2023年点直线与圆的位置关系中考复习精品讲义.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 点、直线与圆的位置关系（中考复习教案）一、复习目标：1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆；3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题；二、复习重点和难点：复习重点：1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。复习难点：1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。三、复习过程：（一）知识梳理：1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆

2、的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 点在圆外dr 点在圆上d=r 点在圆内dr 2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则 直线与圆相交dr；直线与圆相切d=r；直线与圆相离dr 3.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线 (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径(3)切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(4)切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来

3、，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径”学习必备 欢迎下载（二）典例精析：例 1、如图，直线 PA过半圆的圆心 O，交半圆于 A，B两点，PC切半圆与点 C，已知 PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 【分析】连接 OC，则由直线 PC是圆的切线，得 OCPC。设圆的半径为x，则在 RtOPC中，PC=3，OC=x，OP=1 x，根据地勾股定理，得 OP2=OC2PC2，即（1x）2=x 232，解得 x=4。即该半圆的半径为 4。【学过切割线定理的可由 PC2=PAPB

4、 求得 PA=9，再由 AB=PA PB求出直径，从而求得半径】例 2、如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是直角梯形，BCOA，P 分别与 OA、OC、BC相切于点 E、D、B，与 AB交于点 F已知 A（2，0），B（1，2），则 tanFDE=【分析】连接 PB、PE P 分别与 OA、BC相切于点 E、B，PBBC，PEOA。BCOA，B、P、E在一条直线上。A（2，0），B（1，2），AE=1，BE=2。AE1tan ABEBE2。EDF=ABE，tanFDE=12。例 3、（1）如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为 1 的圆，45AOB,点P在数轴上运动，若过点P且与OA

5、平行的直线与O有公共点,设xOP，则x的取值范围是(C)A1x1 B2x2 C0 x2 D x2 （2）如图，在 RtABC中，C=90，B=30，BC=4 cm，以点C为圆心，以 2 cm 的长为半径作圆，则C与AB的位置关系是（）A相离 B相切 C 相交 D相切或相交 例 4、如图所示，AC为O的直径且 PAAC，BC是O的一条弦，直线 PB交直线 AC于点 D，DBDC2DPDO3（1）求证：直线 PB是O的切线；（2）求 cosBCA的值【分析】（1）连接 OB、OP，由DBDC2DPDO3，且D=D，根据三角形相似的判定得到BDCPDO，可得到 BCOP，题二复习重点和难点复习重点熟

6、练运用切线的判定定理和切线的性质定判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线三复习过程一知识梳理点与半径为圆心到直线的距离为则直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离学习必备 欢迎下载 易证得BOPAOP，则PBO=PAO=90。（2）设 PBa，则 BD=a2，根据切线长定理得到 PA=PBa，根据勾股定理得到 AD=2 2a，又 BCOP，得到 DC=2CO，得到1DCCA2 222aa，则2OA2a，利用勾股定理求出 OP，然后根据余弦函数的定义即可求出 cosBCA=cosPOA的值。【答案】（1）证明：连接 OB、OP DBDC2DPDO3且D=D，BDCPDO。DBC=DPO。BCOP。B

7、CO=POA，CBO=BOP。OB=OC，O CB=CBO。BOP=POA。又OB=OA，OP=OP，BOPAOP（SAS）。PBO=PAO。又PAAC，PBO=90。直线 PB是O的切线。（2）由（1）知BCO=POA。设 PBa，则 BD=a2，又PA=PBa，AD=2 2a。又 BCOP，DC2CO。1DCCA2 222aa。2OA2a。6OP2a cosBCA=cosPOA=33。例 5（内蒙古包头 12 分）如图，已知ABC=90，AB=BC 直线 l 与以 BC为直径的圆 O相切于点 C点 F是圆 O上异于 B、C的动点，直线 BF与 l 相交于点 E，过点 F作 AF的垂线交直线

