2023年直线的参数方程的几何意义.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 乐恩特教育个性化教学辅导教案 课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点),(000yxM、倾斜角为的直线l的参数方程为sincos00tyytxx（t 为参数），其中 t 表示直线l上以定点0M为起点，任意一点 M（x，y）为终点的有向线段MM0的数量，的几何意义是直线上点到 M 的距离.此时,若 t0,则的方向向上;若 t0,则的方向向上;当 t0,则的方向向下,所以 A,B中点的 M 所对应的 t 的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.

2、例 2已知双曲线 x2 y22=1，过点 P（2，1）的直线交双曲线于 P1，P2，求线段 P1P2的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的分速度是问小虫后的位置分析考虑的实际意义可用直线的参数方程是精品资料 欢迎下载 的中点 M 的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有 t1 +t2=0。解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线 P1P2的方程是x=x0+t cos ，y=y0+t sin(t 是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2)t2+2(2x0cos y0

3、sin)t+(2x02 y02 2)=0，由题意 t1 +t2=0，即 2x0cos y0sin=0，得tan =2x0y0。又直线 P1P2的斜率 k=tan =y y0 x x0，点 P（2，1）在直线 P1P2上，1 y02 x0=2x0y0，即 2x2 y2 4x+y=0 为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题 例 1已知双曲线，过点 P（2，1）的直线交双曲线于 P1，P2，求线段 P1P2的中点 M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有 t1 +t2=0。解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线 P1P2的方程是(t 是参数)，代入双曲线方程得：

4、(2cos2 sin2)t2+2(2x0cos y0sin)t+(2x02 y02 2)=0，由题意 t1 +t2=0，即 2x0cos y0sin=0，得。又直线 P1P2的斜率，点 P（2，1）在直线 P1P2上，即 2x2 y2 4x+y=0 为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离 例 1 直线 l 过点 P(1，2)，其参数方程为x=1 t，y=2+t(t 是参数)，直线 l 与直线 2x+y 2=0 交于点 Q，求 PQ。解：将直线 l 的方程化为标准形式x=1 22t，y=2+22t，代入 2x+y 2=0 得 t=3 22，PQ=|t|=3 22。点评：题目给出的直线的参数并

5、不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的分速度是问小虫后的位置分析考虑的实际意义可用直线的参数方程是精品资料 欢迎下载 例 2经过点 P(1，2)，倾斜角为 4 的直线 l 与圆 x2+y2=9 相交于 A，B 两点，求PA+PB 和 PA PB 的值。解：直线 l 的方程可写成x=1+22 t，y=2+22 t，代入圆的方程整理得：t2+2t 4=0，设点 A，B 对应的参数分别是 t1，t2，则 t1+t2=2，t1 t2=4，由 t1

6、与 t2的符号相反知 PA+PB=|t1|+|t2|=|t1 t2|=(t1+t2)2 4 t1 t2=3 2，PA PB=|t1 t2|=4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长 例 1 已知抛物线 y2=2px，过焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A，B 两点，求证：AB=2psin2。分析：弦长 AB=|t1 t2|。解：由条件可设 AB 的方程为x=p2+t cos ，y=t sin(t 是参数)，代入抛物线方程，得 t2 sin2 2pt cos p2=0，由韦达定理：t1+t2=2pcos sin2 ，t

7、1 t2=p2sin2，AB=|t1 t2|=(t1 t2)2 4 t1 t2=4p2cos2sin4+4p2sin2=2psin2。例 2已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 A，B 两点，若 FA=2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA=2FB 转化成直线参数方程中的 t1=2t2或|t1|=2|t2|。解：设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1，左焦点 F1（c，0），直线 AB 的方程为x=c+12 t，y=32t，代入椭圆整理可得：(14b2+34a2)t2 b2ct b4=0，由于 t1=2t2，则 的参数方程为为参数其中表示直线上

8、以定点量为起点任意一点为终点的别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的分速度是问小虫后的位置分析考虑的实际意义可用直线的参数方程是精品资料 欢迎下载 t1+t2=b2c14b2+34a2=t2 ，t1 t2=b414b2+34a2=2 t22 ，2 2+得：2c2=14b2+34 a2，将 b2=a2 c2代入，8 c2=3 a2+a2 c2，得 e2=c2a2=49，故 e=23。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变

9、量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。知识巩固训练 应用一：求距离 例 1、直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，且与圆722yx相交于 A、B 两点。（1）求弦长 AB.（2）求AP0和BP0的长。应用二：求点的坐标 例 2、直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，求出直线l上与点)4,2(0P相距为 4 的点的坐标。的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的分速度是问小虫后的位置分析考虑的实际意义可用直线的参数方程是精品资料 欢迎下载 应用三：解决有关弦的中点

10、问题 例 3、过点)0,1(0P，倾斜角为4的直线l和抛物线xy22相交于 A、B 两点，求线段AB 的中点 M 点的坐标。教师课 后小结 签字 教学主任：教学组长：学生/家长：解：因为直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为 6sin06cos4tytx，即tytx21234，（t 为参数），代入圆方程，得 7)21()234(22tt，整理得09342tt（1）设 A、B 所对应的参数分别为21,tt，所以3421 tt，921tt，所以|21ttAB.324)(21221tttt（2）解方程09342tt得，3,3321tt，所以AP033|1t，BP0.3|2t 的

11、参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的分速度是问小虫后的位置分析考虑的实际意义可用直线的参数方程是精品资料 欢迎下载 解：因为直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为 6sin46cos2tytx，即tytx214232，（t 为参数），（1）设直线l上与已知点)4,2(0P相距为 4 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为 t，则|0MP4|t，所以4t，将 t 的值代入（1）式，当 t4 时，M 点的坐标为)6,322(；当 t4 时，M 点的坐标为)2,322(，综上，所求 M 点的

12、坐标为)6,322(或)2,322(.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较容易。解：直线l过点)0,1(0P，倾斜角为4，所以直线l的参数方程为 tytx22221，（t 为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 xy22中，得：)221(2)22(2tt，整理得022212tt，06)2(214)2(2，设这个二次方程的两个根为21,tt，由韦达定理得2221 tt，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得 2221tttM，易知中点 M 所对应的参数为2Mt，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线l的参数方程，A、B 两点对应的参数为21,tt，则它们的中点所对应的参数为.221tt 的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的分速度是问小虫后的位置分析考虑的实际意义可用直线的参数方程是