2023年测量学精品讲义第五章测量误差的基本知识.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第五章测量误差的基本知识 本 章 要 点 1、测量误差概念（重点）2、评定精度的标准（重点）3、误差传播定律（重点）4、等精度直接观测平差（难点）在测量工作中,当对某一未知量进行多次观测,不论测量仪器多么精密,观测进行的多么仔细,所得的观测值之间总是不尽相同。这种差异就是测量中存在误差的缘故。5-1 测量误差概述 一、测量误差及其来源 误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差 fh。测量误差：观测值与相应真值之差。观测值:测量所获得的数值。真误差()关系式：真误差 =观测值 L 真值 X，即 =L X 或=X L 观测误差来源：来源于以下三个方面：1）观测者的视觉器

2、官的鉴别能力和技术水平；2）仪器；3）工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。l、观测条件 观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为观测条件。2、观测条件与观测成果精度的关系：1）若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；2）若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；3）若观测条件相同，则可认为观测精度相同。3、等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测。不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测。4、研究误差理论的目的：由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要对误差来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量

3、工作中遇到的一些实际问题。5、研究误差理论所解决的问题：（1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。5.1.2、测量误差的分类 测量误差按其性质可分为：系统误差；偶然误差。一、系统误差 1、系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一 系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，学习必备 欢迎下载 这种误差称为系统误差。2、系统误差产生的原因：仪器工具上的某些缺陷；观测者 的某些习惯的影响；外界环境的影响。3、系统误差的特点：具有累积性，对测量结果影

4、响较大，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。例：水准测量中 LL/CC 产生的 i 角误差对尺读数的影响：即 =a a=S tgi 随着 S 的增长而加大-系统误差 系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，必须消除。4、系统误差消减方法 1）在观测方法和观测程序上采取一定的措施;例：前后视距相等水准测量中 i 角误差对 h 的影响、地球气差对 h的影响及调焦所产生的影响。盘左盘右取均值经纬仪的 CC 不垂直于 HH；HH 不垂直于 VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。水准测量往返观测取均值仪器和尺垫下沉对 h 的影响。2）找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。例：光电

5、测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。3）仔细检校仪器。例：经纬仪的 LL 不垂直于 VV 对测角的影响。二、偶然误差 1、偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为。2、产生偶然误差的原因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。3、偶然误差的规律：偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测

6、值内部却隐藏着统计规律。偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。三、偶然误差分布的表示方法 1、表格法 2、直方图法 3、误差概率分布曲线-正态分布曲线 1、表格法 例如：在相同观测条件下观测了 217 个三角形（见图 5-J1）的内角，每一个三角形内角和的 真误差为三内角观测值的和减去 180，即：=+-180。将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间 d（如表 5-1中的3）；图5-J1得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系

7、若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 统计出每一个小区间出现的误差个数 k 及频率，频率=个数 k/总数 n（n=217），得出统计表。表 5-1 三角形内角和真误差统计表 误差区间d正 误 差负 误 差合 计个数k频 率k/n个 数k频 率k/n个 数k频 率k/n0 33 66 99 1212 1515 1818 2121 2424 2727 以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.009

8、00594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合 计1080.4981090.5022171.000 从表 5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：1）小误差出现的个数比大误差多；2）绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；3）最大误差不超过 27。2、直方图法 横坐标以偶然误差为横坐标，纵坐标以频率 d(频率/组距)为纵坐标，在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积=误差出现在该区间的频率(K n)，所有区间的矩形构成了直方图，如图 5-1所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布

9、。3、误差概率分布曲线-正态分布曲线。有斜线的矩形面积：为误差出现在+6+9 之间的频率(0.069)得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 3、误差概率分布曲线 当直方图中：n ，d各区间的频率也就趋于一个完全确定的数值概率。若 d 0 时，则直方图成为误差概率曲线正态分布曲线。它服从于正态分布。正态分布曲线的方程式为：式中：为偶然误差；（0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以 反映观测精度的高低。四、偶然误差

