2023年椭圆的简单几何性质典型例题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 课前思考：我们是如何定义圆的？又是如何推导出圆的标准方程的？1.椭圆的第一定义 平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21|F F）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21|2MFMFa。问题：假设与两定点的距离之和为 d,为什么要满足 d2c 呢？（1）当 d=2c 时，轨迹是什么？（2）当 d|F1F2|时，是椭圆；（2）、当 d=|F1F2|时，是线段；（3）、当 d|F1F2|轨迹不存在.3.椭圆的标准方程 步骤:(1)建系设点 (2)写出点的集合 (3)写出代数方程 (4)化简方程 （四）方

2、程推导,学会建系 取过焦点21,FF的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴 设),(yxP为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c2（0c）.则)0,(),0,(21cFcF，又设 M 与21,FF距离之和等于a2(ca22)（常数）aPFPFPP221 221)(ycxPF又，aycxycx2)()(2222，化简，得 )()(22222222caayaxca，由定义ca22,022ca 令222bca代入，得 222222bayaxb，两边同除22ba得 12222byax 此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,()0,(21cFcF，中心在PF2F1xOy学习必备

3、 欢迎下载 坐标原点的椭圆方程 其中222bca 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换yx,轴）焦点则变成),0(),0(21cFcF,只要将方程12222byax中的yx,调换，即可得 12222bxay，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222byax与12222bxay这两个标准方程中，都有0 ba的要求，如方程),0,0(122nmnmnymx就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1byax类比，如12222byax中，由于ba，所以在x轴

4、上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看22,yx分母的大小)椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在 x 轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中,a b的大小0ab，其中222cab；总结 在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab 的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。典型例题一 PF2F1xOy任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意

5、一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 例 1 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况 典型例题二 例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率 解：31222cac 223ac，33

6、31e 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可 典型例题三 例 3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程 解：由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得 021222xaxa，任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 222112aa

7、xxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422yx为所求 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题 典型例题四 例 4 椭圆192522yx上不同三点11yxA，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列（1）求证821 xx；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k 证明：（1）由椭圆方程知5a，3b，4c 由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12，11545xexaAF 同理 2545xCF BFCFAF2，且59BF，518545545

8、21xx，即 821 xx（2）因为线段AC的中点为2421yy，所以它的垂直平分线方程为 42212121xyyxxyyy 又点T在x轴上，设其坐标为 00，x，代入上式，得 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 212221024xxyyx 又点11yxA，22yxB，都在椭圆上，212125259xy 222225259xy 21212221259xxxxyy 将此式代入，并利用821 xx的结论得 253640 x 45

9、40590 xkBT 典型例题五 例 5 已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 解：假设M存在，设11yxM，由已知条件得 2a，3b，1c，21e 左准线l的方程是4x，14xMN 又由焦半径公式知：111212xexaMF，112212xexaMF 212MFMFMN，任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备

10、欢迎下载 11212122124xxx 整理得048325121 xx 解之得41x或5121x 另一方面221x 则与矛盾，所以满足条件的点M不存在 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设sin3cos2，M存在，推出矛盾结论（读者自己完成）典型例题六 例 6 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xk

11、y代入椭圆方程，并整理得 0232122212222kkxkkxk 由韦达定理得22212122kkkxx P是弦中点，121 xx故得21k 所以所求直线方程为0342 yx 分析二：设弦两端坐标为11yx，、22yx，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得 1.11212212122

12、222121yyxxyxyx，得0222212221yyxx 将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21 所求直线方程为0342 yx 说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用 典型例题七 例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点62，；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6 分析：当方程有两种形式时，应分别

13、求解，如（1）题中由12222byax求出1482a，372b，在得方程13714822yx后，不能依此写出另一方程13714822xy 解：（1）设椭圆的标准方程为12222byax或12222bxay 由已知ba2 又过点62，因此有 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 1622222ba或1262222ba 由、，得1482a，372b或522a，132b故所求的方程为 13714822yx或1135222xy（2）设方

14、程为12222byax由已知，3c，3 cb，所以182a故所求方程为191822yx 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222byax或12222bxay 典型例题八 例 8 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标 分析：本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得最小值一般地，求MFeAM1均可用此法 解：由已知：4a，2c所以21e，右准线8xl：过A作lAQ，垂足 为Q，交椭圆 于M，故MFMQ2 显然MFAM2的最小值为AQ，

