2023年江苏专转本高等数学 常微分方程 例题加习题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第五章常微分方程（简记 ODE）本章主要知识点 可分离变量的 ODE 一阶线性非齐次常微分方程及推广 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程 一些特殊类方程 一、可分离变量的 ODE 1基本型的解法 基本型：()()dyG x H ydx 基本解法：()()dyG x dxH y()()dyG x dxH y 例 5.11)0(,yedxdyyx 解：dxedyexy dxedyexy 通解为：ceexy将1,0 yx得：1 ec得1eeexy 例 5.2(1)lny yyxdx 解：(1)lny dyxdxy 1(1)lndyxdxy，学习必备 欢迎下载 得：ln|lnyy

2、xxxC 例 5.3dxyxdyyx)1()1(122 解：dxxxydyy2211)1(，22(1)11y dyxdxyx 得：221arctanln 112yyxC 例 5.4已知()f x满足0()(1)()1xf t dtxf x，求()f x。解：由0()(1)()1xf t dtxf x 知(0)1f。方程两边对x求导得()()(1)()0f xf xxfx，分离变量求得2()(1)cf xx，将(0)1f 代入得1c ，21()(1)f xx。2可转化的可分离变量的齐次方程()xyfy 方法：令()ypyp x xypxpx xdxppfdppfdxdpxp)()(。例 5.5y

3、xyxdxdy 解：xyxydxdy11 令ppdxdpxpxppypxyxyp11,ppppppdxdpx121112 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 xdxppdpp221)1(xdxpdpp2)1(2)1(Cxppln21ln212，将xyp 代入即可。例 5.6dxyxdyx)(222 解：2)(1xydxdy，令,ypypx ypxpx 21dppxpdx ppdxdpx21 xdxppdp21221()213(

4、)()22d pdxxp 1222arctanln33pxC 即，221arctanln33pxC，将xyp 代入即可。二、一阶线性齐次方程（ODE）1基本型()()yp x yq x 公式 公式：()()()p x dxp x dxyq x eC e 注：应用此公式要注意：不定积分不带 C；基本型又称标准型。例 5.732xyyx 解：22yyxx，其中22(),()p xq xxx。得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 2(

5、)2lnp x dxdxxx ()21p x dxex，()2p x dxex 2()2()p x dxxq x edxdxxx 由公式得，()()232()()p x dxp x dxyq x eC exC xxCx。例 5.81)(,sinyxyxy 解：xxqxpxxyxysin,1,sin1 lnp x dxx，xxdxxxexqdxxpcossin)()(lncos(cos)xCxyxC ex 将1,yx代入得11C，1C，xxycos1。2Bernoulli 方程()()nyp x yq x y 方法：令1 nyz，方程可简化为(1)()(1)()dzn P x zn Q xdx

6、例 5.92xyydxdyx 解：令zy1，zy1则，得dxdzzdxdy21 22111zxzdxdzzx xzdxdzx 1,1,11qxpzxdxdz 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 xdxxdxxpln1)(，xdxxdxexqdxxpln11)()(xcxecxzx)(ln)(lnln 故，)(ln1cxxy 例 5.1042323yyx yx 解：令411333413,dydzyyzyzdxzdx，代入即得：2

7、42343213123xzxdxdzzxzxdxdzz 即xdxxpxqxpln32)(,322 cxdxxdxxxdxexqdxxp3734322)(73)(723327/3331()37()7zxC xyxxC 三、二阶常系数线性 ODE 1齐次方程0ypyqy，其中,p q为常数。求解步骤：1）特征方程02qp，求根21,。2）21,互异实根，xxececy2121，21，xxxececy2121；)0(2,1i，12(cossin)xyecxcx。其中21,cc为任意实数。例 5.11043yyy 解：,0432得=4，-1，得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导

8、得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 xxececy241（其中21,cc为任意实数）例 5.12440yyy 解：212440,2 ，2212xxyc ec xe 例 5.1340yy 解：)1(2,042ii，12cos 2sin 2ycxcx。例 5.140yyy 解：210 ，132i，121233(cossin)22xyeCxCx。2非齐次方程 cossinxmnypyqyePxxPxx 其中 mPx，nPx表示,m n次多项式。解结构：y 齐次方程通解y特解y。特解y形式设定

9、如下：（1）识别,m n；（2）计算i ，k和特征根12,相等个数，max,lm n。（3）特解可设为 cossinkxllyxx eQxxQxx，其中 ,llQxQx为l次多项式。注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。例 5.1522xyyye 解：（）20yyy ，2210,2110 ，121,12，得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 齐次通解1212xxyC eC e（）22cos 00 sin 0 xxeexx

10、 ，1,0,0mn，1i 0,max,0klm n，又设 0cos 0sin 0 xxyxeAxBxAe ，代入原方程得 221xxxxAeAeAeeA，xye。1212xxxyC eC ee 例 5.162xyyyxe 解：（）21220,210,1yyy ，12xxyC eC xe（）cos 00 sin 0 xxxeexxx ，1,0,1,0mn，1i ，2,max,1klm n 可设 2cos 0sin 0 xyx eAxBxCxDx 232xxx eAxBAxBxe 计算得：3232xyAxAB xBx e 326642xyAxAB xAB xB e 代入原方程得 162,06AxB

