2023年求二次函数的解析式及二次函数的应用.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 求二次函数的解析式及二次函数的应用 2014.6.8 一、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。二、二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函

2、数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、b、c 为常数)，顶点坐标为,把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出 a、b、c 的值。2、顶点式：y=a(x-h)2+k(a 0,a、h、k 为常数)，顶点坐标为对称轴为直线 x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数 y=ax2的图像相同，当 x=h 时，y 最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数 y 的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求 y 的解析式。解：设 y=a(x-1

3、)2+2，把(3,10)代入上式，解得 y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0 时，h 越大，图像的对称轴离 y 轴越远，且在 x 轴正方向上，不能因 h 前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当 h0 时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位得到；当 h0，k0 时，将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h

4、)2+k 的图象；当 h0 时，将抛物线 y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动 k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0，k0 时，开口方向向上；a0，那么当 时，y 有最小值且 y最小=；如果 a0，那么，当时，y 有最大值，且 y最大=。例：已知二次函数当 x4时有最小值3，且它的图象与 x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载 点拨：析解二次函数当 x

5、4时有最小值3，顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线 x4，抛物线开口向上。由于图象与 x 轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与 x 轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为 ya(x 4)23。将（1，0）代入得0a(1 4)23,解得 a13 y13(x 4)2-3，即 y13x283x 73。典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：已知二次函数的图象经过点 A（3，-2）和 B（1，0），且对称轴是直线 x3求这个二次函数的解析式.已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是

6、直线 x=1，图象交 y 轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.已知抛物线的对称轴为直线 x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.二次函数的图象的对称轴 x=-4，且过原点，它的顶点到 x 轴的距离为4，求此函数的解析式 典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线 y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位,再向下平移2 个单位,所得图像的解析式是 y=x2-3x+5,则函数的解析式为_。点拨：解：先将 y=x2-3x+5 化为 y=(x-23)2+5-49,即 y=(x-23)2+411。它是由抛物线 y=ax2+b

7、x+c的图像向右平移3 个单位,再向下平移2 个单位得到的，原抛物线的解析式是 y=(x-23+3)2+411+2=(x+23)2+419=x2+3x+7。作业典型题 2014.6.8 1、如图，在一块三角形区域 ABC中，C=90，边AC=8，BC=6，现要在ABC内建造一个矩形水池 DEFG，如图的设计方案是使 DE在 AB上（1）求ABC中 AB边上的高 h；（2）设 DG=x，当 x 取何值时，水池 DEFG 的面积最大？（3）实际施工时，发现在 AB上距 B点 1.85 的 M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中

8、欲建的最大矩形水池能避开大树 或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载 分析：（1）由三角形 ABC的面积可求出 AB边上的高；（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含 x 的代数式表示 GF，得到水池的面积 y 关于 x 的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时 x 的值；（3）根据相似形可算出 BE小于 1.85，大树在最大水池的边上，为了避开，以 C为点在三边上各去一点 矩形二边与三角形二直角边重合 答：解：如图，（

9、1）过点 C作 CIAB，交GF于 H，在ABC中用勾股定理得：AB=10，SABC=21ACBC=21 ABCI，2168=2110CI，CI=4.8；ABC中 AB边上的高 h=4.8 （2）水池是矩形，GFAB，CGFCAB，CH，CI 分别是CGF和CAB对应边上的高，CH/CI=GF/AB，8.4x8.4=10GF，GF=10-1225x，10-1225x0，0 x524，设水池的面积为 y，则 y=x（10-1225x）=-1225x2+10 x，当 x=-1225210=2.4 时，水池的面积最大；（3）FEAB，CIAB，FECI，BFEBCI，FE：CI=BE：BI，又FE=

10、2.4，CI=4.8，在 RtBCI 中用勾股定理可得 BI=3.6，或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载 BE=CIBIFE*=8.46.34.2=1.8，BE=1.81.85，这棵大树在最大水池的边上 为了保护这棵大树，设计方案如图：2、如图，二次函数 y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），矩形 ABCD 的顶点 BC在 x 轴上，A、D在抛物线上，矩形 ABCD 在抛物线与 x 轴所围成的图形内（1）求二次函数的解析式