15、即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上 故32Mx 所以332，M 说明：本题关键在于未知式MFAM2中的“2”的处理事实上，如图，21e，任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值 典型例题九 例 9 求椭圆1322yx上的点到直线06 yx的距离的最小值 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，

16、求出距离的最小值 解：椭圆的参数方程为.sincos3yx，设椭圆上的点的坐标为sincos3，则点到直线的距离为 263sin226sincos3d 当13sin时，22最小值d 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程 典型例题十 例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e，已知点230，P到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标 分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、

17、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力 解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222byax，其中0 ba待定 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 由222222221ababaace可得 2143112eab，即ba2 设椭圆上的点 yx，到点P的距离是d，则 4931232222222yybyayxd 34213493342222byyyb 其中byb 如果21b，则当by时，2d

18、（从而d）有最大值 由题设得22237 b，由此得21237b，与21b矛盾 因此必有21b成立，于是当21y时，2d（从而d）有最大值 由题设得34722 b，可得1b，2a 所求椭圆方程是11422yx 由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，点213，到点230，P的距离是7 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是sincosbyax，其中0 ba，待定，20，为参数 由22222221ababaace可得 2143112eab，即ba2 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中

19、注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 设椭圆上的点 yx，到点230，P的距离为d，则 22222223sincos23bayxd 49s in3s in34222bbb 3421s in3222bbb 如果121b，即21b，则当1sin时，2d（从而d）有最大值 由题设得22237 b，由此得21237b，与21b矛盾，因此必有121b成立 于是当b21sin时2d（从而d）有最大值 由题设知34722 b，1b，2a 所求椭圆的参数方程是sincos2yx 由21sin，23cos，可得椭圆上的是213，213，典型例题十一 例 11 设x，Ry，xyx63

20、222，求xyx222的最大值和最小值 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程xyx63222与椭圆方程的结构一致设mxyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值 解：由xyx63222，得 123492322yx 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点 设mxyx222，则 1122myx 它表示一个圆，其

21、圆心为（1，0）半径为11 mm 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11 m，此时0m；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41 m，15m xyx222的最小值为 0，最大值为 15 典型例题十二 例 12 已知椭圆012222babyaxC：，A、B是其长轴的两个端点（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、b如何变化，120 APB （2）如果椭圆上存在一个点Q，使120 AQB，求C的离心率e的取值范围 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手本题的第（2）问中，其关键

22、是根据什么去列出离心率e满足的 不 等 式，只 能 是 椭 圆 的 固 有 性 质：ax，by，根 据120 AQB得 到32222ayxay，将22222ybaax代入，消去x，用a、b、c表示y，以便利用by 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成 解：（1）设 0，cF，0，aA，0，aB abcPbayaxbcx2222222，于是 acabkAP2，acabkBP2 APB

23、是AP到BP的角 2222242221tancaacabacabacabAPB 22ca 2tan APB 故3tan APB 120 APB（2）设 yxQ，则axykQA，axykQB 由于对称性，不妨设0y，于是AQB是QA到QB的角 22222221tanayxayaxyaxyaxyAQB 120 AQB，32222ayxay 整理得023222ayayx 22222ybaax 0213222ayyba 0y，2232caby by，bcab2232 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其

24、中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 232cab，222234ccaa 04444224acac，044324 ee 232e或22e（舍），136 e 典型例题十三 例 13 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值 分析：分两种情况进行讨论 解：当椭圆的焦点在x轴上时，82 ka，92b，得12kc 由21e，得4k 当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82 kb，得kc 12 由21e，得4191 k，即45k 满足条件的4k或45k 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为8k与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上故必

25、须进行讨论 典型例题十四 例 14 已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b，求P到左准线的距离 分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解 解法一：由142222bybx，得ba2，bc3，23e 由椭圆定义，baPFPF4221，得 bbbPFbPF34421 由椭圆第二定义，edPF11，1d为P到左准线的距离，任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 bePFd3211，即P到左

26、准线的距离为b32 解法二：edPF22，2d为P到右准线的距离，23ace，bePFd33222 又椭圆两准线的距离为bca33822 P到左准线的距离为bbb32332338 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如 一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义 典型例题十五 例 15 设椭圆.sin32,cos4yx(为参数)上一点P与x轴正向所成角3 POx，求P点坐标 分析：利用参数与POx之间的关系求解 解：设)sin32,

