2023年正余弦定理的应用精品教案终极版.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 课题名称 正余弦定理的应用 学科 数学 授课班级 K-1 授课时数 1 设计者 林巧红 所属学校 本节（课）教学内容分析（1）本节课是普通高中课程标准实验教科书必修 5 第一章解三角形中的 1.1正弦定理和余弦定理的内容，该节包括正弦定理和余弦定理的发现、探索、证明和应用，分 5 课时完成，本节课是第 5 课时，内容主要是正弦定理和余弦定理在解三角形中的简单应用。（2）正余弦定理的应用是中学数学教学中的重要组成部分,是高考的必考内容。从知识的网络结构上看，它是三角公式及变换的延续和应用,也是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等的运用和拓展。（3）正余弦定理是反映三角形中边与

2、角之间关系的两个重要定理，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，对它们进行灵活应用，就会感到另一种新奇与愉悦，同时也给众多题目找到了“同一根源”。依据课程标准（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本节（课）教学目标（1）知识与技能目标：通过对任意三角形边角关系的探究，进一步掌握三角形中边长与角度之间的定量关系.（2）过程与方法目标：通过对两个定理的进一步学习，使学生能灵活选择它们来解决三角形中的边角问题，培养学生的思维综合能

3、力，学会与人合作，交流.（3）情感与态度目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，让学生积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生探索数学规律的数学思想，以及在方程思想指导下解三角形的运算能力。学习者特征分析 学习必备 欢迎下载（1）本课的学习对象为高一普通班学生，他们经过一个多学期的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。（2）作为高一年普通班的学生普遍存在着数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难。在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的指导

4、，学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强，对学习资源知识信息的获取，加工，处理和综合的能力较低，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极性高。（3）正弦定理和余弦定理紧跟必修 4（包括三角函数与平面向量）之后，因此以这些知识作为工具或载体，运用转化与化归作为指导思想是本节学习的重点。本节的学习，又可以让学生进一步掌握三角形中边与角存在着的定量关系，这是一个从定性到定量的飞跃过程，这些对让学生体会到事物是相互联系的辩证思想有着举足轻重的作用。因此，本节内容让普通班学生通过网络课进行协作和探究学习是比较合适的。（4）本节课存在的困难点：1、从直角三角形到斜三角形，这样一个从

5、定性到定量的过程，学生认识是否到位，是否只是机械套用公式？2、本节课中例 1 涉及到了三角形中的“多解”情况，面积、周长问题，现在的学生动手能力较差，能否考虑到？在例 2、3 中对正弦定理与余弦定理的灵活、准确选用有无障碍？教学、学习时间是否够用？知识点学习目标描述 知识点 编 号 学习 目标 具 体 描 述 语 句（一）知识目标 1、三角形的有关性质；2、正、余弦定理综合运用.（二）能力目标 1、熟练掌握正、余弦定理；2、进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质；3、综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.（三）德育目标 通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角

6、函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.教学重点和难点 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 项 目 内 容 解 决 措 施 教学重点 正、余弦定理的综合运用.启发学生在求解三角形问题时，注意三角形性质，三角公式变形与正余弦定理产生联系，从而综合运用正余弦定理达到求解目的。教学难点 1、正、余弦定理与三角形性质的结合；2、三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 在题设条件不是三角形基本元素时，启

7、发学生利用正余弦定理建立方程，通过解方程组达到解三角形目的 教学环境设计 针对这一节课的内容，我选择在多媒体教室上课，做好博客课件，方便同学与同学交流，与老师交流，安排学生三人一台电脑，方面同学之间合作探讨。教学媒体（资源）选择（依据“经验之塔”P42，确认有助于教学）知识点 编 号 学习 目标 媒体 类型 媒体内容要点 教学 作用 使用 方式 所 得 结 论 占用 时间 媒体 来源 1、知识梳理 博客（一）三大定理 1、正弦定理：变形：2、余弦定理：变形：勾股定理：3、面积定理：（二）常用结论 1、内角和定理 2、大边对大角，大角对大边：3、三角变换：A.提供事实，建立经验 E.演示提问讲解

8、 通过提问了解学情，并初步为解三角形扫除知识点不足的障碍。5 网络 2、例题分析 博客（1）在ABC 中，030,6,32Aba，求此三角形的边c.（2）已知三角形的一个角为60，面积为310，周长为20，求此三角形的各边长。D.提供示范，正确操作 F.演示讨论总结 1、已知两边及一边的一对角，解三角形时，需考虑解的个数。2、已知一个角，可由余弦定理建立一个关于 a,b,c的关系式，再结10 网络 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢

