2023年直线的方程与两条直线的位置关系.pdf

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1、8-1直线的方程与两条直线的位置关系 基础巩固强化 1.(文)(2012 乌鲁木齐地区质检)在圆 x2y22x4y0 内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是()A.6 B.4 C.3 D.34 答案 B 解析 圆心为(1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为1，且最长弦与最短弦垂直，过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是4.(理)(2012 内蒙包头模拟)曲线 yx2bxc 在点 P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0，4，则点 P 到该曲线对称轴距离的取值范围为()A0,1 B0，12 C0，|b|2 D0，|b1|2 答案 B 解析 y|xx02x

2、0b，设切线的倾斜角为 ，则 0tan 1，即 02x0b1，点P(x0，f(x0)到对称轴 xb2的距离 d|x0b2|12|2x0b|0，12，故选 B.2(文)(2011 辽宁沈阳二中检测)“a2”是“直线 2xay10 与直线 ax2y20 平行”的()A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 两直线平行的充要条件是2aa212，即两直线平行的充要条件是a 2.故a2是直线2xay10与直线ax2y20平行的充分不必要条件 点评 如果适合 p 的集合是 A，适合 q 的集合是 B，若 A 是 B的真子集，则 p 是 q 的充分不必要条件，若

3、 AB，则 p，q 互为充要条件，若 B 是 A的真子集，则 p 是 q 的必要不充分条件(理)(2011 东营模拟)已知两条直线 l1：axbyc0，直线 l2：mxnyp0，则 anbm 是直线 l1l2的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 l1l2时，anbm0；anbm0 时/l1l2.故 anbm 是直线 l1l2的必要不充分条件 3(2011 烟台模拟)点 P(3,4)关于直线 xy20 的对称点 Q的坐标是()A(2,1)B(2,5)C(2，5)D(4，3)答案 B 内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线

4、对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不解析 x242，y2(3)5，故选 B.4(文)(2011 梅州模拟)已知直线 a2xy20 与直线 bx(a21)y10 互相垂直，则|ab|的最小值为()A5 B4 C2 D1 答案 C 解析 由题意知，a2b(a21)0 且 a0，a2ba21，aba21aa1a，|ab|a1a|a|1|a|2.(当且仅当 a 1 时取“”)(理)已知 a、b 为正数，且直线(a1)x2y10 与直线 3x(b2)y20 互相垂直，则3a2b的最小值为()A12 B.136 C

5、1 D25 答案 D 解析 两直线互相垂直，3(a1)2(b2)0，3a2b1，a、b0，3a2b(3a2b)(3a2b)136ba6ab1326ba6ab 25.内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不等号成立时，6ba6ab3a2b1，ab15，故3a2b的最小值为 25.5两条直线 l1：xayb1 和 l2：xbya1 在同一直角坐标系中的图象可以是()答案 A 解析 直线 l1在 x 轴上的截距与直线 l2在 y 轴上的截距互为相反数，直线

6、 l1在 y 轴上的截距与 l2在 x 轴上的截距互为相反数，故选A.点评 可用斜率关系判断，也可取特值检验 6(文)(2011 安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点 P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则这样的直线共有()内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 C 解析 设过点 P(2,1)的直线方程为xayb1，则2a1b1，即 2baab，又 S12|a|b|4，即|ab|8，

7、由 2baab，|ab|8，解得 a、b 有三组解 a4，b2，a44 2，b22 2，或 a4 24，b22 2.所以所求直线共有 3 条，故选 C.(理)(2012 山东模拟)若直线(m21)xy2m10 不经过第一象限，则实数 m 的取值范围是()A.12m1 B1m12 C12m1 D.12m1 答案 D 解析 若直线(m21)xy2m10 不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率和截距均小于等于 0.直线变形为 y(m21)x2m1，则 m210，2m10，12m1，故选 D.内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的

