2023年第二篇-函数与基本初等函数Ⅰ第5讲-对数与对数函数.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第 5 讲 对数与对数函数 【2013 年高考会这样考】1考查对数函数的定义域与值域 2考查对数函数的图象与性质的应用 3考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质 4考查对数函数与指数函数互为反函数的关系【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响 基础梳理 1对数的概念(1)对数的定义 如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2)几种常见对数 对数形式

2、 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0 且 a1)logaN 常用对数 底数为 10 lg N 自然对数 底数为 e ln_N 2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质 alogaNN；logaaNN(a0 且 a1)(2)对数的重要公式 换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于 1)；logab1logba，推广 logab logbc logcdlogad.精品资料 欢迎下载(3)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnnml

3、ogaM.3对数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 性质 定义域：(0，)值域：R 过点(1,0)当 x1 时，y0 当 0 x1，y0 当 x1 时，y0 当 0 x1 时，y0 是(0，)上的增函数 是(0，)上的减函数 4.反函数 指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称 一种思想 对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明 两个防范 解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围 三个关键点 首先要注意对数函数的定义域这是研究对数函数性质判断与对数函数

4、相对数记作其中叫做对数的底数叫做真数几种常见对数对数形式特点一般的运算法则如果且那么对数函数的图象与性质图象性质定义域值域过点精品资料 欢迎下载 画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，1a，1.四种方法 对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性(2)作差或作商法(3)利用中间量(0 或 1)(4)化同真数后利用图象比较 双基自测 1(2010 四川)2 log510log50.25()A0 B1 C2 D4 解析 原式log5100log50.25log5252.答案 C 2(人教 A 版教材习题改编)已知 alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.

5、9，则 a，b，c的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dcab 解析 将三个数都和中间量 1 相比较：0alog0.70.81，blog1.10.90，c1.10.91.答案 C 3(2012 黄冈中学月考)函数 f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，)B0，)C(1，)D1，)解析 设 yf(x)，t3x1.则 ylog2t，t3x1，xR.由 ylog2t，t1 知函数 f(x)的值域为(0，)答案 A 4(2012 汕尾模拟)下列区间中，函数 f(x)|ln(2x)|在其上为增函数的是 首先要注意对数函数的定义域这是研究对数函数性质判断与对数函数相对数记作其中叫做对数的

6、底数叫做真数几种常见对数对数形式特点一般的运算法则如果且那么对数函数的图象与性质图象性质定义域值域过点精品资料 欢迎下载()A(，1 B.1，43 C.0，32 D1,2)解析 法一 当 2x1，即 x1 时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数 f(x)在(，1上单调递减当 02x1，即 1x2 时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数 f(x)在1,2)上单调递增，故选 D.法二 f(x)|ln(2x)|的图象如图所示 由图象可得，函数 f(x)在区间1,2)上为增函数，故选 D.答案 D 5若 loga231，则 a 的取值范围是_ 答案23，1 考向一 对数式的化简

7、与求值【例 1】求值：(1)log89log23；(2)(lg 5)2lg 50 lg 2；(3)12lg 324943lg 8lg 245.审题视点 运用对数运算法则及换底公式 解(1)原式log2332log2323.(2)原式(lg 5)2lg(105)lg 105 首先要注意对数函数的定义域这是研究对数函数性质判断与对数函数相对数记作其中叫做对数的底数叫做真数几种常见对数对数形式特点一般的运算法则如果且那么对数函数的图象与性质图象性质定义域值域过点精品资料 欢迎下载(lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)法一 原式12(5lg 22lg 7)4

8、332lg 212(2lg 7lg 5)52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 512(lg 2lg 5)12lg 1012.法二 原式lg4 27lg 4lg(75)lg4 27 574 lg 1012.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化 【训练 1】(1)若 2a5b10，求1a1b的值(2)若 xlog341，求 4x4x的值 解(1)由已知 alog210，blog510，则1a1blg 2lg 5lg 101.(2)由已

9、知 xlog43，则 4x4x4log434log43313103.考向二 对数值的大小比较【例 2】已知 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设 af(log47)，bf(log123)，cf(0.20.6)，则 a，b，c 的大小关系是()Acab Bcba Cbca Dabc 审题视点 利用函数单调性或插入中间值比较大小 解析 log123log23log49，bf(log123)f(log49)f(log49)，log47log49,0.20.6153551255322log49，首先要注意对数函数的定义域这是研究对数函数性质判断与对数函数相对数记作其中叫做对数的底

10、数叫做真数几种常见对数对数形式特点一般的运算法则如果且那么对数函数的图象与性质图象性质定义域值域过点精品资料 欢迎下载 又 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)f(log123)f(log47)，即 cba，故选 B.答案 B 一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决 【训练 2】(2010 全国)设 alog32，bln 2，c512，则()Aabc Bbca Ccab Dcba 解析 法一 alog321log23，bln

11、21log2e，而 log23log2e1，所以 ab，c51215，而 52log24log23，所以 ca，综上 cab，故选 C.法二 alog321log23，bln 21log2e，1log2elog232，121log231log2e1；c512151412，所以 cab，故选 C.答案 C 考向三 对数函数性质的应用【例 3】已知函数 f(x)loga(2ax)，是否存在实数 a，使函数 f(x)在0,1上是关于x 的减函数，若存在，求 a 的取值范围 审题视点 a0 且 a1，问题等价于在0,1上恒有 a12ax0.解 a0，且 a1，u2ax 在0,1上是关于 x 的减函数

12、又 f(x)loga(2ax)在0,1上是关于 x 的减函数，函数 ylogau 是关于 u 的增函数，且对 x0,1时，u2ax 恒为正数 首先要注意对数函数的定义域这是研究对数函数性质判断与对数函数相对数记作其中叫做对数的底数叫做真数几种常见对数对数形式特点一般的运算法则如果且那么对数函数的图象与性质图象性质定义域值域过点精品资料 欢迎下载 其充要条件是 a12a0，即 1a2.a 的取值范围是(1,2)研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题 复合函数的单调性的法则是“同增异减”本题的易错点为：易忽略 2ax0 在0,1上恒成

13、立，即 2a0.实质上是忽略了真数大于 0 的条件【训练 3】已知 f(x)log4(4x1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)求 f(x)在区间12，2 上的值域 解(1)由 4x10 解得 x0，因此 f(x)的定义域为(0，)(2)设 0 x1x2，则 04x114x21，因此 log4(4x11)log4(4x21)，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上递增(3)f(x)在区间12，2 上递增，又 f120，f(2)log415，因此 f(x)在12，2 上的值域为0，log415 难点突破 4与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法 指数与对

14、数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论 一、与对数函数有关的求值问题 首先要注意对数函数的定义域这是研究对数函数性质判断与对数函数相对数记作其中叫做对数的底数叫做真数几种常见对数对数形式特点一般的运算法则如果且那么对数函数的图象与性质图象性质定义域值域过点精品资料 欢迎下载【示例】(2011 陕西)设 f(x)lg x，x0，x0a3t2dt，x0，若 f(f(1)1，则 a_.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】(2011 辽宁改编)设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x的取值范围是_ 首先要注意对数函数的定义域这是研究对数函数性质判断与对数函数相对数记作其中叫做对数的底数叫做真数几种常见对数对数形式特点一般的运算法则如果且那么对数函数的图象与性质图象性质定义域值域过点