11、；（2）设点 A的坐标为（x，y），试求矩形 ABCD 的周长 P关于自变量 x 的函数解析式，并求出自变量 x 的取值范围；（3）是否存在这样的矩形 ABCD，使它的周长为 9？试证明你的结论（4）求出当 x 为何值时 P有最大值？分析：（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入 y=-mx2+4m，求得 m=1/2，即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形 ABCD 为矩形可知 ADx 轴，长为2x 的据对值，AB 的长为 A 点的总坐标，由 x 与 y 的关系，可求得 p 关于自变量 x 的解析式，因为矩形 ABCD 在抛物线里面，所以 x 小于0，大于抛物线与 x 负半轴的交点；（3）由（

12、2）得到的 p 关于 x 的解析式，可令 p=9，求 x 的方程，看 x 是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的 p （4）此题就是将 p 关于 x 的解析式看成抛物线的解析式，求其顶点即可 解答：解：（1）二次函数 y=-mx2+4m 的顶点坐标为（0，2），4m=2，即 m=1/2，抛物线的解析式为：y=-21x2+2；（2）A点在 x 轴的负方向上坐标为（x，y），四边形 ABCD 为矩形，BC在 x 轴上，ADx轴，又由抛物线关于 y 轴对称，所以 D、C点关于 y 轴分别与 A、B对称 A在 x 轴的负半轴上，x0，所以 AD的长为-2x，AB长为 y，所以周长 p=2

13、y+（-4x）=2（-21x2+2）-4x=-（x+2）2+8 四边形 ABCD 为矩形，y0，即 x-2 所以 p=-（x+2）2+8，其中-2x0 （3）不存在，或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载 证明：假设存在这样的 p，即：9=-（x+2）2+8，解此方程得：x 无解，所以不存在这样的 p（4）由 p=-（x+2）2+8，且-2x0 故 p 没有最大值 3、如图，一次函数 y=-4x-4 的图象与 x 轴、y 轴分别交

14、于 A、C两点，抛物线 y=34x2+bx+c 的图象经过 A、C两点，且与 x 轴交于点 B。（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为 D，求四边形 ABDC 的面积；（3）作直线 MN平行于 x 轴，分别交线段 AC、BC于点 M、N，问在 x 轴上是否存在点 P，使得PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条 件 的P点 的 坐 标；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由。解：（1）对于一次函数 y=-4x-4，令 x=0，得 y=-4，故点 C 的坐标为（0，-4），令 y=0，得 x=-1，故点 A 的坐标为（-1，0），把 A、C 两点坐标代入 y=x2+bx+c

15、得 解得 y=34x2-x38-4；或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载（2）顶点为 D（1，-316），A、B 两点关于对称轴 x=1 对称，点 B 的坐标为（3，0），设直线 DC 交 x 轴于点 E，如图1，由 D（1，-316）C（0，-4），图1 易求直线 CD 的解析式为 y=-34x-4易求 E（-3，0），S四边形ABDC=SEDB-SECA=12；（3）存在，MN x 轴，CMN CAB，设（a）当 MP=MN

16、或 NP=MN时，如MN=a，即图2，a=2，当PMN=90 时，MP OC，AMP ACO 或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载，即，OP=0.5，P1的坐标为（-0.5，0），当PNM=90 时，NP OC，BNP BCO，即，OP=1.5，P2的坐标为（1.5，0）（b）当MPN=90，PM=PN时，如图3，过点 P 作 PQMN，垂足为 Q，则 PQ=QM=QN，设 PQ=d，则 QM=QN=d，MN=2d 则=（已证）

17、即 d=，过点 N 作 NG x 轴，垂足为 G，则 PQ=GN=QN=PG=NG OC，BNG BCO，即，BG=1，OP=OB-BG-PG=3-1-，P3的坐标为（，0），或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载 综上（a）、（b），存在满足条件的点 P 有3个，坐标分别是 P1（-0.5，0）、P2（1.5，0）、P3（，0）。4、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满 当每个房间每