11、xAB，316xyx e，1216xxxyC eC xexe。得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 例 5.174sin2xyyxe 解：（）240,40,2yyi ，12cos 2sin2yCxCx（）4sin 2yyx 的特解1y 0sin 20 cos21 sin2xxexx，0,2,0mn，2ii ，max,0lm n，1k。又设 01cos 2sin 2cos 2sin 2xyxeAxBxx AxBx 12 sin22

12、 cos2cos2sin2yAxBx xAxBx 14 sin24 cos24 cos24 sin2yAxBxxAxBx 代入原方程得 1144 sin24cos 2sin 2yyAxBxx 解得1,04AB 1,cos 24xyx ；（3）4xyye 的特解2y 可设2xyDe，代入得5xxDee，D15，215xye。综合得_12121cos 2sin 2cos 245xxyyyyCxCxxe。例 5.18 设0()s i n()(),xf xxx t f td t其中()f x为连续函数，求()f x的具体表达式。解：原式两边求导得：00()cos()()()cos(),xxfxxf t

13、 dtxf xxf xxf t dt 再求导得：()sin()fxxf x ，即()()sinfxf xx 且(0)0,(0)1ff （1）()()0fxf x cossinfAxBx 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载（2）设特解为(cossin),fx CxDx 代入原方程得1,02CD 1cos2fxx。1()cossincos2f xffAxBxxx。由条件(0)0,(0)1ff 得10,2AB，1()(sincos)

14、.2f xxxx 四、特殊类方程（1）()yf x,()yf x 等 方法：直接积分 例 5.192xyxe 解：2xyxe 积分，22211()22xxxyxedxec 再积分，3212164xxyec xc（2）(,)yf y y不显含x 方法：令()yp y，则 dpdp dydpypdxdy dxdy ，则得到(,)dppf y pdy，降为一阶方程 例 5.202()0yyy 解：令yp，dpypdy 20dpy ppdy，()0dpp ypdy 如果0p，则0dpypdy，dpdypy 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型

15、又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 1lnlnlnpyC1pC y或1yC y 分离积分法12C xyC e 如果0p，那么yC（其包含在上述解之中）方程通解12c xyc e（其中1c,2c为任意实数）。单元练习题 5 1下列微分方程哪一个是线性的（）(A)2()sinyyx (B)22yyx (C)2sincosyyxx (D)24yy 2方程424()1yyyx，它是阶微分方程。3方程0yy 的通解是。4方程323xyyyxe的特解可设为。5求解下列常微分方程：10)1(dyxxydx 2(1)()0 xyy yx

16、y 3yxyxy 422xyxyxe 552,(0)4xyyex y 621()0yyy 722()(1)0,(1)2,(1)1yyyyy 84sinyyx 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 9369xyyye 6求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于yx 2，并且曲线通过原点。7设曲线上任一点),(yxM处切线与OM直线垂直，求这个曲线的方程 8 一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下 8m，另一边

17、垂下 10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9设0()()()xf xxxt f t dt，()f x为连续函数。求()f x。10设()f x处处可导，且(0)1,f 并对任意实数 x 和 y 有()()(),xyf xye f ye f x 求()f x.11有连结 A(0,1)，B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于 AB 弦的上方。P(x,y)为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与 AP 之间的面积为3x。求该曲线方程。历年真考题 1（2001）微分方程6130yyy 的通解为：。2（2001）求微分方程tansecyyxx，满足初始条件00 xy的特解。3（2002）微分方程20yyy

18、 的通解是（）A.12cossinyCxCx B.212xxyC eC e C.12()xyCC x e D.12xxyC eC e 4（2002）设()y x满足微分方程1xe yy，且(0)1y，则y。5（2002）求sin(cos)xyx ye，满足(0)1y的解。6（2003）0yy 满足000,1xxyy的解是（）A.12cossinycxcx B.sinyx C.cosyx D.cosycx 7（2003）解微分方程的通解2xxyyx e 。8（2004）微分方程232xyyyxe的特解y的形式应为 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定

19、积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 A.2xAxe B.2()xAxB e C.22xAx e D.2()xx AxB e 9（2004）设函数()f x可导，且满足方程20()1()xtf t dtxf x，求()f x。10（2005）求微分方程0 xxyye 满足初始条件1|xye的特解。本章测试题 1微分方程0)(423yyxyx的阶数。2023yyy的通解是。3xeyyyxcos442 的特解*y 形如。4微分方程tandyyydxxx 的通解是（）sinyCxx 1sinyxCx sinxCxy

20、 1sinxyCx 5323xyyye 6xyysin 7（1）22lnyyyyy（2）212yyy 8设()f x为连续函数且满足30()()333xtf xfdtx。求()f x。9已知12,xxyeye是0,.ypyqyp qConst的解。（1）求 p,q （2）写出该方程的通解；并求满足条件(0)1,(0)2yy的特解。单元练习题 5 答案 1 C 2二阶 3xCxCysincos21 4)(3*BAxxeYx 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下

