面11ACC的夹角余弦值的取值范围.20.课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投 3 次，投进一次得 2 分，否则得 0 分.已知甲每次投进的概率为12，且每次投篮相互独立；乙第

10、一次投篮，投进的概率为12，从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为35，若前一次没投进，则这次投进的概率为25.（1）求甲 3 次投篮的得分超过 3 分的概率；（2）乙 3 次投篮的得分为 X，求 X 的分布列和期望.21.已知椭圆 C：222210 xyabab的离心率为32，左、右焦点分别为1F、2F，P为 C 的上顶点，且12PFF的周长为42 3.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过定点0,2M的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围.22.已知函数2()ln2(0)f xaxxxx a.（1）

11、若4a，求 fx的极值；（2）2g xf xx，若函数 g x有两个零点1x，2x，且21exx，求证：12lnln3ax x.龙华高级中学、格致中学龙华高级中学、格致中学 20222023 学年下学期学年下学期 5 月段考月段考高二数学答案高二数学答案一、选择题一、选择题1.【答案】D【详解】对于 A 选项：正态分布2,N 中，括号里面表示随机变量服从均值为，方差为2的正态分布，因为成绩服从正态分布2110,N，所以 A 是正确的.对于 B 选项：正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差（或标准差）越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，所以越小，测试成绩在100,120内的概率

12、越大，所以 B 是正确的.对于 C 选项：根据正态曲线对称特点，测试成绩小于 100 分和大于 120 分的概率相等，所以 C 是正确的.对于 D 选项：当20时，测试成绩小于 130 分的概率为 0.84135，所以 D 错误.2.【答案】C【详解】由题意ln0aaa，解得ea.由 lnf xxxx，得 lnfxx，则 e1f，又 e0f，曲线 lnf xxxx在,0a处的切线方程为eyx.3.【答案】B【详解】等比数列 na的公比为 q，116a，24a，3a成等差数列，则132168aaa，即21118160a qa qa，整理得240q，解得4q，所以 q 的值是 4.4.【答案】B【

13、详解】设第一次取得次品为事件 A，第二次取得正品为事件 B，则3 42()7 67P AB，3 63()7 67P A，所以()272()733P ABP B AP A.5.【答案】C【详解】设买到的灯泡是甲厂产品为事件 A，买到的灯泡是乙厂产品为事件 B，则 0.8P A，0.2P B，记事件 C：从该地市场上买到一个合格灯泡，则0.75P C A，0.8P C B，所以 0.8 0.750.2 0.80.76P CP ACP BCP A P C AP B P C B.6.【答案】D【分析】根据 A 是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据 A 是否入选进行分类：若 A 入选：

14、则先给 A 从乙、丙、丁 3 个岗位上安排一个岗位有13C3种，再给剩下三个岗位安排人有34A4 3 224 种，共有3 2472种方法；若 A 不入选：则 4 个人 4 个岗位全排有44A4 3 2 124 种方法，所以共有722496种不同的安排方法.7.【答案】A【详解】2()2fxxaxb，1220 xxa，120 x xb，所以1x，2x为两个不等的负数，不妨设120 xx，则必有1x，2x，2 成等差数列，1x，2，2x成等比数列，故有2122xx，124x x，解得14x ，21x ，可得52a，4b，132ab.8.【答案】D【分析】化为ln10 xxaxa 恒成立，构造函数(

15、)ln1(1)f xxxaxax，求导后讨论 a，当1a 时，10f xf，符合题意；当1a 时，求出 f x的最小值11min()ee1aaf xfa，化为1e10aa，再构造函数1()e1(1)ag aaa，利用导数可得结果.【详解】当1x 时，关于 x 的不等式1lnaxax恒成立，即ln10 xxaxa 恒成立，令()ln1(1)f xxxaxax，则()ln1fxxa，当10a，即1a 时，由1x，得ln0 x，所以 0fx，所以 f x在1,上为增函数，所以 10f xf，符合题意；当10a，即1a 时，由 0fx，得10eax，由 0fx，得1eax，所以 f x在10,ea上为

