2023年正弦定理和余弦定理[高考数学总复习][高中数学课时训].pdf

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1、学习必备 欢迎下载 正弦定理和余弦定理 1.（2008陕西理，3）ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 c=2，b=6，B=120,则 a=.答案 2 2.（2008福建理，10）在ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若（a2+c2-b2）tan B=3ac，则角B的值为 .答案 3或32 3.下列判断中不正确的结论的序号是 .ABC中，a=7，b=14，A=30,有两解 ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解 ABC中，a=6,b=9，A=45，有两解 ABC中，b=9,c=10,B=60,无解 答案 4.在ABC中，A=60，AB=5，BC=7，则A

2、BC的面积为 .答案 103 5.（2008浙江理，13）在ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c.若（3b-c）cos A=acos C，则cos A=.答案 33 例 1 在ABC中，已知 a=3,b=2,B=45,求 A、C和 c.解 B=4590且 asin Bba,ABC有两解.由正弦定理得 sin A=bBasin=245sin3=23,则 A为 60或 120.当 A=60时，C=180-(A+B)=75,c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226.当 A=120时，C=180-(A+B)=15,c=BCbsinsin=45

3、sin15sin2=45sin)3045sin(2=226.学习必备 欢迎下载 故在ABC中，A=60,C=75,c=226 或 A=120,C=15,c=226.例 2 在ABC中，a、b、c 分别是角 A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角 B的大小；（2）若 b=13，a+c=4，求ABC的面积.解 （1）由余弦定理知：cos B=acbca2222，cos C=abcba2222.将上式代入CBcoscos=-cab2得:acbca22222222cbaab=-cab2 整理得:a2+c2-b2=-ac cos B=acbca2222=acac2=-21 B为三角

4、形的内角，B=32.（2）将 b=13,a+c=4,B=32代入 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B b2=16-2ac211,ac=3.SABC=21acsin B=433.例 3 （14 分）ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 b2+c2-a2+bc=0.（1）求角 A的大小；（2）若 a=3，求 bc 的最大值；（3）求cbCa)30sin(的值.解 （1）cos A=bcacb2222=bcbc2=-21,2分 又A（0，180），A=120.4分（2）由 a=3,得 b2+c2=3-bc,又b2+c22bc（当且仅当

5、 c=b 时取等号），3-bc2bc(当且仅当 c=b 时取等号）.6分 即当且仅当 c=b=1 时，bc 取得最大值为 1.8分 中角所对的边分别为若则答案例在中已知求和解且有两解由正弦定理得中角的对边分别为且求角的大小若求的最大值求的值解分又分由得又当的形状解方法一已知等式可化为由正弦定理可知上式可化为由得或即或学习必备 欢迎下载（3）由正弦定理得：CcBbAasinsinsin2R,CRBRCARcbCasin2sin2)30sin(sin2)30sin(10 分=CBCAsinsin)30sin(sin 11分=CCCCsin)60sin()sin23cos21(23 12分=CCCC

6、sin23cos23)sin43cos43 13分=21.14分 例 4 在ABC中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为 a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为：sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0 sin2 A=sin2 B,由 02A,2 B2 得

7、2A=2B或 2A=-2B,即 A=B或 A=2-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2sin Acos B 由正、余弦定理,可得 a2bbcacb2222=b2aacbca2222 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 a=b 或 a2+b2=c2 ABC为等腰或直角三角形.1.（1）ABC中，a=8,B=60,C=75,求 b;(2)ABC中，B=30,b=4,c=8,求 C、A、a.解（1）由正弦定理得BbAasinsin.B=60,C=75,A=45,中角所对的边分别为若则答案例在中已

8、知求和解且有两解由正弦定理得中角的对边分别为且求角的大小若求的最大值求的值解分又分由得又当的形状解方法一已知等式可化为由正弦定理可知上式可化为由得或即或学习必备 欢迎下载 b=45sin60sin8sinsinABa=46.(2)由正弦定理得 sin C=430sin8sinbBc=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,a=22bc=43.2.已知ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别为 a,b,c,若ABC的面积为 S，且 2S=（a+b）2-c2，求 tan C的值.解 依题意得 absin C=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos

9、 C.所以,absin C=2ab(1+cos C),即 sin C=2+2cosC,所以 2sin2Ccos2C=4cos22C 化简得：tan2C=2.从而 tan C=2tan12tan22CC=-34.3.（2008辽宁理，17）在ABC中，内角 A、B、C对边的边长分别是 a、b、c.已知 c=2,C=3.（1）若ABC的面积等于3，求 a、b 的值；（2）若 sin C+sin(B-A)=2sin2 A,求ABC的面积.解（1）由余弦定理及已知条件，得 a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于3，所以21absin C=3，所以 ab=4.联立方程组,4,422ababba 解

10、得22ba.（2）由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即 sin Bcos A=2sin Acos A,当 cos A=0 时，A=2，B=6，a=334，b=332.当 cos A0 时，得 sin B=2sin A,由正弦定理得 b=2a,联立方程组,2,422ababba 解得.334332b，a 中角所对的边分别为若则答案例在中已知求和解且有两解由正弦定理得中角的对边分别为且求角的大小若求的最大值求的值解分又分由得又当的形状解方法一已知等式可化为由正弦定理可知上式可化为由得或即或学习必备 欢迎下载 所以ABC的面积 S=21absin C=332.4.

