2023年第二讲椭圆双曲线抛物线.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线 1椭圆的定义 平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件(1)到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 2a.(2)2a|F1F2|.学习必备 欢迎下载 1双曲线的定义 平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 2a.(2)2a|F1F2|.条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 3.等轴双曲线 实轴和虚轴

2、等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 x2y2条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 (0)，离心率 e 2，渐近线方程为 y x 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完

3、备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 若二元方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程，或曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线，则必须满足以下两个条件：1曲线上点的坐标都是二元方程 f(x，y)0 的解(纯粹性)2以这个方程的解为坐标的点都是曲线 C 上的点(完备性)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆()条件到两个定

4、点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 (4)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同()(5)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()1平面内到点 A(0，1)、B(1，0)距离之和为 2 的点的轨迹为(A)A椭圆 B一条射线 C两条射线 D一条线段 解析：因为点到两定点 AB 距离之和为 2|AB|2，所以该点的轨迹为椭圆故选 A.2以知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1，4)

5、，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为 9 解析：注意到 A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 F(4，0)，于是由双曲线性质|PF|PF|2a4，而|PA|PF|AF|5，两式相加得|PF|PA|9，当且仅当A、P、F 三点共线时等号成立 3(2015 新课标卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(x32)2y2

6、254 解析：由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4，0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，2)，(4，0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则m24r2，（4m）2r2，解得m32，r2254.所以圆的标准方程为(x32)2y2254.4(2015 北京卷)已知双曲线x2a2y21(a0)的一条渐近线为 3xy0，则 a_ 解析：双曲线x2a2y21 的渐近线为 yxa，已知一条渐近线为 3xy0，即 y 3x，因为 a0，所以1a 3，所以 a33.答案：33 一、选择题 1若椭圆x22y2m1 的离心

7、率为12，则实数 m 等于(A)条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 A.32或83 B.32 C.83 D.38或23 解析：若 m2，则m2m14，解得 m83.若 0m2，则2m214，解得 m32.2.(2015 新课标卷)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|(C)A2 6 B8 C4 6 D10 解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF

8、200，D7EF500.解得D2，E4，F20.圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y22 6或 y22 6，M(0，22 6)，N(0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)，|MN|4 6，故选 C.3(2015 福建卷)若双曲线 E：x29y2161 的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于(B)A11 B9 C5 D3 4已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为(A)条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下

9、载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 A.14，1 B.14，1 C(1，2)D(1，2)解析：如图，抛物线的焦点 F(1，0)，准线方程 l：x1，点 P 到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|PD|，显然 D，P，Q 共线时，|PD|PQ|最小，即|PF|PQ|最小此时 yP1，代入抛物线方程知 xp14，P14，1.5.(2014 江西卷)过双曲线 C：x2a2y2b21 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4

10、的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为(A)A.x24y2121 B.x27y291 C.x28y281 D.x212y241 条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 解析：因为 C：x2a2y2b21 的渐近线为 ybax，所以 A(a，b)或A(a，b)因此 OAc4，从而三角形 OAC 为正三角形，即 tan 60ba，a2，b2 3，双曲线 C 的方程为x24y2121.6(2014 全国大纲卷)

11、双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的焦距等于(C)A2 B2 2 C4 D4 2 解析：由已知可知渐近线的斜率 kba3c23且ca2，即b2a23c23且 1b2a24 解得 c231，所以 c2，2c4.故选 C.二、填空题 7(2015 北京卷)已知(2，0)是双曲线 x2y2b21(b0)的一个焦点，则 b 3 解析：由题意得，双曲线焦点在 x 轴上，且 c2.根据双曲线的标准方程，可知 a21.又 c2a2b2，所以 b23.又 b0，所以 b 3.8在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，且与该

12、抛物线相交于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 60，则OAF 的面积为 3 解析：由 y24x，可求得焦点坐标为 F(1，0)，因为倾斜角为 60，所以直线的斜率为 ktan 603，利用点斜式，直线的方程为 y条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 3x 3，将直线和曲线方程联立，y 3x 3，y24xA(3，2 3)，B13，2 33，因此 SOAF12OFyA1212 3 3.三、解答题 9

