2023年等比数列知识点总结归纳全面汇总归纳与典型例题-精华版.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比 2、通项公式：11110,0nnnnaaa qqA BaqA Bq ，首项：1a；公比：q 推广：n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa 3、等比中项：（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列na是等比数列211nnnaaa 4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q 时，1nSna（2）当1q 时，11111nnnaqaa qSqq 1111nnnaaq

2、AA BA BAqq （,A B A B为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0)nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0nnnaA BA Ba 为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnnaqaa为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m nN，在等比数列na中，有n mnmaa q。名师总结 优秀知识点（3）若*(,)mnst m n s tN ，则nmstaaaa 。特别的，当2mnk 时，得2nmkaaa 注

3、：12132nnnaaaaa a 等差和等比数列比较：经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例 1等比数列na中，1964aa,3720aa,求11a.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1 937 ，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a.解析：法一：设此数列公比为q，则8191126371164(1)20(2)aaaa qaaa qa q 由(2)得：241(1)20a qq.(3)10a.由(1)得：421()64a q,418a q .(4)(3)(4)得：42120582qq，等差数列 等比数列 定义

4、 daann 1)0(1qqaann递推公式 daann 1；mdaanmn qaann1；mnmnqaa 通项公式 dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项 2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanS dnnnaSn2)1(1 )2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要 性质 ),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出

5、再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点 422520qq,解得22q 或212q 当22q 时，12a，1011164aaq；当212q 时，132a，101111aaq.法二：193764aaaa ,又3720aa,3a、7a为方程220640 xx的两实数根，41673aa 或 16473aa 23117aaa,271131aaa或1164a.总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】an为等比数列，a1=

6、3，a9=768，求 a6。【答案】96 法一：设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96。【变式 2】an为等比数列，an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。【答案】64；21894516a aa，又 an0，a45=4 34445464564a a aa。【变式 3】已知等比数列na，若1237aaa，1238a a a，求na。【答案】12nna或32nna；法一：2132a aa，312328a a aa，22a 从而13135,4aaa a解之得11a，34a 或14a，31a 当11a

7、时，2q；当14a 时，12q。故12nna或32nna。法二：由等比数列的定义知21aa q，231aa q 代入已知得2111211178aa qa qaa q a q 数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点 21331(1)7,8aqqa q 211(1)7,(1)2(2)aqqa q 将12aq代入（1）得22520qq，解得2q 或12q 由（2）得112aq或1412aq ，以下同方法一。类型二：等比数列的前 n 项

8、和公式 例 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.解析：若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.由3692SSS得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因 q31，故312q ，所以342q 。举一反三：【变式 1】求等比数列1 11,3 9的前 6 项和。【答案】364243；11a，13q，6n 6661113313641123

9、24313S 。【变式 2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求 S5.【答案】1211219或；322273aa，31(1)113313aqqqq或，则 a1=1 或 a1=9 55551911 31213121S11 3913S或.数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点【变式 3】在等比数列na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。【答案】12q 或 2，6n；211nnaaaa，11

10、28na a 解方程组1112866nna aaa，得1642naa 或1264naa 将1642naa代入11nnaa qSq，得12q，由11nnaa q，解得6n；将1264naa代入11nnaa qSq，得2q，由11nnaa q，解得6n。12q 或 2，6n。类型三：等比数列的性质 例 3.等比数列na中，若569aa,求3132310loglog.logaaa.解析：na是等比数列，110293847569aaaaaaaaaa 1032313logloglogaaa553123103563log()log()log 910aaaaaa 举一反三：【变式 1】正项等比数列na中，若

11、 a1a100=100;则 lga1+lga2+lga100=_.【答案】100；lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而 a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式 2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。【答案】216；法一：设这个等比数列为na，其公比为q，183a，445127823aa qq，48116q，294q 23362341111aaaa q a qa qaq 33389621634 。法二：设这个等比数

12、列为na，公比为q，则183a，5272a，数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点 加入的三项分别为2a，3a，4a，由题意1a，3a，5a也成等比数列，238273632a ，故36a，23234333216aaaaaa 。类型四：等比数列前 n 项和公式的性质 例 4在等比数列na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个

13、k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一：令 b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n 观察 b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知 b1,b2,b3成等比数列，2223112348bbb，S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：22nnSS，1q，由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq 得514nq，即14nq 代入得1641aq，3133(1)164(1)6314nnaqSq。法三：n

14、a为等比数列，nS，2nnSS，32nnSS也成等比数列，2232()()nnnnnSSSSS，22232()(6048)606348nnnnnSSSSS。举一反三：【变式 1】等比数列na中，公比 q=2,S4=1,则 S8=_.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式 2】已知等比数列na的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=40,求：S30=？数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识