16、减函数，在1e,a上为增函数，所以11111min()eelnee1e1aaaaaf xfaaa ，所以只需1e10aa 即可，设1()e1(1)ag aaa，则1()e1ag a，当1a 时，1e1a，所以 0g a，所以 g a在1,上为减函数，因为(2)e30g ，2(3)e40g，所以存在02,3a，使得00g a，当01aa时，0g a，当0aa时，0g a，要使1e()0afg a，只需0aa，结合选项可知，实数 a 的值不可能是 3.二、多项选择题二、多项选择题9.【答案】AC【详解】因为(1)nx的展开式通项为1CCkkkkrnnTxx，所以(1)nx的展开式的第1k 项的二项

17、式系数为Ckn，所以26CCnn，解得8n，A 正确；2x的系数为28C28，B 错误；奇数项的二项式系数和为1722128n，C 正确；根据二项式定理，821xy表示 8 个21xy相乘，所以21xy中有 1 个选择 x，1 个选择2y，6 个选择 1，所以21nxy的展开式中2xy项的系数为11787C C(1)56，D 错误.10.【答案】BC【详解】设 3 次取球取到白球的个数为，每次取到白球的概率63105P，由题意可得：33,5B，且05(3)155X，对于 A：2233254(2)C55125P，故 A 错误；对于 B：令1555X，解得2，故0或1，所以(5)(0)(1)1(3

18、)(4)P XPPPP 35434411255125，故B 正确；对于 C：因为39()355E，所以9()(155)155()15565E XEE，故 C 正确；对于 D：因为3318()315525D，所以18()(155)25()251825D XDD，故 D 错误.11.【答案】ABD【详解】2121aa，33227aa，故选项 A 正确；对于*kN，有2122212kkkaa，212122kkkaa，两式相加，得222kkaa，则202220202aaa，故选项 B 正确；由222kkaa，知2022202021aaa，则2023202320232022212aa ，故选项C 错误；

19、由偶数项均为1，可得 n 为偶数时，1112nna ，则35212112345211(1)12(1)1212nnnSaaaaaa 223352128 1 22651(1)(2)222211 23nnnnnn ，则23213265nnSn，故选项 D 正确.12.【答案】AD【详解】由题意可知22e(21)e(21)e()(21)(1)xxxxxxxfxxxxx，对于 A，由2e()(21)(1)xfxxxx，得12e(1)(2 1 1)(1 1)2e1f ，故 A 正确；对于 B，设切点为0001,e2xxx，000020e211xkf xxxx，切线方程000002001ee2211xxyx

20、xxxxx，代入点11,e，得0000020011ee22111exxxxxxx，化简整理得032200001e210exxxxx，令0322000001e21exh xxxxx，(1)0h，所以函数 f x在11,e的切线方程为1ey，因为11e024eh，1(1)e0eh，函数0h x图象连续不断，所以存在01,12x，使得00h x，所以过点11,e的直线与函数 f x在1,12之间存在切点，过点11,e的切线不止一条，故 B 错误；对于 C，f x的定义域为,00,，令 0fx，即2e(21)(1)0 xxxx，解得1x ，或12x，当1(,1),2x 时，0fx，当1(1,0)0,2

21、x 时，0fx，所以 f x在,1 和1,2上单调递增，在1,0和10,2上单调递减.当1x 时，f x取得极大值为1e2(1)11(1)(1)ef，当12x 时，f x取得极小值为121e21124 e122f，因为14 ee，所以极大值小于极小值，故 C 错误；对于 D，由 C 选项知，作出 f x的图象如图所示，要使方程 f xk有两个不等实根，只需要yk与 f x有两个交点，由图可知，10,(4 e,)ek，所以实数 k 的取值范围为10,(4 e,)e.故 D 正确.第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）三、填空题三、填空题13.【答案】12【详解】从 10 道题中抽取

22、 3 道题的取法有310C120种，至少抽到甲能答对的 5 道题中的两道题的取法有213555C CC60，所以概率为6011202.14.【答案】280【详解】先从 8 个人中选出 3 人为一组，再从 5 人中选出 3 人为一组，剩余两人为一组.满足条件的分组方法种数为33285222C C C56 10280A2.15.【答案】68【详解】解：由等差数列的性质知712910aaaa，因为前 n 项和为nS的等差数列 na满足712812aaa，所以712910812aaaaa，即891012aaa，所以94a，所以11791791717 2176822aaaSa.16.【答案】211,00