21、载其中为任意学习必备 欢迎下载 5.(1)解：dxxydydxxxydy)111(,1 Cxxy|1|ln|ln。(2)1111ydyxyxdxdydxyxyx 11(1)(1)11dydxyx Cxxyy|1|ln|1|ln。(3)令dxdPxPdxdyPxyxyP,1dPPxPdxP，即Cxxy|ln2122。(4)222,xpx qxepdxx 2)(2122xdxexedxqexxdxxP 221()2xyxC e。(5)xeqPx,2 xPdx2 xxxxdxxPxdeedxexedxexq22)(21)()(221122xxxexeedx 221124xxxexee 2222111

22、1()2424xxxxxxyexeeC eexCe ，将50,4xy代入，151244CC 211224xxyexe （6）令dydppypy,012pdydpyp 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 211dpdyppyydyppdp21 20.5ln(1)ln|pyC 221121CpC yy，21121CyCyyy 21Cydydxy，21ydydxCy21ydydxCy 212CyxC。即 2221()yxCC，12,

23、C C为任意常数（7）令 0)1(2,2dydppyppy 0)1(2(dydpypp 若0p，即yC （不合定解条件）若0p，121dpdypy11lnln(1)2pyC 21(1)pCy21(1)dyCydx，将1x，(1)2y，(1)1y 代入，11C 12(1)dyCy1211C xCy 1211C xCy 2)1(,1 yx代入，得20C，即 11x y （8）解：（1）i,012 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载

24、 齐次方程通解 xcxcysincos21，04sin(0 cos4sin)xxexx，0,1,0nm,1,max(,)0ii Klm n 又设 *0(cossin)(cossin)xyxeAxBxx AxBx(cossin)(sincos)yAxBxxAxBx (2 sin2cos)(cossin)yAxBxAxBx x 代入原方程得 2 sin2cos4sinyyAxBxx 0,2BA 得到：xxycos2*。xxxcxcycos2sincos21（9）解：（1）212690,690,3yyy 齐次方程通解xxxeccey323。（2）33(cos 0sin 0)xxeexx 0,0,3n

25、m，3,0,2ilk 可设23xyAx e 23(32)xyAxAx e 32323(62)(96)(9122)xxxyAxA eAxAx eAxAxA e 222369(91226(32)9)xyyyAxAxAAxAxAx e 332xxAee，得到12A，33231212xxxyC eC xex e 6解：yxy 2且0)0(y，即xqpxyy2,1,2，xpdx 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 2222pdxxxxx

26、qedxxe dxxdexee ，2222xxxxyxeec exce，由0)0(y 得 02,2cc 所以 222xyex 7设原曲线的方程为),()(yxMMxfy 则 1xydxdy 即 x d xy d y 221122yxc 22xyc 8设左边绳 x 处在 t 时刻滑过钉子，此时，18(22)xx g 且满足定解条件(0)0,(0)0 xx，解得：1212133tgtgeex 令8x 得到 3318ggttee 解得：)809ln(93t。91()()2xxf xee 10令0,0 xy得 f(0)=0 00()()()()(1)()(0)()limlimxxxxxxe fxef

27、xf xf x eefxffxxx 0()()|(0)(),xxxxf x ee ff xe 即()()xfxf xe，解得()xf xxe。11设曲线方程为()yf x，则梯形 OAPQ 的面积(1()2xSf x，依题意得：得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载 30()(1()2xxf x dxf xx，两边对 x 求导得 116,|0 xyyxyxx ，解得2156yxx。本章测试答案 1.一阶 2.212xxC eC e

28、 3.xBxAeyxsincos*2 4.A 5.032yyy 0322，3，1，312xxyc ec e 设3xyAxe，333(3)(13)xxxyA exeAx e 333(13)3xxyAeAxe xexA3)96(333323(69)2(13)34xxxxyyyAx eAxAxeAee 41A，3314xxexe 原方程解为xxxxeececy323141 6（1）0 yy 12cossinycxcx（2）设(cossin)yx AxBx，cossin(sincos)yAxBxxAxbx 2 sin2cos(cossin)yAxBxxAxBx 代入得xxBxAsincos2sin2，

29、21A，0B 1cos2yxx ，xxxcxcYcos21sincos21 7(1)yyyyyln22yyyln)(yyln)(ln 令yuln则uu，xxececu21，xxececey21 得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意学习必备 欢迎下载（2）令uy，udydudxduyyudyduu212dyyduuu2112。积分得cyuln21)1ln(212，211uc y，11yc y ，积分11dydxc y，12121c yxcc 2122141()c yxcc 或221124(1)()c ycxc，其中21,cc为任何实数。8求导得：()3()3,(0)3fxf xf，解得3()21xf xe。9特征根121,1，则特征方程为(1)(1)0，方程为 0,yy 故有0,1pq。通解12xxyc ec e；特解1322xxyee。得解学习必备欢迎下载得例解得例已知满足求解由知方程两边对求导得应用此公式要注意不定积分不带基本型又称标准型例解其中学习必备欢方程求根互异实根其中为任意实数例解得学习必备欢迎下载其中为任意