27、cos4(P，由P与x轴正向所成角为3，cos4sin323tan，即2tan 而0sin，0cos，由此得到55cos，552sin，P点坐标为)5154,554(典型例题十六 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 例 16 设),(00yxP是离心率为e的椭圆12222byax)0(ba上的一点，P到左焦点1F和右焦点2F的距离分别为1r和2r，求证：01exar，02exar 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义

28、，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离 解：P点到椭圆的左准线caxl2：的距离，caxPQ20，由椭圆第二定义，ePQPF1，01exaPQer，由椭圆第一定义，0122exarar 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式 典型例题十七 例 17 已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点(1)求1PFPA 的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求223PFPA 的最小值及对应的点P的坐标 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最

29、值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 解：(1)如 上 图，62 a，)0,2(2F，22AF，设P是 椭 圆 上 任 一 点，由6221aPFPF，22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线

30、由22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线 建立A、2F的直线方程02 yx，解方程组4595,0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P 综上所述，P点与1P重合时，1PFPA 取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA 取最大值26(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由3a，2c，32e 由 椭 圆 第 二 定 义 知322 ePQPF，223PFPQ，PQPAPFPA223，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离

31、右准线方程为29x 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 A到右准线距离为27此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为 1，代入椭圆得满足条件的点P坐标)1,556(说明：求21PFePA 的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段 巧用焦点半径2PF与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段 典型例题十八 例 18 (1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为

32、简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题 解：(1)sin2cos3yx)(R(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设)sin2,cos3(为矩形在第一象限的顶点，)20(，则122sin12sin2cos34S 故椭圆内接矩形的最大面积为 12 说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便 典型例题十九 例 19 已知1F，2F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6021PFF(1)求椭圆离心率的取值范围；任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为

33、什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载(2)求证21FPF的面积与椭圆短轴长有关 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为 12222byax（0 ba），),(11yxP（01y）思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan1212PFPFPFPFKKKK，设),(11yxP，)0,(1cF，)0,(2cF，化 简 可 得03233212121ccyyx 又1221221byax，两方程联立消去21x得0323412212bcybyc，由,0(1by，可以确定

34、离心率的取值范围；解出1y可以求出21FPF的面积，但这一过程很繁 思路二：利用焦半径公式11exaPF，12exaPF，在21FPF中运用余弦定理，求1x，再利用,1aax，可以确定离心率e的取值范围，将1x代入椭圆方程中求1y，便可求出21FPF的面积 思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合aPFPF221求解 解：(法 1)设椭圆方程为12222byax（0 ba），),(11yxP，)0,(1cF，)0,(2cF，0c，则11exaPF，12exaPF 在21FPF中，由余弦定理得)(24)()(2160cos1122121exaexacexaexa，解得2222134eacx(1),0

35、(221ax，2222340aeac，即0422 ac 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 21ace 故椭圆离心率的取范围是)1,21e(2)将2222134eacx代入12222byax得 24213cby，即cby321 22213332212121bcbcyFFSFPF 即21FPF的面积只与椭圆的短轴长有关(法 2)设mPF 1，nPF 2，12FPF，21FPF，则120(1)在21FPF中，由正弦定理得 60si

36、n2sinsincnm 60sin2sinsincnm anm2，60sin2sinsin2ca，2cos2sin260sinsinsin60sinace 212cos21 当且仅当时等号成立 故椭圆离心率的取值范围是)1,21e(2)在21FPF中，由余弦定理得：60cos2)2(222mnnmc 任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 mnnm22 mnnm3)(2 anm2，mnac34422，即22234)(34bcamn

37、 23360sin2121bmnSFPF 即21FPF的面积与椭圆短轴长有关 说明：椭圆上的一点P与两个焦点1F，2F构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理解题中通过变形，使之出现21PFPF 的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路 典型例题二十 例 20 椭圆12222byax)0(ba与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使APOP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围 分析：O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把APOP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b

38、、c的一个不等式，转化为关于e的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程 解：设椭圆的参数方程是sincosbyax)0(ba，则椭圆上的点)sin,cos(baP，)0,(aA，APOP，1cossincossinaabab，即0coscos)(22222baba，解得1cos或222cosbab，1cos1 1cos（舍去），11222bab，又222cab 2022ca，任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果学习必备 欢迎下载 22e，又10 e，122 e 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P使APOP 如何证明？任意一点则有问题假设与两定点的距离之和为为什么要满足呢当时轨迹轴线段取过焦点的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点椭圆的焦距是的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同可得到椭圆的不同的方程如果