9、迎下载 合面积公式，周长 公 式 求 出a,b,c。3、例题分析 博客 在中ABC，22tantanbaBA，试判断ABC的形状。G.设难置疑，引起思辨 I.学习者自己操作媒体进行学习；判断三角形的形状，有两条思路：化角为边；化边为角。两条转化主要是应 用 正 弦 定 理（边化正弦，正弦化边）和余弦定理（余弦直接代入）。5 网络 4、例题分析 博客 已知cba,分别为ABC的三内角CBA,的对边，且BbAcCacos2coscos（1）求角 B 的大小；（2）求CA sinsin的最大值；（3）若ABC的外接圆半径为 4，求ABC面积的最大值；思考：若ABC的外接圆半径为 4，设 D 为 AC

10、 中点，求中线 BD 的取值范围；G.设难置疑，引起思辨 F.演示讨论总结 充分挖掘两个定理，利用三角函数的有界性来求面积的最值，体现三角函数公式的工具性作用。10 网络 5、在线测试 博客（1）已知ABC 中，sinA:sinB:sinC1:1:2，则此三角形的最大内角的度数是()A60 B90 C120 D135 （2）在ABC中，若CcBbAasincoscos，则ABC是 ()A.直角三角形.B.等边三角形.C.钝角三角形.D.等腰直角三角形.（3）在ABC 中，0135,3,2Cba,则ABC的面积是()G.设难置疑，引起思辨 I.学习者自己操作媒体进行学习 加强对正余弦定理的应用

11、5 网络 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 A3 B23C223 D233（4）在ABC中，已 知4,13,3ACBCAB，则 AC边上的高为（）A223 B.233.C.23.D.33 6 课堂小结 博客 熟记：正余弦定理及其变形；三角形面积公式；合理采用公式求边、角、面积、周长、外接圆半径；活用：灵活运用定理，实现边角转化；注重：数形结合与转化思想。J.归纳 总结，复 习巩固 F.演示讨论总结 通过提问，引导学生回忆，作

12、出小结，给学生以第二次学习的机会。3 网络 7、课外作业 博客 1、若 ABC的 三 个 内 角 满 足sin:sin:sin5:11:13ABC 则 ABC A一定是锐角三角形.B一定是直角三角形.C 一定是钝角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2、在ABC中，3,1,23baS，则角B=_;3、在ABC中，AB=4,AC=3,角平分线 AD 交 BC 于 D，AD=2，则面积S=_;4、已知圆内接四边形 ABCD的四条边长分别为 5,8,3,3DACDBCAB，求四边形 ABCD的面积。5、已知cba,分别为ABC的三内角CBA,的对边，且BbAcCacos2coscos（1

13、）求角 B 的大小；K.自定义。I.学习者自己操作媒体进行学习 与课堂教学内容呼应，帮助学生有效的掌握知识 2 网络 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载（2）求CA sinsin的取值范围；（3）若ABC的外接圆半径为 4，求ABC周长的取值范围。板书设计 正余弦定理的应用 1、知识梳理 3、在线测试 2、例题分析 4、课堂小结 例 1 5、课外作业 例 2 例 3 关于教学策略选择的阐述 重视提出问题、解决问题策略的指导。学

14、数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此在教学中引导学生发现问题、提出问题是非常必要的，并让指导学生掌握对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等解决问题的科学思维方法。针对这一节课的内容，以及学生特点，我制定了由浅入深的教学计划：首先，将所授内容划分为三大类型求解斜三角形中的基本元素；判断三角形的形状；面积的最值问题。其次，在每一类型中，有代表性地选取两道例题或 1 小道，遵循由浅入深的原则进行顺序上的安排。最后，利用好小结，使学生的认识再进一步升华，

15、从而达到教学目的。课堂教学过程结构设计 教学 环节 教师的活动 学生的活动 教学媒体（资源）设计意图、依据 课前准备 1、指导学生登陆博客网站。2、介绍博客网站的操作方法。3、讲明上课过程中的注1、作好课前准备。2、登陆专题网站。3、熟悉专题网站的操作方法。博客 1、让少数不熟悉网络操作的同学学会利用网络资源来辅助学习。2、有助于本节课的顺利进行。和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 意事项。知识梳理 1、展示本节的重要知识点：

16、（1）三大定理 正弦定理：余弦定理 面积定理（2）常见结论 内角和定理 边角大小关系 三角变换 2、提问部分学生相关知识点内容并给予纠正与肯定。了解本节课的三大定理内容及常见结论。博客、黑板 解三角形的重要依据是正余弦定理，通过提问了解学情，并初步为解三角形扫除知识点不足的障碍。例 1 分析 1、请学生点击本节的例1。例 1、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两角一边（或两边一角或三边），求出其他三个元素，进而求出三角形的三线（高，角平分线，中线），周长，面积等基本问题。（1）在ABC 中，030,6,32Aba，求此三角形的边c.（2）已知三角形的一个角为60，面积为310，周长为20，求此

