2023年椭圆典型例题整理教师版.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是 F1(0，1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且 PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解：由 PF1PF22F1F2224，得 2a4.又 c1，所以 b23.所以椭圆的标准方程是y24x231.2已知椭圆的两个焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，且 2a10，求椭圆的标准方程 解：由椭圆定义知c1，b 521 24.椭圆的标准方程为x225y2241.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程 分析

2、：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点(3,2)且与椭圆x29y241 有相同焦点的椭圆的标准方程 解：因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2y2a251.由点(3,2)在椭圆上知9a2 4a251，所以a215.所以所求椭圆的标准方程为x215y2101.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B

3、两点，M为AB 中点，OM的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程 解：由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得 021222xaxa，222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422yx为所求 五、求椭圆的离心率问题。例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率 解：31222cac 223ac，3331e 例 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值 解：当椭圆的焦点在x轴上时，82 ka，92b，得12kc由21e，得4k 当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82 kb，得kc 12 由21e，得

4、4191 k，即45k 学习必备 欢迎下载 满足条件的4k或45k 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若ABC 的两个顶点坐标 A(4,0)，B(4,0)，ABC 的周长为 18，求顶点 C 的轨迹方程。解：顶点 C 到两个定点 A，B 的距离之和为定值 10，且大于两定点间的距离，因此顶点 C 的轨迹为椭圆，并且 2a10，所以 a5,2c8，所以 c4，所以 b2a2c29，故顶点 C 的轨迹方程为x225y291.又 A、B、C 三点构成三角形，所以 y0.所以顶点 C 的轨迹方程为x225y291(y0)答案：x225y291(y0)2已知椭圆的标准方程是x2a2y22

5、51(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28，弦AB过点F1，求ABF2的周长 因为 F1F28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a2251641，即 a 41，所以ABF2的周长为 4a4 41.3设 F1、F2是椭圆x29y241 的两个焦点,P 是椭圆上的点，且 PF1:PF22:1，求PF1F2的面积 解析：由椭圆方程，得 a3，b2，c 5，PF1PF22a6.又 PF1PF221，PF14，PF22，由 2242(2 5)2可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为12PF1 PF212244.七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆1222yx，求过点2121，P

6、且被P平分的弦所在的直线方程 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得 0232122212222kkxkkxk 由韦达定理得22212122kkkxx P是弦中点，121 xx故得21k 所以所求直线方程为0342 yx 解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得 1.11212212122222121yyxxyxyx，椭圆的标准方程为二未知椭圆焦点的位置求椭圆的标准方程例椭圆的一准方程为三椭圆的焦点位置由其它方程间接给出求椭圆的标准方程有相的标准方程例已

7、知中心在原点焦点在轴上的椭圆与直线交于两点为中点学习必备 欢迎下载 得0222212221yyxx 将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21 所求直线方程为0342 yx 2直线 l：kxyk0 与椭圆x24y221 的位置关系是()A相交 B相离 C相切 D不确定 解析：kxyk0，yk(x1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在x24y221 的内部，故 l 与椭圆x24y221相交 答案：A 3.若直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则 m 的取值范围是()A.(，0)(1，)B.(1,3)(3，)C.(，3)(3,0)D.(1,3)解析：本题考查直线与椭圆

8、的位置关系由 yx2，x2my231消去 y，整理得(3m)x24mxm0.若直线与椭圆有两个公共点，则 3m0，4m24m 3m 0，解得 m3，m1.由x2my231 表示椭圆知，m0 且 m3.综上可知，m 的取值范围是 m1 且 m3，故选 B.答案：B 42014 郑州外国语学校月考已知椭圆x23y221 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1且倾斜角为 45 的直线 l与椭圆相交于 A，B 两点(1)求 AB 的中点坐标；(2)求ABF2的周长与面积 解：(1)由x23y221，知 a 3，b 2，c1.F1(1,0)，F2(1,0)，l 的方程为 yx1，联立 x23y221，

9、yx1，消去 y 得 5x26x30.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x0，y0)，则 椭圆的标准方程为二未知椭圆焦点的位置求椭圆的标准方程例椭圆的一准方程为三椭圆的焦点位置由其它方程间接给出求椭圆的标准方程有相的标准方程例已知中心在原点焦点在轴上的椭圆与直线交于两点为中点学习必备 欢迎下载 x1x265，x1x235，x0 x1x2235，y0y1y22x11x212x1x22125(或 y0 x0135125)，中点坐标为 M(35，25)(2)由题意知，F2到直线 AB 的距离 d|101|121222 2，|AB|1k2l x1x224x1x28 35，SABF

10、212|AB|d128 35 24 65，ABF2的周长4a4 3.5已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 解：(1)由 4x2y21，yxm，得 5x22mxm210.因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220(m21)0.解得52m52.(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)知，5x22mxm210，由根与系数的关系得 x1x22m5，x1x215(m21)设弦长为 d，且 y1y2(x1m)(x2m)x1x2，d x1x22 y1y22 2 x1x22 2 x1x

11、224x1x2 24m22545 m21 25108m2.当 m0 时，d 最大，此时直线方程为 yx.椭圆的标准方程为二未知椭圆焦点的位置求椭圆的标准方程例椭圆的一准方程为三椭圆的焦点位置由其它方程间接给出求椭圆的标准方程有相的标准方程例已知中心在原点焦点在轴上的椭圆与直线交于两点为中点学习必备 欢迎下载 八、椭圆中的最值问题 例 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小 值时，求点M的坐标 解：由已知：4a，2c所以21e，右准线8xl：过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2显然MFAM2的最小值为 AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上故32Mx所以332，M 7设 P 为椭圆x24y291 上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|PF2|的最大值是_ 解析：由已知 a3，|PF1|PF2|2a6，|PF1|PF2|(|PF1|PF2|2)29.当且仅当|PF1|PF2|3 时，式中等号成立 故|PF1|PF2|的最大值为 9.答案：9 椭圆的标准方程为二未知椭圆焦点的位置求椭圆的标准方程例椭圆的一准方程为三椭圆的焦点位置由其它方程间接给出求椭圆的标准方程有相的标准方程例已知中心在原点焦点在轴上的椭圆与直线交于两点为中点