2023年湘教版数学七年级下册期末知识点总结归纳复习+各章节典型例题.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 第一章 二元一次方程【知识点归纳】1.含有 个未知数，并且 项的次数都是 的方程叫做二元一次方程。2.把 个含有 未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程 两边的值都 的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有 的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称代入法。5.两个二元一次方程中同一未知数的系数 或 时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元

2、一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称加减法。6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找 。【典型例题】1已知关于 x，y 的方程组的解满足 x+2y=2（1）求 m 的值；（2）若 am，化简：|a+1|2a|2已知二元一次方程组的解为 x=a，y=b，求 a+b 的值 3解方程组：；名师总结 优秀知识点 4为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用 3300 元购进甲、乙两种节能灯共计 100 只，很快售完这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲种节能灯 30 40 乙种节能灯 35 50（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？（2

3、）全部售完 100 只节能灯后，商场共计获利多少元？5随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按 x 元/公里计算，耗时费按 y 元/分钟计算（总费用不足 9 元按 9 元计价）小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：时间（分钟）里程数（公里）车费（元）小明 8 8 12 小刚 12 10 16（1）求 x，y 的值；（2）小华也用该打车方式，打车行驶了 11 公里，用了 14 分钟，那么小华的打车总费用为多少？第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变，相加。an.

4、am=(m,n是正整数)2.幂的乘方，不变，相乘。(an)m=(m,n是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。(ab)n=(n是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、分别相乘。5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a（m+n）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点（a+b）（m+n）=7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的

5、 的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=。8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b）2=,（a-b）2=。9.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=，（a+b）2-（a-b）2=，a2+b2=（a+b）2-，a2+b2=（a-b）2+，（a+b）2=（a-b）2+，（a-b）2=（a+b）2-。【典型例题】1 已知 ax=5，ax+y=25，求 ax+ay的值 2若 am=an（a0 且 a1，m，n 是正整数），则 m=n 你能利用上面的结论解决下面的 2 个问题吗？试试看，相信你一定行！如果 28x16x=222，求 x 的值；

6、如果（27x）2=38，求 x 的值 2 已知 x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（ym）6（x2y）3m ym的值 12若 x+y=3，且（x+2）（y+2）=12（1）求 xy 的值 （2）求 x2+3xy+y2的值 4请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1）6992 （2）2019220172021 在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 5先化简，再求值：（x+3y）2（x+3y）（x3y），其中 x=

7、3，y=2 第三章 因式分解【知识点归纳】1.把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.恒等变形；3.分解彻底。）2.几个多项式的 称为它们的公因式。3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（）4.找公因式的方法：找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的 的。5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。a2-b2=，a2+2ab+b2=，a2-2ab+b2=。【典型例题】1 已知二次三

8、项式 2x2+3xk 有一个因式是（2x5），求另一个因式以及 k 的值 2 已知 ab2=6，求 ab（a2b5ab3b）的值 3因式分解：（1）3ax26axy+3ay2 （2）（3x2）2（2x+7）2 （3）2m2+8mn 8n2 （4）a2（x1）+b2（1x）在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 （5）（m2+n2）24m2n2 （6）9a2（xy）+4b2（yx）第四章 相交线与平行线【知识点归纳】1.同一平面内

9、的两条直线有 、（或平行）三种位置关系。2.在同一平面内，没有 的两条直线叫做平行线。（记作 a/b）3.过直线外一点有 直线与这条直线平行。4.平行于同一条直线的两条直线 (平行线的 性)。5.有共同的 ，其中一角的两边分别是另一角的两边的 线，这样的两个角叫做对顶角。对顶角 。两条直线相交，有 2 对对顶角，n 条直线相交于一点，有 n（n-1）对对顶角。6.同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，在 ，同一侧的角，是同位角。7.内错角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，位置 角，是内错角。8.同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，在第三条直线 的角，是同旁内角。9.平移不改变图形的 和

10、 ，不改变直线的 ，一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 （或在同一直线上）。10.平行线的性质：（1）两直线平行，角相等；（2）直线平行，相等；（3）两直线平行，角互补。11.平行线的判定：（1）角相等，两直线平行；（2）角相等，两直线平行；（3）角互补，两直线平行。12.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做 。（记作 ab）13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 。14.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于 。15.在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直。16.直线外一点与直线上各点

11、连接的所有线段中，最短，从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离。17.两条平行线的所有 都相等。两条平行线的公垂线段的 叫做两条平行线间的距离。【典型例题】1如图，直线 AB，CD相交于点 O，OA平分EOC 在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点（1）若EOC=80，求BOD的度数；（2）若EOC=EOD，求BOD的度数 2如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点 A、B、C在小正方形的