8、充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不点评(1)令 x0 得 y2m1，令 y0 得，x2m1m21，则 2m10，2m1m210，或 2m10，m210，也可获解(2)取特值 m0,1，检验亦可获解 7(2011 宁夏银川一中月考)直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y轴上的截距相等，则 a 的值是_ 答案 2 或 1 解析 令 x0 得 y2a，令 y0 得 xa2a，由条件知 2aa2a，a2 或 1.8(文)若直线 m 被两平行线 l1：xy10 与 l2：xy30所截得的线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是 15 30 45 60

9、 75 其中正确答案的序号为_(写出所有正确答案的序号)答案 解析 求得两平行线间的距离为 2，则 m 与两平行线的夹角都是 30，而两平行线的倾斜角为 45，则 m 的倾斜角为 75 或 15，故填.(理)(2012 佛山市高三检测)已知直线 x2y2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不_ 答案 12 解析 直线方程可化为x2y1，故直线与x

10、 轴的交点为A(2,0)，与 y 轴的交点为 B(0,1)，由动点 P(a，b)在线段 AB上，可知 0b1，且 a2b2，从而 a22b，由 ab(22b)b2b22b2(b12)212，由于 0b1，故当 b12时，ab 取得最大值12.9(2011 大连模拟)已知点 A(1，2)，B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x2y20，则实数 m 的值是_ 答案 3 解析 由已知条件可知线段 AB 的中点1m2，0在直线 x2y20 上，代入直线方程解得 m3.点评 还可利用 ABl 求解，或AB为 l 的法向量，则ABa，a(1,2)，或先求 AB 中点纵坐标 y0，利用 AB

11、的中点在直线上求出其横坐标 x0再求 m.10已知两直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10.试确定m、n 的值，使(1)l1与 l2相交于点 P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且 l1在 y 轴上的截距为1.内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不解析(1)由题意得 m28n0，2mm10，解得 n7，m1，当m1，n7 时，l1与 l2相交于点 P(1，1)(2)l1l2m28mn1，得：m4，n2，或 m4，n2.(3)l1

12、l2m28m0，m0，则 l1：8yn0.又 l1在 y 轴上的截距为1，则 n8.综上知 m0，n8.点评 讨论 l1l2时要排除两直线重合的情况处理 l1l2时，利用 l1l2A1A2B1B20 可避免对斜率存在是否的讨论.能力拓展提升 11.(文)(2012 辽宁文)将圆 x2y22x4y10 平分的直线是()Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30 答案 C 解析 本题考查了直线与圆的位置关系 内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不将

13、圆 x2y22x4y10 化为标准方程(x1)2(y2)24，直线平分圆，直线过圆心 因此，可代入验证 经验证得 C 正确 点评 关键是明确圆是轴对称图形，对称轴过圆心(理)(2011 西安八校联考)已知直线 l 的倾斜角为34，直线 l1经过点 A(3,2)，B(a，1)，且直线 l1与 l 垂直，直线 l2：2xby10 与直线 l1平行，则 ab 等于()A4 B2 C0 D2 答案 B 解析 依题意知，直线 l 的斜率为 ktan341，则直线 l1的斜率为 1，于是有213a1，a0，又直线 l2与 l1平行，12b，b2，ab2，选 B.12(文)若三直线 l：2x3y80，l2：

14、xy10，l3：xkyk120 能围成三角形，则 k不等于()A.32 B2 C.32和1 D.32、1 和12 内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不答案 D 解析 由 xy10，2x3y80，得交点 P(1，2)，若 P 在直线 xkyk120 上，则 k12.此时三条直线交于一点；k32时，直线 l1与 l3平行 k1 时，直线 l2与 l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有 k12，32和1.(理)(2011 北京文，8)已知点

15、A(0,2)，B(2,0)若点 C 在函数 yx2的图象上，则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为()A4 B3 C2 D1 答案 A 解析 因为|AB|2 2，要使三角形面积是 2，则 C 点到直线AB的距离为 2.直线 AB的方程为 xy20，设 C 点所在的直线方程为 xym0，所以 d|m2|2 2，解得 m0 或 m4，所以C 点的轨迹为 xy0，或 xy40.又因为点 C 在函数 yx2的图象上，xy0，和 xy40 与 yx2分别有两个交点故这样的点共有 4 个 点评 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线

