2023年椭圆与双曲线的对偶性质--必背的经典结论.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）椭 圆 1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方

2、程是00221x xy yab.7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)F c00(,)M xy).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q

3、交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内，则 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab.13.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.双曲线 1点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角.2PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则

4、焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长学习必备 欢迎下载 轴的两个端点.3 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5 若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.6若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.7 双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别

5、为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.8 双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)F c 当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa.当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa 9 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的

6、顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.13 若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆 1椭

7、圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切若在椭圆上则过的椭圆半径公式设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点为椭圆长轴上一个顶点连中点则即若在椭圆内则被所平分的中点弦的方程是若在椭圆内则过的弦学习必备 欢迎下载 2 过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3。若 P 为椭圆22221xyab（ab0

8、）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22accoac.4 设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sinsinsincea.5 若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项.6 P 为椭 圆22221xyab（a b 0）上任 一 点,F1,F2为 二 焦点，A 为 椭 圆 内 一 定 点，则2

9、112|2|aAFP AP FaAF,当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立.7 椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0A xB yC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC.8 已知椭圆22221xyab（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.9 过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|

10、2PFeMN.10已知椭圆22221xyab（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.11设 P 点是椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切若在椭圆上则过的椭圆半径公式设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点为椭圆长轴上一个顶点连中点则即若在椭圆内则被所平分的中点弦的方程是若在椭圆内则过的弦学习必备 欢迎下载 则(1)2122|1cosbPFPF.(2)1 22tan2PF FSb.12 设 A、B 是椭圆22221xyab（a

11、b0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13 已知椭圆22221xyab（ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直

12、.16 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线 1双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2 过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy

13、任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3 若 P 为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切若在椭圆上则过的椭圆半径公式设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点为椭圆长轴上一个顶点连中点则即若在椭圆内则被所平分的中点弦的方程是若在椭圆内则过的弦学习必备 欢迎下载 4 设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线

14、上任意一点，在PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea.5 若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项.6 P 为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A F P三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立.7 双 曲 线22221xyab（a 0,b 0）与 直 线0AxByC 有 公 共 点 的 充

15、要 条 件 是22222A aB bC.8 已知双曲线22221xyab（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba.9 过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN.10已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220ab

16、xa.11设P点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1 cosbPFPF.(2)1 22cot2PF FSb.12设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切若在椭圆上则过的椭圆半径公式设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点为椭圆长轴上一个顶点连中点则即若在椭圆内则被所平分的中点弦的方程是若在椭圆内则过的弦学习必备 欢迎下载

17、(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13已知双曲线22221xyab（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平

18、分线与长轴交点分别称为内、外点).17双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线中的几组结论及应用 结论 1 过抛物线的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A（）、B（）两点，设，O为原点，则有：结论 1：(定值)，,结论 2：y1y2-p2(定值)，.结论 3：弦长.结论 4：若此焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m，n 两部分，则为定值 结论 5：抛物线 y22px(p0)的焦点弦中通径最小结论6：以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l相切 结论 7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与 y 轴相切 结论 8：A1FB1F 结论 9：若 M 为 A1B1的中点，则 MFAB。结论 10：在梯形 AA1B1B 中，两对角线 AB1与 BA1相交于点抛物线顶点 O。结论 11：直线 l 交抛物线于 A（）、B（）两点，O为原点。若 OAOB，则直线 l 经过定点（2p，0），反之亦然（证明略）。焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切若在椭圆上则过的椭圆半径公式设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点为椭圆长轴上一个顶点连中点则即若在椭圆内则被所平分的中点弦的方程是若在椭圆内则过的弦