17、三角形的各边长。2、引导学生针对题目进行讨论，小组自讲，捕捉学生中出现的一些“意见”。3、讲解学生中出现的一些“意见”，1、分析题目类型，小组自讲解题思路。2、把探讨过程中出现的问题以及亮点通过博客及时反馈给老师与其他同学；同时也尽量回复其他同学提出的困惑。3、听老师解惑释疑，及时做好笔记，小结各题解题的关键点。博客、黑板 1、把主动权交给学生，让学生自发地成为一个“教师”，这就要求学生不仅要会做还要会讲，学生如果会讲了，思维就流畅了，过程就规范了，能力也就自然而然地提高了 2、调动学生的主动性和创造性，使学生完成角色的改变，从“要我学”变成“我要学”。从而真正让学生实现知识的自我反馈。例 2

18、 分析 1、请学生点击本节的例2。例 2、判断三角形的形状 1、小组讨论，派代表到黑板板书，并及时关注上面的同学解题过程是博客、黑板 1、创造一个让学生协作学习的空间，互相配合、互相帮助、各种观点互和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 在中ABC，22tantanbaBA，试 判 断ABC的形状 2、全班分为两组，一组角化边，一组边化角，并派一名代表到黑板板书，比赛谁更快。3、捕捉学生中出现的一些“意见”，并对此进行讲解，并与学

19、生一起对此类型进行归纳小结。否出现纰漏，及时派人上去修正。2、通过博客及时反馈探讨问题中出现的困惑。3、听老师解惑释疑，及时做好笔记，小结解题的关键点。相补充，完成学习任务，从而培养学生团队精神以及各方面的能力。2、以常用的三角公式为基础，强化训练边角互化，使学生掌握判断三角形形状的两种方法，同时通过学生板书并不断规范解题过程既调动了学生学习的积极性，又树立了学生们竞争向上的进步意识，充分激发学生的学习潜力。例 3 分析 1、请学生点击本节的例3。例 3、最值问题 已 知cba,分 别 为ABC的三内角CBA,的对边，且 BbAcCacos2coscos（1）求角 B 的大小；（2）求CA s

20、insin的最大值；（3）若ABC的外接圆半径为 4，求ABC面积的最大值；2、引导学生通过例题探索解题思路，并和里面的分析探求进行对照，注意三角形中的三角变换公式及角度范围。关注一题多解：角化边或边化角；3、引导学生充分挖掘正弦定理与面积定理，利用三角函数的有界性来求面积的最值。1、通过例题探索解题思路，并和里面的分析探求进行对照。2、通过博客及时反馈解题思路中出现的困惑；同时也尽量回复其他同学提出的困惑。3、听老师解惑释疑，及时做好笔记，小结解题的关键点。博客、黑板 1、给学生一个“自学”舞台，让学生去体会每道题中的每一小题的交互性和连贯性，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合

21、作”中增知，在“实践”中成长。2、教师在活动中起着“辅导者”的作用。而学生通过自学清楚了求三角形面积最值的来龙去脉，运用转化与化归作为指导思想是本章学习的重点使学生产生学习的成就感。在线测试 1、指导学生进行在线测试（1）已知ABC 中，1、在线测试并提交练习卷。2、听老师解惑释疑，及时做好笔记，小结解题的关键点。博客、黑板 1、让学生实现知识的自我反馈。2、再一次让学生体验自己探索结果的喜悦。构和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎

22、下载 sinA:sinB:sinC 1:1:2，则此三角形的最大内角的度数是()A 60 B 90 C120 D135 （2）在ABC中，若CcBbAasincoscos，则ABC是 ()A直角三角形.B.等边三角形.C.钝角三角形.D.等腰直角三角形.（3）在 ABC中，0135,3,2Cba,则ABC的 面 积是()A 3 B 23 C223 D233（4）在ABC中，已知 4,13,3ACBCAB，则 AC 边上的高为（）A 223 B.233 C.23.D.33 2、对学生提交的学习反馈进行讲解校对。建学生认知体系，体现知识的系统性，使知识得到再现和升华。课堂小结 点评学生总结本课的教

23、学内容，并对学生在自学中出现的普遍问题进行强调纠正。学生总结本课的教学内容，并归纳在自己在自学过程中出现的问题。博客、黑板 通过提问，引导学生回忆，作出小结，给学生以第二次学习的机会。和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 课后作业 1、若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC 则ABC A一定是锐角三角形.B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2、在ABC中，3,