12、顶点上，将ABC向下平移 4 个单位、再向右平移 3 个单位得到A1B1C1（1）在网格中画出A1B1C1；（2）计算A1B1C1的面积 3如图，AB CD，EF平分AEG，若EGD=130，求EFG的度数 4已知：如图，AB CD，点 E在 AC上，A=115，D=20，求AED的度数 5如图，已知1=2，B=100，求D的度数 6如图，BD是ABC的平分线，ED BC，FED=BDE，则 EF也是AED的平分线完成下列推理过程：证明：BD是ABC的平分线（）ABD=DBC（）ED BC（）BDE=DBC（）（）又FED=BDE（）在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值

13、叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 （）AEF=ABD（）AEF=DEF（）EF是AED的平分线（）7如图，已知直线 BC、DE交于 O点，OA、OF为射线，OA BC，OF平分COE，COF=17 求AOD 的度数 8如图，AB与 CD相交于 O，OE平分AOC，OF AB于 O，OG OE于 O，若BOD=40，求AOE和FOG的度数 第五章 轴对称图形【知识点归纳】1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线 ，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 。等

14、腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，正方形有 条对称轴，圆有 条对称轴。2.轴对称变换不改变图形的 和 （含长度、角度、面积等）。3.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 。4.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的 相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的 相等。旋转不改变图形的 和 。【典型例题】1在等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊的三角形中，是轴对称图形的有 个 2在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 个旋转对称图形 3在图中涂黑一个小正方形，使得图中黑色的正方形

15、成为轴对称图形，这样的小正方形 可以有 个 第六章 数据的分析【知识点归纳】1.加权平均数：权数之和为 。在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 2.中位数：把一组数据按 顺序排列，如果数据的个数是 数，位于 的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是 数，位于中间的两个数的 数称为这组数据的中位数。3.众数：一组数据中，出现 的数。4.方差：一组数据中，各数据与其 之差的平方的 值。即 S2=。【典型例题】1物理兴趣小组 20

16、 位同学在实验操作中的得分情况如表：得分（分）10 9 8 7 人数（人）5 8 4 3 求这 20 位同学实验操作得分的众数、中位数 这 20 位同学实验操作得分的平均分是多少？将此次操作得分按人数制成如图所示的扇形统计图扇形的圆心角度数是多少？29某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核甲、乙、丙各项得分如下表：（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排序 （2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分，80 分，70 分，并按 60%，30%，10%的比例计入总分（不计其他因素条件），请你说明谁将被录用 30甲乙两名运动员进

17、行射击选拨赛，每人射击 10 次，其中射击中靶情况如下表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 甲 7 10 8 10 9 9 10 8 10 9 乙 10 7 10 9 9 10 8 10 7 10（1）选手甲的成绩的中位数是 分；选手乙的成绩的众数是 分；（2）甲的平均成绩是 分，方差是 ；（3）已知选手乙的成绩的方差是 1.4，则成绩较稳定的是哪位选手？（直按写出结果）笔试 面试 体能 甲 85 80 75 乙 80 90 73 丙 83 79 90 在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方

18、程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 和、差、倍、分问题 公式：较大量=较小量多余量，总量=倍数倍量 1、某公园有东、西两个门，开园半小时内，东门售出成人票 65 张，儿童票 12 张，收票款 568 元；西门售出成人票 81张，儿童票 8 张，收票款 680 元。请你算一算，该公园成人票、儿童票单价分别为多少？2、某校课外小组的学生分组外出活动，若每组 7 人，则余下 3 人；若每组 8 人，则少 5 人。求课外小组的人数和应分成的组数。3、2009 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿 立方米，其中

19、居民家庭用水比生产运营用水的 3 倍还多 0.6 亿立方米。问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？产品配套问题 加工总量成比例 1、某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 2、一张方桌由一张桌面和四条腿做成，已知 1 立方米木材

20、可做 50 个桌面或 300 个桌腿，现有 5 立方米木料，恰好能做成方桌多少张?3、某车间每天能生产 500 只甲种零件或者乙种 600 只，或者丙种零件 750 只，已知甲，乙，丙三种零件各一个配成一套，现需要在 30 天内生产出最多的配套成品，问甲，乙，丙三 种零件各应生产几天？行程问题 与路程问题有关的等量关系：路程=速度时间，速度=路程时间，时间=路程速度 1、从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段 3 千米长的下坡，如果保持上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4千米，下坡每小时走 5 千米，那么从甲到乙地需 90 分，从乙地 到甲地需 102 分。甲地到乙地全程是多少？2、某

