2023年相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 学生：科目：数 学 教师：知识框架 一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”1横向定型法 欲证ABBCBEBF，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母ABC，恰为ABC的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母BEF，恰为BEF的三个顶点因此只需证ABCEBF 2纵向定型法 欲证ABDEBCEF，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母ABC，恰为ABC的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DEF，恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEF 3中间比法 由于运用三点定形法时常

2、会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形 这种方法就是等量代换法 在证明比例式时，常用到中间比 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为 1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之 复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明 二、函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题

3、途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。课 题 相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题 教学内容 精品资料 欢迎下载【例题精讲】“三点定型”法 一类：直接利用“左看、右看、上看、下看”加“三点定型”例1，已知：ACB=900，CD AB。求证：AC2=AD AB 分析

4、：要证 AC2=AD AB，可先证ACABADAC，这时看等号的左边 A、C、D 三点可确定一个三角形，而等号右边 A、C、B 三点也可确定一个三角形，即证ACDABC。都看上面的分子为 A、B、C 及都看下面的分母为 A、C、D 也可确定去证ACDABC。例2，已知：等边三角形 ABC 中，P 为 BC 上任一点，AP 的垂直平分线交 AB、AC 于 M、N 两点。求证：BP PC=BM CN 二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看”加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。例1，已知；AD 平分BAC，EF垂直平分 AD与 BC的延长线交于 F。求证：DF2=BF C

5、F 分析：由已知可得 DF=AF，直接证 DF2=BF CF 找不出相似三角形，可改证 AF2=BF CF，即证AFCFBFAF，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出ABF CAF 例2，已知；在 RtABC中，A=900，四边形 DEFG为正方形。求证：EF2=BE FC 证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在

6、数学中的应用。例 1，已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AC 与 BD 相交于 O 点，作 BE/CD,交 CA 的延长线于点 E.求证：OC2=OA.OE 分析：要证 OC2=OA.OE,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现 O,C,A,E 在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用转化的数学思想，先证ODOBOAOC，用“上看、下看”定出OBC ODC,然后再证OCOEODOB,用同样的方法确定证OBEODC相似即可。例 2，已知：BD、CE 是ABC的两个高，DG BC，与 CE交于 F，GD的延长线与 BA的延长线交于 H。求证：GD2=

7、GF GH 一、等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 例 1、已知：如图，ABC 中，ACB=9

8、00，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于 F。求证：CD2=DEDF。（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。例 2如图，已知 ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，CF BA，BF 交 AD 于 P 点，交 AC于 E 点。求证：BP2=PE PF。例 3如图，已知：在 ABC 中，BAC=900，ADBC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于 F。求证：。函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），

9、且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 平行四边形，求 D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边

10、形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况 2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。练习 1、已知抛物线2yaxb

11、xc经过5 3(33)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为225 333yxx）（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC 是否存在点Q，使得OPC与PQB相似？若存在，例 1 题图 图 1 OAByxOAByx图 2 证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边

12、有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 yxEQPCBOA求出Q点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？练习 2、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围

13、成的三角形和直线 l、直线 CE与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练 习3、在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中，已 知 二 次 函 数2(0)yaxbxc a的图象与x轴交于A B，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为 1，且过点(2 3)，和(312)，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx ）（2）若直线:(0)l ykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐

14、标；若不存在，请说明理由；(10)(3 0),(0 3)ABC，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标px的取值范围 O x y 练习 2 图 C B E D A C l x y 证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 练习 4(2008 广东湛江市)如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点C（1）求 A、B、

15、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由 练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点A C，的坐标分别为(3 0)A，(1 0)C，3tan4BAC（1）求过点A B，的直线的函数表达式；点(3 0)A，(1 0)C，B(1 3)，3944yx（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的

16、条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由 O A C O B x y 证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 如图，已知抛物线 122 xy 的图像与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y轴交于点 C.（1）试判断AOC 与COB 是否相似;（2）若点 D 是抛物线的顶点，DH 垂直于 x 轴，垂足为

17、 H，试判断直角三角形 DHA 与直角三角形 COB 是否相似？说明理由 变式 1：若点 M 在抛物线上且在 x 轴上方，过点 M 作 MG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，是否存在 M，使得AMG 与AOC 相似 证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 变式 2：若点 D 是抛物线的顶点，点 M 在抛物线上且在 x 轴上方，过点 M 做 x 轴的垂线，垂足为点 G，是否存在 M，使得AMG 与DCB 相似 已知:如图,抛物线cbx

18、xy2与 x 轴、y 轴分别相交于点 A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为 D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E.求四边形 ABDE 的面积；(3)AOB 与BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为）课后练习：1.已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为(4,-1)，与 y 轴交于点 C(0,3)，O是原点.证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关

19、的相似问题这类精品资料 欢迎下载（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴的交点为 A，B（A在 B 的左边），问在y轴上是否存在点 P，使以 O，B，P为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出点 P的坐标：若不存在，请说明理由.2.如图，已知抛物线的顶点为 A(2，1)，且经过原点 O，与 x 轴的另一交点为 B.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；(3)连接 OA、AB，如图，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的

20、坐标；若不存在，说明理由.中考链接 1（10四川）如图,已知ABC 中，ACB90 以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的直线为 y 轴建立平面直角坐标系此时，A 点坐标为（-1,0），B 点坐标为（4,0）（1）试求点 C 的坐标（2）若抛物线2yaxbxc过ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点 D（1，m）在抛物线上，过点 A 的直线 y=x1 交（2）中的抛物线于点 E，那么在 x轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B、D 为顶点的三角形与ABE 相似？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由.2（10湖北襄樊）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=4，OB

21、=2，抛物线过 A、B、C 三点，A A B B O O x x y y 图 图 证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类精品资料 欢迎下载 与 x 轴交于另一点 D一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA 向点 A 运动，运动到点 A 停止，同时一动点 Q 从点 D 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动，与点 P 同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E，与 x 轴交于点 F，当点 P 运动时间 t 为何值时，四 边形 POQE 是等腰梯形？（3）当 t 为何值时，以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似？证横向观察比例式中的分子的两条线段是和三个字母恰为的顶点分母的的顶的三个顶点因此只需中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点用到中间比比例中项式的证明通常涉及到与公共边有关的相似问题这类