8、 BC与点 D（1）如果 BE=15，CE=9，求 EF的长；（2）证明：CDFBAF；CD=CE；（3）探求动点 F在什么位置时，相应的点 D位于线段 BC的延长线上，且使 BC=3CD，请说明你的理由【分析】（1）由直线l 与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得BCE=90，BFC=CFE=90，则可证得CEFBEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 EF的长。（2）由FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，根据同角的余角相等，即可得ABF=FCD，同理可得AFB=CFD，则可证得CDFBAF。题二复习重点和难点复习重点熟练运用切线的判定定理和切线的性质定判定进行证明或计算时

9、如何正确添加辅助线三复习过程一知识梳理点与半径为圆心到直线的距离为则直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离学习必备 欢迎下载 由CDFBAF 与CEFBCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得CDCEBABC，又由 AB=BC，即可证得 CD=CE。（3）由 CE=CD，可得 BC=3CD=3CE，然后在 RtBCE中，求得 tanCBE 的值，即可求得CBE的度数，则可得 F在O的下半圆上.解：（1）直线 l 与以 BC为直径的圆 O相切于点 C，BCE=90，又BC为直径，BFC=CFE=90。CFE=BCE。FEC=CEB，CEFBEC。CEEFBEEC。BE=15，CE=9，即：9EF

10、159，解得：EF=275。（2）证明：FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，ABF=FCD。同理：AFB=CFD。CDFBAF。CDFBAF，CFCDBFBA。又CEFBCF，CFCEBFBC。CDCEBABC。又AB=BC，CE=CD。（3）当 F在O的下半圆上，且BF=32BC 时，相应的点 D位于线段 BC的延长线上，且使 BC=3CD。理由如下：CE=CD，BC=3CD=3CE。在 RtBCE中，tanCBE=CE1BC3，CBE=30，CF所对圆心角为 60。F 在O的下半圆上，且BF=32BC。例 6、（2010安顺）如图，O 是ABC的外接圆，且 AB=AC，点 D在弧

11、BC上运动，过点 D作 DEBC，DE交 AB的延长线于点 E，连接 AD、BD （1）求证：ADB=E；（2）当点 D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由 题二复习重点和难点复习重点熟练运用切线的判定定理和切线的性质定判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线三复习过程一知识梳理点与半径为圆心到直线的距离为则直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离学习必备 欢迎下载（3）当 AB=5，BC=6时，求O的半径。方法点拨：（1）根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，等量代换即可得到ADB=E；（2）当点 D运动到弧 BC的中点时，DE是O的切线，利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条

12、半径的直线是圆的切线。（3）连结 BO、AO、并延长 AO交 BC于点 F。据题意可得 AFBC，然后在RtOBF中根据勾股定理即可求得O的半径为25/8。例 7、在平面直角坐标系中，直线ykxb（k为常数且k0）分别交x轴、y轴于点A、B，O半径为5个单位长度如图甲，若点A在x轴正半轴上，点 B在y轴正半轴上，且 OA=OB 求k的值；若b=4，点P为直线ykxb上的动点，过点P作O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PCPD时，求点P的坐标 若12k ，直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为 12，求 b 的值（图乙供选用）【答案】根据题意得：B的坐标为（0，b），OA=OB=b，A的坐标

13、为（b，0），代入ykxb得k1.过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.PC、PD是O的两条切线，CPD=90，OPD=OPC=12CPD=45，甲yxPDOCBA乙yxO题二复习重点和难点复习重点熟练运用切线的判定定理和切线的性质定判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线三复习过程一知识梳理点与半径为圆心到直线的距离为则直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离学习必备 欢迎下载 PD O=90，POD=OPD45，ODPD5，OP=10.P在直线 yx4 上，设P（m，m4），则OF=m，PF=m4，PFO=90，OF2PF2PO2，m2(m4)2（10）2，解得m=1 或 3，P的坐标为（1，3

14、）或（3，1）分两种情形，y12x54，或 y12x54。直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为 12，可知其所对圆心角为 120，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=52，又直线ykxb中12k 直线与x轴交角的正切值为12，即12OCAC，AC=5，进而可得 AO=52，即直线与与x轴交于点（52，0）所以直线与y轴交于点（54，0），所以b的值为54 当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为54 综合以上得：b的值为54或54 题二复习重点和难点复习重点熟练运用切线的判定定理和切线的性质定判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线三复习过程一知识梳理点与半径为圆心到直线的距离为则直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离