15、点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点【答案】130；法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10(S30-S20)即 302=10(S30-40),S30=130.法二：2S10S20，1q,101)1(10110qqaS,20120(1)401aqSq,102011,14qq103q,511 qa 130)31)(5(1)1(330130qqaS.【变式 3】等比数列na的项都是正数，若 Sn=80,S2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.【答案

16、】6560802nnSS，1q(否则212nnSS)1(1)1nnaqSq=80 .(1)212(1)1nnaqSq=6560.(2)，(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数，由(3)知 q1 an为递增数列，an为最大项 54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)1542813aqq代入(1)得2(181)80(1)3qq，q=3,n=4.【变式 4】等比数列na中，若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=_.【答案】4；令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=

17、a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比数列，b3=122bb=324362=4,即 a5+a6=4.【变式 5】等比数列na中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求 a7+a8+a9的值。【答案】448；an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.类型五：等差等比数列的综合应用 例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量

18、设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为 a-d,a,a+d.则 a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.)2.().)()4()1.().32)(22dadaadadaa 数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点 由(2)得 a=8162d.(3)由(1)得 32a=d2+32d.(4)(3)代(4)消 a，解得83d 或 d=8.当83d 时,269a；当 d=8 时,

19、a=10 原来三个数为92,926,9338或 2,10,50.法二：设原来三个数为 a,aq,aq2，则 a,aq,aq2-32 成等差数列，a,aq-4,aq2-32 成等比数列)2).(32()4()1.(322222aqaaqaqaaq 由(2)得24aq，代入(1)解得 q=5 或 q=13 当 q=5 时 a=2；当 q=13 时29a.原来三个数为 2，10，50 或92，926,9338.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项 a，公

20、比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为 2，6，18 或210 50,999；设所求的等比数列为 a，aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得 a=2，q=3 或29a，q=-5；故所求的等比数列为 2，6，18 或210 50,999.【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【答案】1、3、9 或1、3、9 或 9、3、

21、1 或9、3、1 设这三个数分别为,aa aqq，由已知得222222791aa aqqaaa qq 22231(1)91aaqq 得4298290qq，所以29q 或219q，数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点 即3q 或13q 故所求三个数为：1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和

22、为 12，求这四个数.【答案】0，4，8，16 或 15，9，3，1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x)2).(16()12()1.(1222xyyyxy 由(1)得 x=3y-12，代入(2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y,4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,y=4 或 9，x=0 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明 例 6已知数列an的前 n 项和 Sn满足：log5(Sn+1)=n(n N+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：由数

23、列an的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(n N+),a1=S1=51-1=4,当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4 5n-1 而 n=1 时，45n-1=451-1=4=a1,nN+时，an=45n-1 由上述通项公式，可知an为首项为 4，公比为 5 的等比数列.举一反三：【变式 1】已知数列Cn，其中 Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数 p。【答案】p=2 或 p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意

24、 nN且 n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1 整理得：1(2)(3)2306nnpp ,解得：p=2 或 p=3,显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求.【变式 2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】设数列an、bn的公

25、比分别为 p,q，且 pq 为证Cn不是等比数列，只需证2132CCC.222222211111 1()2Ca pb qa pb qa b pq,22222222131111111 1()()()CCaba pb qa pb qa b pq 221321 1()CCCa b pq,又 p q,a10,b10,21320CCC 即2132CCC 数列Cn不是等比数列.【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典

26、用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；(4)an是公比为 q 的等比数列，则2na、1na 仍为等比数列；(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，logmb，logmc 成等差.【答案】(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=00，不能说 0，0，0 成等比；(3)对；anbn首项为 a1b1，公比为 q1q2；(4)对；2211211,1nnnnaaqaqa；(5)错；反例：-2，-4，-8 成等比，但 log

27、m(-2)无意义.类型七：Sn与 an的关系 例 7已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足21056nnnSaa，且 a1，a3，a15成等比数列，求数列an的通项 an.解析：21056nnnSaa，21111056aaa，解之得 a1=2 或 a1=3.又21111056(2)nnnSaan，由-得221110()5()nnnnnaaaaa，即11()(5)0nnnnaaaa an+an-10，an-an-1=5(n2).当 a1=3 时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列 a13；当 a1=2 时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，a1=2，an

28、=5n-3.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)nnnanaSSn，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题 1：若数列an的前 n 项和 Sn=an+b(a 1)，则数列an是等比数列；命题 2：若数列an的前 n 项和 Sn=na-n，则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.【答案】0；由命题 1 得，a1=a+b，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若an是等比数列，则21aaa，即(1)a aaab，所以只有当 b=-1且 a0 时，此数列才是等比数列.由命题 2 得，a1=a-1，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=a-1，数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比名师总结 优秀知识点 显然an是一个常数列，即公差为 0 的等差数列，因此只有当 a-10，即 a1 时数列an才又是等比数列.数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义中有名师总结优秀知识点若则特别的当时得注等差和等比数列比较经典用性质可求出再求解析法一设此数列公比为则由得由得得等差数列等比