16、对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不定 13 已知指数函数 y2x的图象与 y 轴交于点 A，对数函数 ylgx的图象与 x 轴交于点 B，点 P 在直线 AB上移动，点 M(0，2)，则|MP|的最小值为_ 答案 3 22 解析 A(0,1)，B(1,0)，直线AB：xy10，又 M(0，2)，当|MP|取最小值时，MPAB，|MP|的最小值为 M 到直线 AB的距离 d|021|23 22.14已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与直线 l2：2(k3)x2y30 平行，则 l1与 l2的距离

17、为_ 答案 3 或 5 解析 由(k3)(2)2(k3)(4k)0，且21(4k)30，k3 或 5.当 k3 时，l1：y10，l2：2y30，此时 l1与 l2距离为：52；当 k5 时，l1：2xy10，l2：4x2y30，此时 l1与 l2的距离为|32|42 22510.15(文)已知两条直线 l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8.当 m 分别为何值时，l1与 l2：(1)相交？内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不(2)平

18、行？(3)垂直？解析(1)当 m5 时，显然 l1与 l2相交；当 m5 时，两直线 l1和 l2的斜率分别为 k13m4，k225m，它们在 y 轴上的截距分别为 b153m4，b285m.由 k1k2，得3m425m，即 m7，且 m1.当m7，且 m1 时，l1与 l2相交(2)由 k1k2，b1b2，得 3m425m，53m485m，得 m7.当m7 时，l1与 l2平行(3)由 k1k21，得3m4(25m)1，m133.当m133时，l1与 l2垂直(理)(2011 青岛模拟)已知三点 A(5，1)、B(1,1)、C(2，m)，分内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到

19、该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不别求满足下列条件的 m 值(1)三点构成直角三角形 ABC；(2)A、B、C 三点共线 解析(1)若角 A为直角，则 ACAB，kAC kAB1，即m12511151，得 m7；若角 B 为直角，则 ABBC，kAB kBC1，即12m1211，得 m3；若角 C 为直角，则 ACBC，kAC kBC1，即m13m1211，得 m 2，综上可知，m7，或 m3，或 m 2.(2)方法一：A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，kAB115112，kAC1m52

20、1m3，内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不由 kABkAC，得121m3，即 m12.当m12时，三点 A、B、C 共线 方法二：A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，AB(4,2)，AC(3，m1)，由AB AC，得 432 m1，得 43，m12，当m12时，三点 A、B、C 共线 方法三：A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，|AB|2 5，|BC|m22m2，|AC|m22m10.由三点横坐标可知，|BC|AC|AB|，即m22

21、m2m22m102 5，m22m10 m22m2 25，两 边 平 方，得5 m22m23m，两边平方，得 4m24m10，m12，经验证 m12符合题意，内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不故 m12时，三点 A、B、C 共线 方法四：点 A(5，1)与 B(1,1)确定的直线方程为 x2y30，将 C(2，m)的坐标代入得 m12，故 m12时，三点 A、B、C 共线 16(文)(2011 西安模拟)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)

22、(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围 解析(1)令 x0，得 ya2.令 y0，得 xa2a1(a1)由 a2a2a1，解得 a2，或 a0.所求直线l 的方程为 3xy0，或 xy20.(2)直线 l 的方程可化为 y(a1)xa2.l 不过第二象限，a1 0，a20.a1.a 的取值范围为(，1(理)过点 A(3，1)作直线 l 交 x 轴于点 B，交直线 l1：y2x 于点 C，若|BC|2|AB|，求直线 l 的方程 内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的

23、充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不解析 当 k不存在时 B(3,0)，C(3,6)此时|BC|6，|AB|1，|BC|2|AB|，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y1k(x3)，令 y0 得 B(31k，0)，由 y2xy1k x3得 C 点横坐标 xc13kk2.若|BC|2|AB|则|xBxC|2|xAxB|，|13kk21k3|2|1k|，13kk21k32k或13kk21k32k，解得 k32或 k14.所求直线l 的方程为：3x2y70 或 x4y70.内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不

