2023年苏教版八年级上册中考压轴题数学组卷.pdf

《2023年苏教版八年级上册中考压轴题数学组卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年苏教版八年级上册中考压轴题数学组卷.pdf（61页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 20XX 年八年级上册中考压轴题数学组卷 学习必备 欢迎下载 20XX 年八年级上册中考压轴题数学组卷 一解答题（共 23 小题）1（2008 台州）CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=（1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE _ CF；EF _|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图 2，若 0 BCA180，请添加一个关于与BCA 关系的条件 _，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若

2、直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）2（2005 内江）如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l 上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 3（2004 青海）（1）如图，E 是AOB 的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分

3、别是 C、D，求证：OC=OD；（2）已知，点 A 和 B求作：经过 A、B 两点且半径最小的圆（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹不写作法）填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 4（2006 河北）探索：在如图 1 至图 3 中，ABC 的面积为 a （1）如图 1，延长ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 DA 若ACD 的面积为 S1，则 S1=_（用含 a 的代数式表示）；（2）如图 2，延长ABC 的边 BC

4、 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD=BC，AE=CA，连接 DE若DEC 的面积为 S2，则 S2=_（用含 a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连接 FD，FE，得到DEF（如图 3）若阴影部分的面积为 S3，则 S3=_（用含 a 的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图 3），此时，我们称ABC 向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF 的面积是原来ABC 面积的 _ 倍 应用：去年在面积为 10m2的ABC 空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC 向

5、外进行两次扩展，第一次由ABC 扩展成DEF，第二次由DEF 扩展成MGH（如图 4）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少 m2？6（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，DAB=60 ，B 与D 互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图 2，可证 AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F

6、（请你补全证明）填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 7（2012 绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为ABC 的准外心 应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD=AB，求APB 的度数 探究：已知ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边

7、上，试探究 PA 的长 8（2008 温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点 A 作 BC 的中垂线 AD，垂足为 D”；彬彬：“作ABC 的角平分线 AD”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程 9（2008 宁德）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE 填或如图若请添加一个关于与关系的条

8、件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载（1）求证：CE=CF；（2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且GCE=45，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E 是 AB 上一点，且DCE=45，BE=4，求 DE 的长 10（2012 遵义）如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向

9、C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PEAB于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1）当BQD=30 时，求 AP 的长；（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由 11（2010 永州）探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点 P 为ABC 的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为ABC 的费马距离；如图（B），若四边形 ABCD 的四个顶点在同一

10、圆上，则有 AB CD+BC DA=AC BD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点 P 为等边ABC 外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C 均小于 120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC 的外部以 BC 为边长作等边BCD 及其外接圆；第二步：在上任取一点 P，连接 P A、P B、P C、P D易知 P A+P B+P C=P A+（P B+P C）=P A+_；填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等

11、三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC 的费马点 P，并请指出线段 _ 的长度即为ABC 的费马距离 （3）知识应用：20XX 年 4 月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水 已知三村庄 A、B、C 构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C 均小于 120），现选取一点 P 打水井，使从水井 P 到三村庄 A、B、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值 12（1998 海

12、淀区）已知：如图，在ABC 中，CDAB，垂足为 D，A=30，B=45，AC=4 求 CD 和 AB 的长 13（2005 海淀区）如图所示，一根长 2a 的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为 P若木棍 A 端沿墙下滑，且 B 端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点 P 到点 O 的距离是否变化，并简述理由（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值 14（2009 宁夏）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，CD 是 AB 边上的中线，将ADC 沿 AC 边所在的直线折叠，使点 D 落在点 E

13、 处，得四边形 ABCE 求证：ECAB 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 15（2012 枣庄）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，CDAD，AD2+CD2=2AB2（1）求证：AB=BC；（2）当 BEAD 于 E 时，试证明：BE=AE+CD 16（2010 孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）

14、带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言 请根据图 1 中直接三角形叙述勾股定理 以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a，b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图 2）请你利用图 2，验证勾股定理；利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：BC=a+b，AD=_；又在直角梯形 ABCD 中有 BC _ AD（填大小关系），即 _ 17（2010 东莞）如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可

15、运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得FMN，过FMN 三边的中点作PWQ设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒试解答下列问题：（1）说明FMNQWP；（2）设 0 x 4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）试问 x 为何值时，PWQ 为直角三角形？当 x 在何范围时，PQW不为直角三角形？（3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并