24、1,23baS，则角B=_;3、在ABC中，AB=4,AC=3,角 平 分 线AD 交 BC 于 D，AD=2，则面积 S=_;4、已知圆内接四边形ABCD的四条边长分别为5,8,3,3DACDBCAB，求四边形ABCD的面积。5、已知cba,分别为ABC的三内角CBA,的 对 边，且BbAcCacos2coscos（2）求角 B 的大小；（2）求CA sinsin的取值范围；（3）若ABC的外接圆半径为 4，求ABC周长的取值范围。独立完成 博客 与课堂教学内容呼应，帮助学生有效的掌握知识.教学流程图 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理

25、余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 例 1 自讲，发表探索结果 归纳总结，形成结论 说明学习任务，提出学习要求 网络 进入“正余弦定理的应用”博客”指导学生例题分析 开始 归纳总结，形成结论 归纳总结，形成结论 教学内容和 教师的活动 媒体的 应 用 学生的 活 动 教师进行逻辑判断指导学生知识梳理 例 2 板书，协作讨论 点评，解惑释疑 例 3 自学，学习反馈 引导与启发思维 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦

26、同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 个性化教学 本节课首先通过展示知识点让学生对本节课应用的知识加深印象；通过小组讨论来改变学习方式，促进学生发展。在授课过程中关注了学生，让学生的观点不断闪现，并及时对学生进行了赞赏！让学生在合作中体验到学的成功，享受到学的乐趣 形成性检测 这节课的教学内容是两个定理学习的第五课时，涉及的知识点非常重要，根据学生的课堂情况，设计有基础题型，也有综合题目.这样,既调动了学生的学习积极性,也提高了学生的认知水平,突显了学生的主体地位.让学生的知识结构体系更完整，并为以后的实际应用打下了扎实基础.评价量表（教学功能、诊断功能、调控功能

27、、激励功能）1、这节课给你的总体感觉如何？（）A.效果很好（39 人）B.还可以（10 人）C.不好（0）D.不知道（1 人）2、你觉得老师对整个课堂的把握能力如何？（）A.很自如（35 人）B.一般（12 人）C.不好（0）D.不知道（3 人）3、请你给这节课的课件做个评价 （）A.很形象，很好，对学习内容很有帮助。（8 人）B.还可以，有利于接受教学内容。（40 人）C.无所谓，可有可无。（1 人）D.不好，根本对学习没有帮助。（0 人）E.不知道该怎么说，不好评价。（1 人）4、类似本堂课的学习方法，有助于你养成积极探索的学习习惯吗？A.很有帮助（40）B.有些帮助（7）C.基本上没有帮

28、助（1）D.不知道（2）5、你对本课的学习内容理解和掌握程度有 （）归纳总结，形成结论 结束 在线测试，学习反馈 引导与启发思维 归纳总结，形成结论 在线测试，学习反馈 引导与启发思维 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对学习必备 欢迎下载 A、80100%（30 人）B、6080%（16 人）C、60%（1 人）D、不知道该怎么说（3 人）6、经自主学习后，你能否很好地运用所学知识点去完成相关的思考问题：A、能（23 人）B、基本上能（25 人

29、）C、不能（2 人）7、排除形式上的新鲜感，对数学课，你认为这节网络课与平时的课堂教学相比，你更喜欢哪一种？A.平时的（15）B.网络的（34）C.都不喜欢（1）形成性评价 根据课标的评价理念，教学中我关注了学生在学习过程中是否积极提出问题、思考问题，是否能在教师的引导下发现，是否能应用所学知识来解决问题。并注意在教学过程中给予学生适当的评价和鼓励以激发他们的学习兴趣。教学反思、总结 一得：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的大舞台！当设计的问题被逐一解决时，学生精神上得到了彻底的满足，数学的应用价值和美学价值在这一刻获得了清晰

30、地体现。总的来说，本节课知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的教学提供了一些有用的借鉴。一失：把学生发现的权利还给学生，可有些学生却以一种观赏者的身份参与其中，主动性不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信经过师生的共同努力，这种状况会得到逐步改善。另外本节课时间安排还是不够完美，前松后紧。一改进：要更加注重内容结构的分析，关注学生思维形成过程的培养，多去调动学生学习的自主性，尽量使他们的思维处于活跃状态，通过对教法的研究把知识与技能纳入学生的知识系统之中。感谢、其他 和余弦定理的发现探索证明和应用分课时完成本节课是第课时内容主要变换的延续和应用也是正弦定理余弦定理三角形面积公式等的运用和拓一种新奇与愉悦同时也给众多题目找到了同一根源依据课程标准通过对