11、已知ABC的三个内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等差数列，且 2cos2 B-8cosB+5=0,求角 B的大小并判断ABC的形状.解 方法一 2cos2 B-8cos B+5=0,2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.解得 cos B=21或 cos B=23（舍去）.cos B=21.0B,B=3.a，b，c 成等差数列，a+c=2b.cos B=acbca2222=accaca2)2(222=21，化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c.又B=3，ABC是等边三角形

12、.方法二 2cos2 B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.解得 cos B=21或 cos B=23（舍去）.cos B=21,0B,B=3,a,b,c 成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B=2sin3=3.sin A+sinA32=3，sin A+sinAcos32-cosAsin32=3.化简得23sin A+23cos A=3,sin6A=1.A+6=2,A=3,C=3,ABC为等边三角形.一、填空题 1.在ABC中，若 2cos Bs

13、in A=sin C,则ABC一定是 三角形.中角所对的边分别为若则答案例在中已知求和解且有两解由正弦定理得中角的对边分别为且求角的大小若求的最大值求的值解分又分由得又当的形状解方法一已知等式可化为由正弦定理可知上式可化为由得或即或学习必备 欢迎下载 答案 等腰 2.在ABC中，A=120,AB=5,BC=7，则CBsinsin的值为 .答案 53 3.已知ABC的三边长分别为 a,b,c,且面积 SABC=41（b2+c2-a2），则 A=.答案 45 4.在ABC中，BC=2，B=3，若ABC的面积为23，则 tan C为 .答案 33 5.在ABC中，a2-c2+b2=ab,则 C=.答

14、案 60 6.ABC中，若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则 C=.答案 45 或 135 7.在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a,b,c，若 a=1,b=7,c=3,则 B=.答案 65 8.某人向正东方向走了x 千米，他右转 150，然后朝新方向走了 3 千米，结果他离出发点恰好3千米，那么 x 的值是 .答案 3或 23 二、解答题 9.在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a,b,c，并且 a2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若 a=3b,判断ABC的形状.（1）证明 因为 a2=b(b+c)，即 a2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,c

15、os B=acbca2222=acbcc22=acb2=aba22=ba2=BAsin2sin,所以 sin A=sin2 B,故 A=2B.（2）解 因为 a=3b,所以ba=3,由 a2=b(b+c)可得 c=2b,cos B=acbca2222=22223443bbbb=23,所以 B=30,A=2B=60,C=90.所以ABC为直角三角形.中角所对的边分别为若则答案例在中已知求和解且有两解由正弦定理得中角的对边分别为且求角的大小若求的最大值求的值解分又分由得又当的形状解方法一已知等式可化为由正弦定理可知上式可化为由得或即或学习必备 欢迎下载 10.（2008全国理，17）在ABC中，c

16、os B=-135，cos C=54.（1）求 sin A的值；（2）ABC的面积 SABC=233，求 BC的长.解 (1)由 cos B=-135,得 sin B=1312,由 cos C=54,得 sin C=53.所以 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cosBsin C=6533.(2)由 SABC=233,得21AB AC sin A=233.由(1)知 sin A=6533,故 AB AC=65.又 AC=CBABsinsin=1320AB,故1320AB2=65,AB=213.所以 BC=CAABsinsin=211.11.已知 a、b、c 是ABC的三边长，

17、关于 x 的方程 ax2-222bc x-b=0(acb)的两根之差的平方等于 4，ABC的面积 S=103，c=7.（1）求角 C；（2）求 a，b 的值.解（1）设 x1、x2为方程 ax2-222bcx-b=0 的两根，则 x1+x2=abc222，x1x2=-ab.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=222)(4abc+ab4=4.a2+b2-c2=ab.又 cos C=abcba2222=abab2=21,又C(0,180),C=60.(2)由 S=21absin C=103，ab=40.由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,即 c2=(a+b)2-2ab(1+

18、cos60).72=(a+b)2-240211.a+b=13.又ab 中角所对的边分别为若则答案例在中已知求和解且有两解由正弦定理得中角的对边分别为且求角的大小若求的最大值求的值解分又分由得又当的形状解方法一已知等式可化为由正弦定理可知上式可化为由得或即或学习必备 欢迎下载 由，得 a=8,b=5.12.（2008广东五校联考）在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a+b=5，c=7，且4sin22BA-cos2C=27.(1)求角 C的大小；（2）求ABC的面积.解（1）A+B+C=180,由 4sin22BA-cos2C=27,得 4cos22C-cos2C=27,42cos1C-(2cos2C-1)=27,整理,得 4cos2C-4cos C+1=0,解得 cos C=21,0C180,C=60.(2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 7=a2+b2-ab,7=(a+b)2-3ab，由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,SABC=21absin C=21623=233.中角所对的边分别为若则答案例在中已知求和解且有两解由正弦定理得中角的对边分别为且求角的大小若求的最大值求的值解分又分由得又当的形状解方法一已知等式可化为由正弦定理可知上式可化为由得或即或