23、,ee【详解】当0 x 时，()(1)exf xx，所以()e(1)e(2)exxxfxxx，当2x 时，0fx，函数 f x在,2 上单调递减，当20 x 时，0fx，函数 f x在2,0上单调递增，且 01f，22ef，10f，当1x 时，0f x，当10 x 时，0f x，当x 时，与一次函数1yx相比，函数exy呈爆炸性增长，从而1()0exxf x，()0fx，当0 x 时，ln()xf xx，21 ln()xfxx，当0ex时，0fx，函数 f x在0,e上单调递增，当ex 时，0fx，函数 f x在e,上单调递减，且 1eef，10f，当1x 时，0f x，当01x时，0f x，

24、当x 时，与对数函数lnyx相比，一次函数yx呈爆炸性增长，从而ln()0 xf xx，()0fx，当0 x，且0 x 时，ln()xf xx，根据以上信息，可作出函数 f x的大致图象如下：函数2()()(2)()2g xfxaf xa的零点个数与方程2()(2)()20fxaf xa的解的个数一致，方程2()(2)()20fxaf xa，可化为 20f xf xa，所以 f xa或 2f x，由图象可得 2f x 没有解，方程2()(2)()20fxaf xa的解的个数与方程 f xa解的个数相等，而方程 f xa的解的个数与函数 yf x的图象与函数ya的图象的交点个数相等，由图可知：当

25、211,00,eea 时，函数 yf x的图象与函数ya的图象有 3 个交点.四四、解答题解答题（本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步证明过程或演算步骤骤.）17.【答案】（1）23；（2）62 7【详解】（1）由正弦定理得，2sincos2sinsinABCB，ABC，2sincos2sincos2cossinsinABBABAB，由sin0B 可得1cos2A ，又0A，23A.5 分（2）由题意可得1sin2 32bcA，8bc，又2bc，42bc，由余弦定理得22212cos1642 4 2282abcbcA ，2 7a.

26、ABC的周长为62 7.5 分18.【详解】（1）当1n 时，211112aSaa，所以11a 或10a（舍去），当2n 时，有2211122nnnnnnaSaaSa，两式相减得221112nnnnnnnaaaaaaa，整理得111nnnnnnaaaaaa，因为 na的各项都是正数，所以11nnaa，所以 na是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以1 1(1)nann ；5 分（2）由（1）得(1)2nn nS，则12112(1)1nSn nnn，所以121111111112 12 122311nnPSSSnnn，由（1）得111122nan，所以21111111212 11222212n

27、nnnQ，10 分因为(1)2(1 1)110(2)2nnn nnnn ，所以1121nn，故111121nn，所以当2n 时，nnPQ.12 分19.【详解】（1）证明：在正三棱柱中，1AA 平面 ABC，CD 平面 ABC，所以1AACD.因为ACBC，且 D 是棱 AB 的中点，所以CDAB.因为 AB，1AA 平面11ABB A，且1ABAAA，所以CD 平面11ABB A.又因为CD 平面1ACD，所以平面1ACD 平面11ABB A.5 分（2）解：分别取 AC，11AC的中点 O，E，连接 OE，OB，由正三棱柱性质得1AOAE，1AOAE，所以四边形1AOEA为平行四边形，所以

28、1AAOE，因为1AA 平面 ABC，所以OE 平面 ABC，因为 AC，OB 平面 ABC，所以OEAC，OEOB，因为在等边三角形 ABC 中，OBAC，所以 OB，OC，OE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，7 分设112AAtt，则0,1,0C，31,022D，10,1,At，10,2,ACt，33,022CD，设平面1ACD的法向量,nx y z，则12033022n ACytzn CDxy ，令2z，yt，3xt，得3,2nt t，9 分平面11ACC的一个法向量1,0,0m，设平面1ACD与平面11ACC夹角为，则22c331442os1m nm nttt，11分因为12t，所