16、写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 18（2009 永州）问题探究：（1）如图 所示是一个半径为，高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从 A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达 B 点，求蚂蚁爬行的最短路程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线 AB 剪开，它的侧面展开图如图 中的矩形 ABB A，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段 AB 的长）；（2）如图 所示是一个底面半径为，母线长为 4 的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从 A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3

17、）如图 所示，在 的条件下，一只蚂蚁从 A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线 PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程 19（2009 佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当 AB=4，BC=4，CC1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点 B1到最短路径的距离 20（2007 衢州）请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径、高均为 5cm，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线小明设计了两条路线：路线 1

18、：侧面展开图中的线段 AC如下图（2）所示：填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 设路线 1 的长度为 l1，则 l12=AC2=AB2+2=52+（5）2=25+252 路线 2：高线 AB+底面直径 BC如上图（1）所示：设路线 2 的长度为 l2，则 l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225 l12l22=25+252225=252200=25（28）0 l12l22，l1l2 所以要选择路线 2 较短（1）小明对

19、上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为 1cm，高 AB 为 5cm”继续按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面的计算：路线 1：l12=AC2=_；路线 2：l22=（AB+BC）2=_ l12 _ l22，l1 _ l2（填或）选择路线 _（填 1 或 2）较短（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r，高为 h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的路线最短 21（2013 威海）操作发现 将一副直角三角板如图 摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边与含 30 角的直角三角板 DEF 的长直角边 DE重合

20、问题解决 将图 中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转 30，点 C 落在 BF 上，AC 与 BD 交于点 O，连接 CD，如图 （1）求证：CDO 是等腰三角形；（2）若 DF=8，求 AD 的长 22（2009 德城区）一位同学拿了两块 45 的三角尺MNK、ACB 做了一个探究活动：将MNK 的直角顶点 M放在ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC=BC=a 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 （1）如图

21、1，两个三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为 _，周长为 _；（2）将图 1 中的MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45，得到图 2，此时重叠部分的面积为 _，周长为 _；（3）如果将MNK 绕 M 旋转到不同于图 1，图 2 的位置，如图 3 所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证 23（2007 大连）两个全等的 RtABC 和 RtEDA 如图放置，点 B、A、D 在同一条直线上 操作：在图中，作ABC 的平分线 BF，过点 D 作 DFBF，垂足为 F，连接 CE证明 BFCE 探究：线段 BF、CE 的关系，并证明你的结论 说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将

22、“两个全等的RtABC 和RtEDA”改为“两个全等的等腰直角ABC和等腰直角EDA（点 C、A、E 在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得 2 分 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 20XX 年八年级上册中考压轴题数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共 23 小题）1（2008 台州）CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=（1）

23、若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图 2，若 0 BCA180，请添加一个关于与BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理 专题：几何综合题；压轴题 分析：由题意推出CBE=ACF，再由 AAS 定理证BCECAF，继而得答案 解答：解：（

24、1）BCA=90，=90，BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+BCA=180 证明：在BCE中，CBE+BCE=180 BEC=180 BCA=180，CBE+BCE=BCA 又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，

25、CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF 点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应用 2（2005 内江）如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l 上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 考点：直角三角形全等的判定 专题

26、：探究型 分析：分析图可知，全等三角形为：ACDCBE根据这两个三角形中的数量关系选择ASA 证明全等 解答：解：全等三角形为：ACDCBE 证明如下：由题意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE 在ACD 与CBE 中，ACDCBE（AAS）点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备

27、欢迎下载 SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 3（2004 青海）（1）如图，E 是AOB 的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别是 C、D，求证：OC=OD；（2）已知，点 A 和 B求作：经过 A、B 两点且半径最小的圆（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹不写作法）考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质 专题：作图题 分析：（1）因为 OE是AOB 的平分线，ECOA，EDOB，所以EC=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等），在RtOCE 和RtODE 中，EC=ED，OE=OE，RtOCERtODE