10、的四个特性 1、有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2、集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；3、对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；4、抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即:在数理统计中，(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示：E()=0.五、不同精度的误差分布曲线：如图5-3：曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。曲线较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。曲线较为平缓，即离散度较大，因而观测精 度较低。如图5-3中，曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线

11、。当=0 时，)25(21)(222ef ）（niinnn21)55(0lim21)(11f21)(22f得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 上式是两误差分布曲线的峰值。其中曲线的峰值较曲线的高，即12，故第组观测的小误差出现的概率较第组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于 1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。曲线 I 表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。曲线 I

12、I 相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。六、错误 1、测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。2、错误产生的原因较多，可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；还有可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。3、发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。七、误差理论研究的主要对象偶然误差 在测量的成果中：错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正

13、，偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。5-2 评定精度的指标 一、精度是指一组观测值的密集与离散程度，也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。例:对 A 边三次丈量值为 56.882,56.885,56.884 后对 A 边丈量了三次 为 56.882,56.883,56.883，可以看出：前者离散度大,精度低;后者离散度小，精度高。但为了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。二、评定精度的指标:中误差、相对误差、极限误差和容许误差 1、中误差 式（5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标，是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能

14、无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数 n 计算出标准差的估值定义为中误差 m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为：)65(nm得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差 出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度：只要观测条件相同，则中误差不变。中误差代表的是一组观测值的误差分布。【例 5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得

15、三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。试分析两组的观测精度。【解】用中误差公式（5-6）计算得：从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小（2.0），所以观测精度高于乙组（4.3）。而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。2、相对误差 绝对误差：有符号，并且有与观测值相同的单位的误差，被称为绝对误差。（如真误差和中误差）用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。（如角度、方向等）相对误差：在某些测量

16、工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。相对误差“K”等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示，即：相对中误差：当误差的绝对值为中误差 m 的绝对值时，K 称为。相对较差：在距离测量中还常用往返测量结果的 相对较差来进行检核。相对较差定义为：相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。三、极限误差和容许误差 1极限误差 l 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个3.465341560.26301213222222222222）（乙甲nmnmT1观测值误差的绝对值相对误差DDDDDDD平均平

17、均平均返往1得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，（中误差）绝对值大于 的偶然误差，其出现的概率为 31.7%；绝对值大于 2 的偶然误差，其出现的概率为 4.5%；绝对值大于 3 的偶然误差，出现的概率仅为 0.3%。l 在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。大于 3m 的误差出现的机会只有 3，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。所以，可取 3 作为偶然误差的极限值，称极限误差

18、。2容许误差 在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即：当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即 如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。5-3 误差传播定律 在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。一、误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。求任意函数中误差的方法和步骤如下：列出独立观测量的函数式：求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得 求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：二、常用函数的中误差

19、公式 倍数函数 和差函数 若 线性函数 三、应用举例 例 5-2在比例尺为 1：500 的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差 md=0.2 mm，求该两点的实际距离 D 及其中误差 mD。解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500 是地形图比例尺分母。两点的实际距离结果可写为：11.7 m0.1 m。例 5-3 水准测量中，已知后视读数 a=1.734 m，前视读数 b=0.476 m，中误差3极m3容m2容)(21nxxxfZ，nndxxfdxxfdxxfdZ221122222221212nnzmxfmxfmxfmkxz xzkmm nxxxz2122221nz

20、mmmmnmmm21nmmznnxkxkxkz22112222222121nnzmkmkmkmmmmMmmmmmMdDdD1.0100)2.0(5007.11117004.23500得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 分别为 ma=0.002 m，mb=0.003 m，试求两点的高差及其中误差。解：函数关系式为 h=a-b，属和差函数，得 两点的高差结果可写为 1.258 m0.004 m。例 5-4在斜坡上丈量距离，其斜距为