21、班同学去 18 千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至 A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时到达北山站。已知车速度是 60 千米/时，步行速度是 4 千米/时，求 A点距北山的距离。在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 3、通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走 15 千米，则可提前 24 分钟到达某地；如果每小时走 12 千米，则要迟到 15 分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米

22、？和原定的时间为多少小时？行程问题相遇问题 相遇问题:这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。1、甲、乙两人从相距 36 米的两地相向而行。如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发后经 2.5 小时相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发后经 3 小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？2、甲、乙两人在周长为 400的环形跑道上练跑，如果同时、同地相向出发，经过 80 秒相遇；已知乙的速度是甲速度的 2/3，求甲、乙两人的速度.行程问题追击问题 追击问题：其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；1、某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发 1后乙车出发，则乙车出发后 5

23、追上甲车；若甲车先开出 20后乙车出发，则乙车出发 4后追上甲车求两车速度 在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 2、甲乙两人相距 6km，两人同时出发相向而行，1 小时相遇；同时出发同向而行，甲 3 小时可追上乙。两人的平均速度各是多少？行程问题航行问题 航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度；顺水速度逆水速度2水速。1、两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流

24、用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。2、一条船顺水行驶 36 千米和逆水行驶 24 千米的时间都是 3 小时，求船在静水中的速度与水流的速度。3、A市至 B市的航线长 1200 千米，一架飞机从 A市顺风飞往 B市需要 2 小时 30 分，从 B市逆风飞往 A市需要 3 小时20 分。求飞机的平均速度与风速。在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 工程问题 公式：工作量=工作效率工作时间，各部分工作总量=1 1、一家商

25、店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？2、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个 公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.3、甲、乙两人同时加工一批零件，前 3 小时两人共加工 126 件，后 5 小时甲先花了 1 小时修理工具，因此甲每

26、小时比以前多加工 10 件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了 10 件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？增长率问题 公式：原量（1增长率）=增长后的量，原量（1-减少率）=减少后的量 1、某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 2、某储蓄所去年储户存款为

27、2300 万元，今年与去年相比，定期存款增加了 25，而活期存款减少了 25，但存款总额增加了 15，问今年的定期、活期存款各是多少？3、某中学现有学生 500 人，计划一年后在校女生增加 3，在校男生增加 4，这样，在校学生将增加 3.6，那么该学校现有男生和女生人数分别是？4、革命老区百色某芒果种植基地，去年结余 500 万元，估计今年可结余 960 万元，并且今年的收入比去年高 15%，支出比去年低 10%，求去年的收入与支出各是多少万元？浓度问题 公式：溶液浓度=溶质 1、现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 41，今要得到酒精与水的比为

28、32 的酒精溶液 50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？2、要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 银行利率问题 免税利息=本金利率时间，税后利息=本金利率时间本金利率时间税率 1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银

29、行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整 存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？利润问题 公式：利润=售价进价，利润率=（售价进价）进价100%1、五一期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付 368 元，这两面种商品原价之和为 500 元，问两种商品原价各是多少元？2、有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商

30、品的进价分别是多少元？3、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此商 品的定价是多少？进价是多少？在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 4、某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 45 元，按定价的 8.5 折销售时，该商品销售 8 件与按定价降 35 元销售该商品 12 件所获利润相等，该商品进价、定价分别是多少？盈亏问题 1、某旅行社安排人员住宿，若每间住 5 人，则有人住不下，

31、若每间住 6 人，则有一间住 4 人，且空余 2 间房，求住宿人数和宿舍间数。2、某商场搞优惠促销活动，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付 368 元，甲、乙两种商品原价之和为 500 元，问甲、乙两种商品原价各是多少钱？3、一商贩同时卖出两件衣服，售价都为 120 元，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，他在 这次买卖中世盈利还是亏损？在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 数字问题

32、百位上的数字是 a，十位上的数字是 b，个位上的数字是 c，则这个数为 100a+10b+c 1、两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数。2、一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字 之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？3、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？几何问题 必须掌

33、握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 1、用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3 厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组名师总结 优秀知识点 2、一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10m，它的周长是 132m，则长和宽分别为多少？年龄问题 人与人的岁数是同时增长的 1、今年父亲的年龄是儿子的 5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？2、今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的一组未知数的值叫叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知数的系数或时把这典型例题已知关于的方程组的解满足求的值若化简已知二元一次方程组