2023年第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学目的：熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法.教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法 教学内容：一、隐函数的导数 显函数 形如 y f(x)的函数称为显函数 例如 y sin x y ln x+e x 隐函数 由方程 F(x y)0 所确定的函数称为隐函数 例如 方程 x y3 1 0 确定的隐函数为 y 31 xy 如果在方程 F(x y)0 中 当 x 取某区间内的任

2、一值时 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在 那么就说方程 F(x y)0 在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可能的 但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例 1求由方程 e y xy e 0 所确定的隐函数 y 的导数 解 把方程两边的每一项对 x 求导数得 (e y)(xy)(e)(0)即 e y yy xy0 从而 yexyy(x e y 0)例 2求由方程 y5 2y x 3x7 0 所确定的隐函数 y f(x)在 x

3、0 处的导数 y|x 0 解 把方程两边分别对 x 求导数得 5y y2y1 21x 6 0 由此得 2521146yxy 因为当 x 0 时 从原方程得 y 0 所以 21|25211|0460 xxyxy 例 3 求椭圆191622yx在)323 ,2(处的切线方程 解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导 得 0928yyx 从而 yxy169 当 x 2 时 323y 代入上式得所求切线的斜率 精品资料 欢迎下载 43|2xyk 所求的切线方程为 )2(43323xy 即03843 yx 解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导 得 0928yyx 将 x 2 323y 代入上式得 03141

4、y 于是 k y|x 243 所求的切线方程为 )2(43323xy 即03843 yx 例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 的二阶导数 解 方程两边对 x 求导 得 0cos211dxdyydxdy 于是 ydxdycos22 上式两边再对 x 求导 得 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出y来.（3）隐函数求导允许其结果中含有y.但求某一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去.对数求导法 这种方法是先在 y

5、 f(x)的两边取对数 然后再求出 y 的导数 设 y f(x)两边取对数 得 ln y ln f(x)两边对 x 求导 得 )(ln1xfyy y f(x)ln f(x)化率对数求导法教学难点隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求当取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的值存在那么就函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直由方程精品资料 欢迎下载 对数求导法适用于求幂指函数 y u(x)v(x)的导数及多因子之 积和商的导数 例 5求 y x sin x(x0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln y sin x ln x 上式两边对 x 求导 得 xxxxyy1s

6、inlncos1 于是 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 y x sin x e sin x ln x )sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx 例 6 求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数 解 先在两边取对数(假定 x4)得 ln y21ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(x 4)上式两边对 x 求导 得 )41312111(211xxxxyy 于是 )41312111(2xxxxyy 当 x1 时 )4)(3()2)(1(xxxxy 当 2x3 时

7、 )4)(3()2)(1(xxxxy 用同样方法可得与上面相同的结果 注 严格来说 本题应分 x 4 x 1 2 x 3 三种情况讨论 但结果都是一样的 二、由参数方程所确定的函数的导数 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程)()(tytx确定的 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数 在实际问题中 需要计算由参数方程所确定的函数的导数 但从参数方程中消去参数 t 有时会有困难 因此 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数 设 x(t)具有单调连续反函数 t(x)且此反函数能与函数 y(t)构成复合函数y(x)若 x(t)和 y(t)都可导 则 )()(1tt

8、dtdxdtdydxdtdtdydxdy 化率对数求导法教学难点隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求当取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的值存在那么就函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直由方程精品资料 欢迎下载 即 )()(ttdxdy或dtdxdtdydxdy 若 x(t)和 y(t)都可导 则)()(ttdxdy 例 7 求椭圆tbytaxsincos在相应于4 t点处的切线方程 解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(所求切线的斜率为abdxdyt4 切点的坐标为224 cos0aax 224sin0bby 切线方程为)

9、22(22axabby 即 bx ay2ab 0 例 8抛射体运动轨迹的参数方程为22121gttvytvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 y v2t g t 2 解 先求速度的大小 速度的水平分量与铅直分量分别为 x (t)v1 y(t)v2 gt 所以抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 22)()(tytxv2221)(gtvv 再求速度的方向 设是切线的倾角 则轨道的切线方向为 12)()(tanvgtvtxtydxdy 已知 x(t),y(t)如何求二阶导数 y?由 x(t)()(ttdxdy dxdtttdtddxdydxddxyd)()()(22 )(1)()()(

10、)()(2tttttt )()()()()(3ttttt 例 9计算由摆线的参数方程)cos1()sin(tayttax所确定 的函数 y f(x)的二阶导数 化率对数求导法教学难点隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求当取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的值存在那么就函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直由方程精品资料 欢迎下载 解 )()(txtydxdy)cos1(sin)sin()cos1(tatattata 2cotcos1sinttt(t 2n n 为整数)dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22 22)cos1(1)cos1(12

11、sin21tatat(t 2n n 为整数)三、相关变化率 设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数 而变量 x 与 y 间存在某种关系 从而变化率dtdx与dtdy间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 例 10 一气球从离开观察员 500f 处离地面铅直上升 其速度为 140m/min(分)当气球高度为 500m 时 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升 t(秒)后 其高度为 h 观察员视线的仰角为 则 500tanh 其中及 h 都是时间 t 的函数 上式两边对 t 求导 得

12、dtdhdtd5001sec2 已知140dtdh(米/秒)又当 h 500(米)时 tan 1 sec2 2 代入上式得 14050012dtd 所以 14.050070dtd(弧度/秒)即观察员视线的仰角增加率是每秒 0 14 弧度 小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题.思考：对幂指数函数()()()0)v xyu xu x 你有几种求导方法？作业：见习题册 化率对数求导法教学难点隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求当取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的值存在那么就函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直由方程