2023年第十八章勾股定理.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第十八章 勾 股 定 理【知识概念图表】知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）（一）勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c的平方，即 a2+b2=c2 2.勾股定理的证明方法：一般是通过剪拼，借助于面积进行证明。其中的依据是图形经过割补重拼后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。3.勾股定理的应用条件：适用于直角三角形。因而常常作高（垂线）构造直角三角形。4.应用：求三角形的三边，求线段长，作图找出在数轴上表示无理数的点。（二）勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2+b2=c2，那么这个三角

2、形是直角三角形。注：勾股定理的逆定理是从边的角度判断一个三角形是直角三角形的重要方法。2.互逆命题：一般地，如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。3.逆定理：一般地，如果说一个定理的逆命题经过证明是正确 思维拓展 能够成为直角三角形的三条边长的三个整数，称为勾股数。深度理解 原命题正确，它的学习必备 欢迎下载 的，并且也作为一个定理，我们称这两个定理互为逆定理。4.直角三角形的其他两个性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。逆

3、命 题 不 一 定 正确。【易混易错剖析】1.在应用勾股定理及其逆定理时，由于书写、变式、应用等技巧性差往往出现些错误。如初开始运用时会见到：552122222BCABAC的书写格式问题，其实质还是对于平方根的理解不透彻所致；如告诉了斜边长和一条直角边的长，求另一直角边的长时，就不会变化成先求平方差，再求二次算术根，在运用勾股定理时刻板僵硬，缺乏灵活性；在运用逆定理时没有技巧，往往做些无效劳动。如判断三边长分别为 13，14，15的三角形是不是直角三角形？无需作三次运算逐个去验证，其实只需一次计算验证即可。那就是看较短的两边的长的平方和是否等于最长的边的长的平方就可以下结论了。即因为22141

4、3 196169 215225365，所以它不是直角三角形。2.在应用勾股定理时，不善于根据题目情况进行分类讨论，导致解题出错。学生在直角三角形的斜边及等腰三角形的腰还不能确定的情况下，就贸然去解题，导致答案错误。典型示例：已知直角三角形的两边分别为 3cm和 4cm，则该三角形的第三边长为_。有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为 6m，8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长（图 2，图 3 备用）经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理

5、的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载 常见错误：填 5cm；解：在 RtABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6 如图，当 AB=AD=10 时，ACBD，CD=CB=6m，ABD 的周长=10+10+2 6=32m 答：扩充后的等腰三角形的周长为 32m.解析点评：本题告诉了：直角三角形的两边分别为 3cm和 4cm，让我们求它的第三边的长。注意这里有不明确的地方，那就是长为 3cm和 4cm的边究竟是什么边？我们不得而知，可能有的同学认为 3，4，5 是一组勾股数，就断定第三边就是 5，而出错。其实本题需要分A B C D 经过割补重拼后只

6、要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载 类讨论，分以下两类：当长为 4cm的边是直角边时，那么长为 3cm的边肯定也是直角边，那么要求的第三边就是斜边，若设第三边为 xcm,那么由勾股定理得：2516943222x，所以.5cmx 当长为 4cm的边是斜边时，那么长为 3cm的边肯定还是直角边，那么要求的第三边就是直角边，若设第三边为 xcm,那么由勾股定理得：22243x所以791634222x所以cmx7。那么综上所述第三边的长就为 5cm或

7、7cm；则本题正确答案就为：5cm或7cm。本题启示：当只告诉了直角三角形的两边长，而并不知道具体是什么边时，只有分类讨论，才能得到全面正确的答案。本题重点考查勾股定理的应用。题目虽然告诉了两条直角边的长，但要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形，这里也是有不确定的地方，那就是把谁作为腰的问题，因而，也要分类讨论。现解答如下：解：在 RtABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6.由勾股定理有：AB=10，扩充部分为 RtACD，扩充成等腰ABD，应分以下三种情况 如图 1，当 AB=AD=10 时，ACBD，CD=CB=6m，ABD 的周长=10+10+2 6

8、=32m 如图 2，当 AB=BD=10 时，BC=6m，CD=106=4m，经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载 AD=m，ABD 的周长=10+10+4=（20+）m 如 图 3，当 AB为底时，设 AD=BD=x，则 CD=x 6，由勾股定理得：AD=x，解得，x=ABD 的周长为：AD+BD+AB=+10=m 答：扩充后等腰三角形绿地的周长为：32m 或（20+）m 或者m 本题启示：只要知道是直角三角形，且告诉了两边长

