2023年柯西不等式习题.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 选修4-5学案 3.1.1 柯西不等式(1)姓名 学习目标：1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义;2.会证明二维柯西不等式及向量形式 知识情景：1.定理 1 如果,a bR,那么222abab.当且仅当ab时,等号成立.当0,0ab时，由222abab基本不等式：2.如果,a b c dR,那么222abab，222cdcd2222()()abcd 另一方面，有22 222()2ac bda cb dabcd 问题：2222()()abcd2()acbd？新知建构：1.柯西不等式：若,a b c dR，则22222()()()abcdacbd.当且仅当 时,

2、等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法 10.（综合法）222222222222()()abcda ca db cb d 222()()()acbd 当且仅当 时,等号成立.证法 20.（构造法）分析：22222()()()acbdabcd222222()4()()0acbdabcd 而222222()4()()acbdabcd的结构特征 那么，证：设22222()()2()f xabxacbd xcd，22()()()f xaxcbxd 0 恒成立.得证.证法 30.（向量法）设向量(,)ma b，(,)nc d，则|m，|n.m n，且nmnmnm,cos|，有|nmnm.得证.2.二维

3、柯西不等式的变式：变式 10.若,a b c dR，则|2222bdacdcba 或bdacdcba2222；变式 20.若,a b c dR，则222222()()abcdacbd ；变式 30.若1122,x y xyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.几何意义:2 探究 如图，设AOB，自点O沿OA边依次取n个点12,nA AA，OB边依次取取n个点12,nB BB，在OA边取某个点iA与OB边 某个点jB连接，得到ijAOB，这样一一搭配，一共可得到 n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的ijAOB 不同，问：OA边上的点与OB边上的点 如何搭配，才能使n个三

4、角形的 面积和最大（或最小）？设,(,1,2,)iijjOAa OBb i jn，由已知条件，得 123123,nnaaaabbbb 因为ijAOB的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为 代数问题：1212,nnc ccb bb设是数组的任何一个排列 则1 12 2n nSa ca ca c 何时取最大（或最小）值？我们把1 122nnSa ca ca c 叫做数组12(,)na aa与12(,)nb bb的乱序和.其中,1121321nnnnSa ba ba ba b 称为 序和.21 12 23 3n nSa ba ba ba b 称为 序和.这样的三个和大小关系如何?1

5、2 SSS反序和乱序和顺序和即.30.容易发现,当12,naaa或12nbbb时,12 SSS;如果12,na aa不全相等,12,nb bb也不全相等.则,(1,)i ji jn和,(1,)l kl k n 使,ijlkaabb,考察和数 2()()i ijjllkkikjllikjSSa ba ba ba ba ba ba ba b 2()()i ijjllkki ljklikjSSa ba ba ba ba ba ba ba b ()()0ijklSSaabbSS 12SSSS.定理(排序不等式,又称排序原理):12,naaa设12nbbb为两组数,1212c,nnccb bb是的任意一

6、个排列,则 121321nnnna ba ba ba b 1 122nna ca ca c 1 1223 3nna ba ba ba b.当且仅当12,naaa或12nbbb时,等号成立.精品资料 欢迎下载 3.二维柯西不等式的应用：442233 2 ,()()()1a bababab已知为实数,证明例 *11 ,b1,42a bR aab 设求证例 511023yxx 求函数的最大值例 例 4 22231,49,xyxy若求的最小值 并求最小值点.例 5 已知cba,均为正数，且1cba，求证：9111cba.例 6 已知1a，2a，na为实数，求证：211nniiiiaann 例 7 设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求z9y1x4的最小值。例 8 在ABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为 R，求证：2222222111()()36sinsinsinabcRABC 例 9.若 a1，a2，an 为两两不等的正整数，求证:32122211112323naaaann 新知建构柯西不等式若则当且仅当时等号成立此即二维形式的柯西不等变式若则几何意义探究如图设自点沿边依次取个点边依次取取个点在边最小设由已知条件得因为的面积是而是常数于是上面的几何问题就可以