29、以615cos,45.12 分20.【详解】（1）甲 3 次投篮投进的次数为，则13,2B，故甲 3 次投篮的得分超过 3 分的概率23231111(2)(3)C12222PPP.4 分（2）记“乙第1,2,3i i 次投篮投进”为事件iA，1,2,3i，由题意可得：X 的可能取值为 0，2，4，6，则有：1231229(0)11125550P XP A P AP A ，123123123(2)P XP A P AP AP A P AP AP A P AP A132123122811111125525525525 ，123123123(4)P XP A P AP AP A P AP AP A

30、P AP A133132123811125525525525，1231339(6)25550P XP A P AP A，所以 X 的分布列为：X0246P950825825950故 X 的期望9889()0246350252550E X .12 分21.【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出 a、c 的值，进而可求得 b 的值，由此可得出椭圆 C 的方程；（2）分析可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为2ykx，设11,A x y，22,B xy，将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，由0 结合0OA OB 可求得 k的取值范围.【详解】（1）设椭圆 C 的半焦距

31、为 c.因为12PFF的周长为12122242 3PFPFFFac，因为椭圆 C 的离心率为32，所以32ca，由解得2a，3c.则221bac，所以椭圆 C 的方程为2214xy.4分（2）若直线lx轴，此时，直线 l 为 y 轴，则 A、O、B 三点共线，不合乎题意，设直线 l 的方程为2ykx，设11,A x y，22,B xy，联立22221141612042xykxkxykx，222(16)4 411216 430kkk，解得234k，由韦达定理可得1221641kxxk，1221241x xk，8 分则2121212122224y ykxkxk x xk xx，又AOB为锐角，A、

32、O、B 不共线，则cos0AOB，即212121212124OA OBx xy ykx xk xx 22222212 13216416404141kkkkkk，解得204k，所以，2344k，解得322k 或322k，所以实数 k 的取值范围为332,222.12 分22.【分析】（1）求出函数 f x的导数 fx，再利用导数求出 fx的极值作答.（2）根据函数零点的意义，转化为线1ya与函数 ln xxx图象有两个交点，求出ea，再借助零点建立两个方程消去 a，构造函数证明12ln2x x 即可作答.【详解】（1）当4a 时，2()4 ln2f xxxxx定义域为0,，求导得()4(1 ln

33、)224ln22fxxxxx，令()4ln22h xxx，求导得4()2h xx，当02x时，0h x，当2x 时，0h x，即函数 h x在0,2上单调递增，在2,上单调递减，当2x 时，h x取得极大值 24ln22h，无极小值，所以 fx的极大值为4ln22，无极小值.4 分（2）依题意，2()lng xaxxx，0 x，因为函数 g x有两个零点1x，2x，且21exx，而0a，则21ln()0ln0 xg xaxxxax，因此函数 g x的两个零点1x，2x，分别是直线1ya与函数ln()xxx图象的两个交点横坐标，21 ln()xxx，当0ex时，()0 x，当ex 时，0 x，则

34、函数ln()xxx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，max 1()ex，而 10，1x 时，恒有 0 x，于是110ea，即ea.8 分令21extx，显然有122111221221lnlnlnlnax xxxaxxxaxxaxxx，则有2212121222122111lnlnlnln11xxxxxxtx xtxxxxxtx，令2(1)4()lnln211tF ttttt，et，22214(1)()0(1)(1)tF tttt t，即函数 F t在e,上单调递增，4()(e)10e1F tF，即有2(1)ln1ttt，从而121lnln21tx xtt，又ln1a，所以12lnln3ax x.12分龙华高级中学20222023学年下学期5月段考高二数学姓名 _ 班级 _ 座号 _正确填涂 缺考标记 贴条形码区（正面朝上，请勿贴出虚线方框）扫一扫查成绩第1页（共6页）数学第2页（共6页）数学第3页（共6页）数学1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABCD11.ABCD12.ABCD13.14.15.16.17(10 分)18(12 分)19(12 分)姓名 _ 班级 _第4页（共6页）数学第5页（共6页）数学第6页（共6页）数学20(12 分)21(12 分)22(12 分)