18、天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用 设每个房间每天的定价增加 x 元求：（1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费 z（元）关于 x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？解：（1）由题意得：y=60-10 x （2）z=（200+x）（60-10 x）=-101 x2+40 x+12000（3 分）（3）w=（200+x）（60-10 x）-20（60-10 x）（2 分）=-1

19、01x2+42x+10800=-101（x-210）2+15210 当 x=210 时，w有最大值 此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时，w有最大值，且最大值是 15210元 5、枇杷是莆田名果之一，某果园有 100 棵枇杷树每棵平均产量为 40 千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量 0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线的顶点坐标是 解：设增种 x 棵树，果

20、园的总产量为 y 千克，依题意得：y=（100+x）(40-0.25x)=4000-25x+40 x-0.25x2=-0.25 x2+15x+4000 或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载 因为 a=-0.250，所以当，y 有最大值 答:最多总产量是 4225 千克 5、经调查研究，某工厂生产的一种产品的总利润 y（元）与销售价格 x（元/件）的关系式为y=-4x2+1360 x-93200，其中 100 x245（1）销售价

21、格 x 是为多少元时，可以使总利润达到 22400 元？（2）总利润可不可能达到 22500 元？解：（1）由题意，把 y=22400 代入 y=-4x2+1360 x-93200，方程为写成：x2-340 x+28900=0，解得 x1=x2=170；（2）把 y=22500 代入 y=-4x2+1360 x-93200 得，x2-340 x+28925=0，a=1，b=-340，c=28925，b2-4ac=（-340）2-4128925=-1000，方程没有实数根 故总利润可不可能达到 22500 元 6、某电器商场将进价为 2000 元的彩电以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台

22、，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种彩电的售价每降低 50 元，平均每天可多售出 4 台（1）假设每台彩电降价 x 元，商场每天销售这种彩电的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？解：（1）根据题意，得 y=(2400-2000-x)(8+4 50 x)，即 y=-252x2+24x+3200；（2）对于 y=-252x2+24x+3200，当 x=-=15150252224）（时，y最大值=(2400-2000-150)(8+4 5

23、0150)=25020=5000；所以，每台彩电降价 150 元时，商场每天销售这种彩电的利润最大，最大利润是 5000 元 7、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润 y甲（万元）与进货量 x（吨）近似满足函数关系 y 甲=0.3x；乙种水果的销售利润 y乙（万元）与进货量 x（吨）近似满足函数关系：y乙=-0.1x2+bx（其中 b 为常数），且进货量 x 为 1 吨时，销售利润 y乙为 1.4 万元（1）若求 y乙（万元）与 x（吨）之间的函数关系式并计算说明：乙种水果进货多少的时候销售利润 y乙（万元）才能最大？最大利润是多少？（

24、2）甲种水果的销售利润 y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润 y乙（万元），需要进货多少吨？（3）如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，请你通过计算说明如何进货（这两种或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出学习必备 欢迎下载 水果各进多少吨）才能获得销售利润之和最大，最大利润是多少？解：（1）由题意得：进货量 x 为 1 吨时，销售利润 y乙为 1.4 万元，-1+b=1.4，解得：b=2.4，y乙=-0.1x2+2.4x=-0.1（

25、x2-24x）=-0.1（x-12）2+14.4；（2）当甲种水果的销售利润 y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润 y乙（万元），则 0.3x=14.4，解得：x=28，答：需要进货 28 吨；（3）W=y甲+y乙=0.3（10-x）+（-0.1x2+2.4x），W=-0.1x2+2.1x+3，W=-0.1（t-10.5）2+6.6 t=6 时，W有最大值为：6.6 10-6=4（吨）答：甲、乙两种水果的进货量分别为 4 吨和 6 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6 万元 或最大小值一般选用顶点式已知抛物线与轴的两个交点的横坐标一般选用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题设法把关于最顶点坐标为把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组就能解出