13、已知圆 O 过定点 A(0，p)(p 0)，圆心 O 在抛物线 C：x22py 上运动，MN 为圆 O 在 x 轴上所截得的弦 (1)当点 O 运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且 M，N 在原点 O 的右侧时，试判断抛物线 C 的准线与圆 O 是相交、相切还是相离，并说明理由 解析：(1)设 O(x0，y0)，则 x202py0(y00)，则O 的半径|OA|x20（y0p）2，O的方程为(xx0)2(yy0)2x20(y0p)2.令 y0，并把 x202py0代入得 x22x0 xx20p20.解得 x1x0p，x2x0p，|MN|x

14、1x2|2p，|MN|不变化，为定值 2p.条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载(2)设 MN 的中点为 B，则|OM|ON|2|OB|且 OB MN.又|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，|OM|ON|2|OA|，可得 B(p，0)，Op，p2.|O A|p2p2p252p.即圆 O 的半径为52p.又点 O 到抛物线 C 的准线的距离为p2p2p52p.圆O 与抛物线 C 的准线相交 10在平面直角坐标系 xOy 中，已

15、知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(1，0)，且点 P(0，1)在 C1上(1)求椭圆 C1的方程；(2)设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2：y24x 相切，求直线 l的方程 解析：(1)因为椭圆 C1的左焦点为 F1(1，0)，所以 c1.将点 P(0，1)代入椭圆方程x2a2y2b21，得1b21，即 b1，所以a2b2c22.所以椭圆 C1的方程为x22y21.(2)直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为ykxm，条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的

16、点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 由x22y21，ykxm，消去 y 并整理得：(12k2)x24kmx 2m220，因为直线 l 与椭圆 C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0，整理得 2k2m210.由y24x，ykxm，消去 y 并整理得：k2x2(2km 4)xm20.因为直线 l 与抛物线 C2相切，所以2(2km 4)24k2m20，整理得 km1.综合，解得k22，m 2.或k22，m 2.所以直线 l 的方程为 y22x 2或 y22x 2.11如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x22p

17、y(p 0)上 条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 (1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点Q.证明：以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点 解析：(1)依题意，|OB|8 3，BOy 30.设 B(x，y)，则 x|OB|sin 30 4 3，y|OB|cos 30 12.因为点 B(43，12)在 x22py 上，所以(4 3)22p12，解得 p2.故抛物线 E

18、 的方程为 x24y.(2)证法一 由(1)知 y14x2，y12x.设 P(x0，y0)，则 x0 0，y014x20，且 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y1，得xx2042x0，y1.条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 所以 Q 为x2042x0，1.设 M(0，y1)，令MP MQ0 对满足 y014x20(x0 0)的 x0，y0恒成立 由于MP(x0

19、，y0y1)，MQx2042x0，1y1，由MP MQ0，得x2042y0y0y1y1y210，即(y21y12)(1y1)y00.由于式对满足 y014x20(x0 0)的 y0恒成立，所以1y10，y21y120，解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0，1)证法二 由(1)知 y14x2，y12x，设 P(x0，y0)，则 x0 0，y014x20，且 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y1，得xx2042x0，y1.所以 Q 为x2042x0，1.条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎

20、下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与学习必备 欢迎下载 取 x02，此时 P(2，1)，Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为(x1)2y22，交 y 轴于点 M1(0，1)，M2(0，1)；取 x01，此时 P1，14，Q32，1，以 PQ 为直径的圆为x142y38212564，交 y 轴于点 M3(0，1)，M40，74.故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0，1)以下证明点 M(0，1)就是所要求的点 因为MP(x0，y01)，MQx2042x0，2，所以MP MQx20422y022y022y020.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0，1)条件到两个定点的距离的差的绝对值等于常数学习必备欢迎下载等轴双相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线都是曲线上的点完备性判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与