24、必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不 1函数 yasinxbcosx 的图象的一条对称轴方程为 x4，则直线 axbyc0 的倾斜角为()A45 B60 C120 D135 答案 D 分析 由函数的对称轴方程可以得到 a、b 的关系式，进而可求得直线 axbyc0 的斜率 k，再由 ktan 可求倾斜角 .解析 令 f(x)asinxbcosx，f(x)的一条对称轴为 x4，f(0)f2，即ba，ab1.直线axbyc0 的斜率为1，倾斜角为 135.2若三直线 2x3y80，xy10，xkyk120 相交于一点，则

25、k的值为()A2 B12 C2 D.12 答案 B 解析 由 xy102x3y80得交点 P(1，2)，内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不P 在直线 xkyk120 上，k12.3(2011 江西)若曲线 C1：x2y22x0 与曲线 C2：y(ymxm)0 有 4 个不同的交点，则实数 m 的取值范围是()A(33，33)B(33，0)(0，33)C33，33 D(，33)(33，)答案 B 解析 曲线 C1：(x1)2y21，图形为圆心为(

26、1,0)，半径为 1 的圆；曲线 C2：y0 或者 ymxm0，直线 ymxm0 恒过定点(1,0)，即曲线 C2图象为 x 轴与恒过定点(1,0)的两条直线 作图分析：k1tan30 33，k2tan30 33，又直线 l1(或直线 l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知 mk(33，0)(0，33)4设 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 所对边的边长，则直内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不线 xsinAayc0 与 b

27、xysinBsinC0 的位置关系是()A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直 答案 C 解析 由已知得 a0，sinB0，所以两直线的斜率分别为 k1sinAa，k2bsinB，由正弦定理得：k1 k2sinAabsinB1，所以两条直线垂直，故选 C.5(2011 安徽省高三联考)点 P 到点 A(1,0)和直线 x1 的距离相等，且点 P 到直线 yx 的距离为22，这样的点 P 的个数是()A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 点P 到点 A和定直线 x1 距离相等，易知 P 点轨迹为抛物线，方程为 y24x.设 P(t2,2t)，则22|2tt2|2，解之得 t11，t21 2，t

28、31 2，P 点有三个，故选 C.6(2011 深圳二月模拟)设 l1的倾斜角为 ，(0，2)，l1绕其上一点 P 沿逆时针方向旋转 角得直线 l2，l2的纵截距为2，l2绕 P沿逆时针方向旋转2角得直线 l3：x2y10，则 l1的方程为_ 答案 2xy80 内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不解析 由条件知 l1l3，kl12，tan 2，又 l2的倾斜角为 2，tan2 43，l2：y43x2，由 y43x2，x2y10，得 P(3,2)，

29、又 P 在 l1上，l1：2xy80.7曲线 yxx2在(1，1)处的切线为 l，直线 kx2y100与 2x3y50 与 x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，则外接圆的圆心到 l 的距离为_ 答案 19 530 解析 由 yxx2得，y|x12 x22|x12，切线l：y12(x1)，即 2xy10，又由条件知，直线 kx2y100 与 2x3y50 垂直，2k60，k3.在 3x2y100 中含 y0 得 x103，A(103，0)，在 2x3y50 中令 x0 得 y53，B(0，53)，AB的中点 C(53，56)为圆心，故所求距离为19 530.内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不8(2011 苏北四市二调)已知直线 l1：axy2a10 和 l2：2x(a1)y20(aR)，则 l1l2的充要条件是 a_.答案 13 解析 两条直线垂直的充要条件是 A1A2B1B20，对于本题而言就是 2a(a1)0，解得 a13.内蒙包头模拟曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点到该曲线对称既不充分也不必要条件答案解析两直线平行的充要条件是即两直线平行则是的必要不充分条件理东营模拟已知两条直线直线则是直线的充分不