21、 L=247.50 m，中误差 mL=0.05 m，并测得倾斜角=1034，其中误差 m=3，求水平距离 D 及其中误差 mD 解:1）首先列出函数式 2）水平距离 这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，3）先求出各偏导值如下 4）写成中误差形式：5）得结果：D=243.30 m0.06 m。例 5-5在水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为 mi=2 mm，假定视距平均长度为 50 m，若以 3 倍中误差为容许误差，试求在测段长度为 L km的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。解:1)每站观测高差为：bah 2)每站观测高差的中误差：mm 222ihmm 因视距平均

22、长度为 50 m，则每公里可观测 10 个测站，L 公里共观测 10L 个测站，L 公里高差之和为：Lhhhh1021 L(km)高差和的中误差为：mm 54221010LLmLmh 往返高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：以 3 倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：在第二章中，取 作为闭合差的容许值是考虑了除读数误mmmmmmbahbah004.00036.0003.0002.0258.1476.0734.12222864 3.453410sin50.2473410sin830 9.03410cosLDLDmmDmLDmLD063.03438 3)3864.45(05

23、.09830.0 22222222返往hhfhmm 1042Lmmhfmm 3810123LLmfhfh容mm40 Lfh容得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的 i 角误差等）。三、注意事项 1要正确列出函数式 例：用长 30 m 的钢尺丈量了 10 个尺段，若每尺段的中误差为 ml=5 mm，求全长 D 及其中误差 mD。1）函数式 按倍数函数式求全长中误差，将得出 2）实际上

24、全长应是 10 个尺段之和，故函数式应为 用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为 按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。2在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。如有函数式：而：若已知 x 的中误差为 mx，求 Z 的中误差 mz。1）直接用公式计算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得（上面所得的结果是错误）因为 y1 和 y2 都是 x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。四、最或然值：平差的结果是得到未知量最可靠

25、的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”，或“最可靠值”，有时也称“最或是值”，一般用 x 表示。一、等精度直接观测值的最或然值 算术平均值(最或然值 x)二、评定精度（一）观测值的中误差 1由真误差来计算 当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。2由改正数（最或然值误差 v）来计算 在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在m 300301010 lDmm5010lDmm1021lllD 1610lDmm(a)1221yyz)(22321bxyxy；)(42122cmmmyyzxyxymmmm2321，xx

26、xzmmmm5)2(4)3(22nLxnLXn;lim算术平均值：真值：nm得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精学习必备 欢迎下载 多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。该式称为白塞尔公式。等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式。（二）最或然值的中误差 一组等精度观测值为 L1、L2、Ln，其中误差均相同，设为 m，最或然值 x（算术平均值 ）的中误差 M 为 例 5-6对某角等精度观测 6 次，其观测值见表 5-3。试求观

27、测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。解：观测值的最或然值:x=753215.5 观测值的中误差:最或然值的中误差:观测值 改正数 v（）vv（）L1=753213 2.5 6.25 L2=753218-2.5 6.25 L3=753215 0.5 0.25 L4=753217-1.5 2.25 L5=753216-0.5 0.25 L6=753214 1.5 2.25 x=L/n=753215.5 v=0 vv=17.5 一般袖珍计算器都具有统计计算功能（STAT），能很方便地进行上述计算（参考各计算器说明书）算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍,这说明算术平均值的精度比观测

28、值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。当观测的中误差 m 一定时，算术平均值的中误差 M 与观测次数 n 的平方根成反比，观测次数与算术平均值中误差的关系 观测次数 n 与 M 之间的变化关系：n 增加时，M 减小；当 n 达到一定数值后，再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度。偶然误差的削弱的方法 如：使用精度较高的仪器、提高观测技能、在较好的外界条件下进行观测。2）进行多次观测：观测值个数大于未知量的个数，分配闭合差（超限重测）;求观测值的最可靠值(算术平均值或改正后平差值).1nvvmnLx14)-(5 nmM 15)-(5 )1(nnvvM98.1165.171nvvm8.0698.1nmMn/1 nmM 得的观测值之间总是不尽相同这种差异就是测量中存在误差的缘故测量观测值真值即或观测误差来源来源于以下三个方面观测者的视觉器官的件观测条件与观测成果精度的关系若观测条件好则测量误差小测量的精