2023年第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 2.9 函数模型及其应用 考纲展示 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 考点 1 用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化过程 典题 1(1)2017浙江湖州模拟 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提

2、高的是()A B C D 答案 B(2)已知正方形ABCD的边长为 4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动设点P运精品资料 欢迎下载 动的路程为x，ABP的面积为S，则函数S f(x)的图象是()A B C D 答案 D 解析 依题意知，当 0 x4 时，f(x)2x；当 4x8 时，f(x)8；当 81，当t1 时，由y4，得k4，由121a4，得a3.所以y 4t，0t1，12t3，t1.(2)由y0.25，得 0t1，4t0.25或 t1，12t30.25，解得116t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 51167916(小时)点石成金 求解已给函数模型解决实际问题的关注点(1

3、)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题 提醒 解决实际问题时要注意自变量的取值范围.里氏震级M的计算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000.此时标准的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金精品资料 欢迎下载 地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地

4、震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的_倍 答案：610 000 解析：根据题意，由 lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震级为 6 级因为标准地震的振幅为 0.001，设 9 级地震的最大振幅为A9，则 lg A9lg 0.001 9，解得A9106，同理 5级地震的最大振幅A5102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍 考点 3 构建函数模型解决实际问题 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函 数模型 f(x)kxb(k，b为常数且k0)二次函 数模型 f(x)ax2bxc(a，b

5、，c为常数，a0)指数函 数模型 f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0 且a1)对数函 数模型 f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0 且a1)幂函数 模型 f(x)axnb(a，b为常数，a0)2三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上 的增减性 单调_ 单调_ 单调递增 的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金精品资料 欢迎下载 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图

6、象的变化 随x的增大逐渐表现为与_平行 随x的增大逐渐表现为与_平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当xx0时，有 logaxxnax 答案：递增 递增 y轴 x轴 求解实际问题的两个误区：忽略自变量的取值范围；忽略数学结果的实际合理性(1)据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是_ 答案：y0.1x1 200(0 x4 000，xN)解析：y0.2x(4 000 x)0.3 0.1x1 200(0 x4 000，x

7、N)，这里不能忽略x的取值范围，否则函数解析式失去意义(2)要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水，假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面，则最少需安装喷水龙头_个 答案：4 解析：可以将正方形分割成 4 个全等的正方形，每个小正方形的对角线长为 8 2162，最后得出安装 3 个就可以，这是错误的 复利公式(1)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是_ 答案：ya(1 r)x(2)人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率(复利)的计算等问题都可以用_函数模型解决

8、答案：指数 的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金精品资料 欢迎下载 考情聚焦 高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题 主要有以下几个命题角度：角度一 二次函数模型 典题 3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该

9、单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100元则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 设该单位每月获利为S，则S100 xy100 x12x2200 x80 000 12x2300 x80 000 12(x300)235 000，因为 400 x600，所以当x400 时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损

10、点石成金 二次函数模型问题的三个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题 角度二 构造分段函数模型 典题 4 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多

11、少时，旅行社可获得最大利润？解(1)设旅行团人数为x，由题得 0 x75(xN*)，飞机票价格为y元，的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金精品资料 欢迎下载 则y 900，0 x30，900 x，30 x75，即y 900，0 x30，1 200 10 x，30 x75.(2)设旅行社获利S元，则S 900 x15 000，0 x30，x10 x15 000，30 x75，即S 900 x15 000，0 x30，x221 000，300)模型

12、典题 5 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值 解(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x8003x5(0 x10)的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画

13、实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金精品资料 欢迎下载(2)f(x)6x108003x510 2x8003x510 70(万元)，当且仅当 6x108003x5，即x5 时等号成立 所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用f(x)达到最小值，最小值为 70 万元 点石成金 应用函数模型yxax的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例函数f(x)bx叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)axbx的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)axbx的形

14、式(3)利用模型f(x)axbx求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件 角度四 构建指、对函数或复杂的分式结构函数模型 典题 6 已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PAlg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的PA值比昨天的PA值增加 1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多 10；假设科学家将B菌的个数控制为 5 万，则此时 5PA5.5(注：lg 20.3)则正确的说法为_(写出所有正确说法的序号)答案 解析 当nA1 时，PA0，故错误；若PA1，则nA1

15、0，若PA2，则nA100，故错误；B菌的个数为nB5104，nA101051042105，PAlg nAlg 2 5.又lg 20.3，5PA200，两边同时取对数，得n1lg 2 lg 1.3lg 1.12，又lg 2 lg 1.3lg 1.120.30 0.110.053.8，则n4.8，即a5开始超过 200，所以 2019 年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 B.22015北京卷 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相

16、同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条 件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案：D 解析：根据图象所给数据，逐个验证选项 根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同

17、条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D对 32014湖南卷 某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.pq2 Bpq12 的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金精品资料 欢迎下载 C.pq Dpq1 答案：D 解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(p1)(q1)aa(1 x)2，解得xpq1，故选 D.42015四川卷 某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(

18、单位：)满足函数关系yekxb(e 2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 h，在 22 的保鲜时间是 48 h，则该食品在 33 的保鲜时间是 _h.答案：24 解析：由已知条件，得 192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k48192 12 14 12 12.设该食品在 33 的保鲜时间是t h，则te33kln 192192e33k192(e11k)319212324.课外拓展阅读 利用函数模型巧解抽象函数问题 函数部分有一类抽象函数问题，这类问题给定函数f(x)的某些性质，要证明它

19、的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个函数模型，结合这个函数模型的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解 典例 1 已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)，且当x0 时有f(x)0，f(1)2，求f(x)在 2,1 上的值域 思路分析 猜测fx的函数模型为fxkxk 代入特殊值判断fx的单调性 得出fx在 2，1 上的值域 解 因为对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，则f(0)f(0)f(0)，故f(0)0；再令yx，则f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x

20、)，即f(x)为奇函数 设x10.的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金精品资料 欢迎下载 因为当x0 时，f(x)0，所以f(x2x1)0.所以f(x2)f(x1)f(x2x1)0，所以f(x)为 R上的增函数 又f(2)f(11)2f(1)4，f(1)f(1)2，所以当x 2,1 时，f(x)4,2 典例 2 设函数f(x)的定义域是 R，对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0 时，0f(x)1.(1)求证：f(0)1，且

21、当x1；(2)判断f(x)在 R上的单调性 思路分析 猜测fx的函数模型为fxaxa 代入特殊值证明中的结论 函数单调性的定义判断fx在R上的单调性 (1)证明 因为对任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0，则f(1)f(1)f(0)因为当x0 时，0f(x)1，所以f(0)1.设mx0，所以f(0)f(x)f(x)，所以f(x)ffx1fx1.即当x1.(2)解 设x10，所以 0f(x2x1)0，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)x1 f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10，即f(x2)0，y0)；f(xy)f(x)f(y)(x0，y0)正比例函数 f(x)kx(k0)f(x)f(y)f(xy)(x，yR)；fxfyf(xy)(x，yR，f(y)0)指数函数 f(x)ax(a0，a1)f(xy)f(x)f(y)(x0，y0)；fxyf(x)f(y)(x0，y0)对数函数 f(x)logax(a0，a1)f(xy)f(x)f(y)(x，yR)；fxyfxfy(x，yR，y0)幂函数 f(x)xn 的函数模型的广泛应用考点用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化预测的运输任务各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示在这四的图象是答案解析依题意知当时当时当时观察四个选项知故选点石成金