9、，就可以根据勾股定理来计算第三边的长，当然第三边可能是斜边，也可能是直角边，要分类讨论；在等腰三角形中，当腰与底不确定时，通常也要分类讨论。注意：分类讨论，先要按某一标准来分类，然后，逐一讨论，最后一定要汇总回答。【考点命题突破】考点分析:经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载 必考点：用勾股定理解决直角三角形的相关应用问题；常考点：用勾股定理的逆定理判定直角三角形；少考点：证明勾股定理。中考热点：将勾股定理及其逆定理与其它知识点

10、结合出题，属于高频考点。考查方式：选择题、填空题居多，解答题主要是与四边形，与圆相结合的应用题，往往难度不大。考点 1 直角三角形的相关性质的综合运用（2011 江苏无锡）如图，在 RtABC 中，ACB=90，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，若 CD=5cm，则 EF=_cm 解题思路：本题主要条件是有一个直角，有三条边的中点。那么在直角三角形中，斜边上的中线就要等于斜边的一半，所以 AB=2CD=25=10cm，又 FE 是中位线，那么它要等于第三边的一半，所以有 EF=cmAB5102121。答案：5 考点 2 勾股定理、角的平分线的性质与判定、方程思想及面积法 难点突破和

11、易错警示 难点突破：要会运用定理联想：知道了直角三角形，知道了斜边上的中线，马上要想到斜边上的中线等于斜边的一半；告诉了两边中点，就要马上想到有中位线，因而中位线就要平行于第三边且等于第三边的一半。A C B E F D（考点 1 图）经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载（2011 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m，按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道

12、，则 O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 O 为点）是（）A2m B.3m C.6m D.9m 解题思路：本题有直角及其两直角边之长，要马上想到用勾股定理是可以求出斜边来的，应等于 10m。还要注意点O 到三边的距离相等，其实质是三个内角平分线的交点，即三角形的内心。现在要求点 O 到三边的距离总和。其实只需要求出点 O 到某一边的距离即可。怎么计算呢？其实可以运用面积法轻松得解。若设点 O 到边的距离为 h，则可将 O 与三个顶点连结，将原三角形分割成三个三角形，由 部 分 的 面 积 的 和 等 于 总 体 的 面 积 列 出 等 式：86218216211021hhh.解得：

13、h=2。所以点 O 到三条支路的管道总长为 6m。答案：C 难点突破：先利用勾股定理求出斜边之长，再利用面积法建立方程求解即可。【中考典题回顾】O（考点 2 图）经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载 例 1（2011 四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为 6m、8m.现要将其扩建成以 8m 为直角边的等腰直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长 答案：根据勾股定理得其斜边长为：288822m，由题意

14、可得，花圃的周长=8+8+8 2=16+8 2m.答：扩建后的等腰三角形花圃的周长为（16+8 2）m。例 2（2011 四川绵阳）王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的 2倍多 2 米.(1)请用 a 表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为 7 米吗？为什么?请说明理由，并求出 a 的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由。答案：(1)第一条边为 a,第二条边为 2a+2,第三条边为 30a（2a+2）=283a(2)不

15、可以是 7，第一条边为 7，第二条边为 16，第三条边为 7，由于某种原因 7+7 16，不满足三边之间的关系，不能构成三角形。132a5 要点提示：例 1 先直接运用勾股定理求出斜边长，然后求周长。例 2 第一问直接根据题意列代数式即可；第二问要考查三角形的三边关系定理；第三问是个探究性问题，应当运用勾股定理，并要分类讨论，探究之后才能作出回答。经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载(3)5，12，13 可以围成一个满足条件的直

16、角三角形 例 3（2011 山东枣庄）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段 ADBC 且使 AD=BC，连接 CD；（2）线段 AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD 的长为 ；（3）ACD 为 三角形，四边形 ABCD 的面积为 ；（4）若 E 为 BC 中点，则 tanCAE 的值是 答案：（1）如图；（2）2 5，5，5；例 3 格点三角形问题也是近年喜欢考试的问题。第一问作图不用细讲；第二问要求那些线段的长，其根本方法是将其看成是某一个三角形的斜边，运用勾股定理求解；第三问，当知道一个三角形的各边长后，运用勾股定理的

17、逆定理可以判定它是不是直角三角形。因而相应的四边形的面积也可以求得；第四问其实 E 本身就是格线上的点，要求 tanCAE 的值，只需要把锐角CAE 看成是一个直角三角形的内角即可由三角函数的定义去求值了。A B C E 例 3 图 D A B C E 例 3 图 经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深学习必备 欢迎下载（3）直角，10；（4）12 经过割补重拼后只要没有重叠没有空隙面积不会改变勾股定理的应用条如果三角形的三边长有关系那么这个三角形是直角三角形注勾股定理的论正好相反数我们把这样的两个命叫做互逆命如果把其中一个叫做原深