28、，所以OC=OD；（2）根据题意，经过 A、B 两点且半径最小的圆就是以 AB 为直径的圆，先做AB 的垂直平分填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 线，找出与 AB的交点就是圆心 O，以 OA 为半径作圆就可以了 解答：（1）证明：OE平分AOB，ECOA，EDOB EC=ED，在RtOCE 和RtODE 中 RtOCERtODE OC=OD；（2）解：如图：点评：本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等，以及直角三角形全等

29、的证明（HL）和性质，还有经过A、B 两点且半径最小的圆就是以 AB 为直径的圆作图能力很重要，注意培养 4（2006 河北）探索：在如图 1 至图 3 中，ABC 的面积为 a 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 （1）如图 1，延长ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 DA若ACD 的面积为 S1，则 S1=a（用含 a的代数式表示）；（2）如图 2，延长ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，

30、使 CD=BC，AE=CA，连接 DE若DEC 的面积为 S2，则 S2=2a（用含 a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连接 FD，FE，得到DEF（如图 3）若阴影部分的面积为 S3，则 S3=6a（用含 a 的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图 3），此时，我们称ABC 向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF 的面积是原来ABC 面积的 7 倍 应用：去年在面积为 10m2的ABC 空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC 向外进行两次扩展，第一次由ABC

31、扩展成DEF，第二次由DEF 扩展成MGH（如图 4）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少 m2？考点：三角形的面积 专题：探究型 分析：（1）根据三角形的面积公式，得到等底同高的两个三角形的面积相等；（2）运用分割法：连接 AD 根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的 3 倍；再加上原来三角形的面积进行计算 应用：根据上述结论，即扩展一填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长

32、的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的 7 倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的 72=49倍从而得到扩展的区域的面积是原来的 48倍 解答：解：（1）BC=CD，ACD 和ABC 是等底同高的，即S1=a；（2）2a；（2 分）理由：连接 AD，CD=BC，AE=CA，SDAC=SDAE=SABC=a，S2=2a；（3）结合（2）得：2a 3=6a；扩展一次后得到的DEF 的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的 7 倍 应用拓展区域的面积：（721）10=480（m2）点评：命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合

33、创填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 新能力 点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程，解题思想方法的感悟，体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题 5（2007 北京）如图，已知ABC（1）请你在 BC 边上分别取两点 D，E（BC 的中点除外），连接 AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并

34、表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明 AB+AC AD+AE 考点：三角形三边关系；全等三角形的判定 专题：证明题 分析：（1）由于都是以 BC 所在边为底，因此边上的高都相等要两个三角形的面积相等，只需在BC 上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解 分别过点 D、B作 CA、EA 的平行线，两线相交于 F 点，DF 于填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 AB 交于 G 点 那么

35、我们不难得出AECFBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG 和 ADG 中找出它们的关系即可 解答：（1）解：如图 1，相应的条件就应该是BD=CE DE，这样，ABD和AEC 的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么ADC 和ABE 的面积就相等 （2）证明：如图 2，分别过点D、B 作 CA、EA 的平行线，两线相交于 F点，DF 与 AB交于 G 点 ACE=FDB，AEC=FBD 在AEC 和FBD 中，又CE=BD，AECFBD，AC=FD，AE=FB，在AGD 中，AG+DG AD，在BFG 中，BG+FGFB，即 AB+FDAD+FB AB+AC AD+

36、AE 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 点评：本题考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系 本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键 6（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，DAB=60 ，B 与D 互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解

37、决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图 2，可证 AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定 专题：证明题；压轴题；开放型 分析：（1）如果：“B=D”，根填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 据B 与D 互补，那么B=D=90，又因为DAC=BAC=30

38、，因此我们可在直角三角形 ADC 和 ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD 和 BCD 全等即可得到（1）的条件根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE 然后按照（1）的解法进行计算即可 解答：证明：（1）B与D 互补，B=D，B=D=90，CAD=CAB=DAB=30 ，在ADC 中，cos30=，在ABC 中，cos30=，AB=AC，AD=AB+AD=（2）由（1）知，AE+AF=AC填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至

39、图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载，AC 为角平分线，CFCD，CEAB，CE=CF 而ABC 与D 互补，ABC 与CBE 也互补，D=CBE 在 RtCDF与 RtCBE 中，RtCDFRtCBE DF=BE AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC 点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键 7（2012 绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为

40、ABC 的准外心 应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD=AB，求APB 的度数 探究：已知ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长 考点：线段垂直平分线的性质；等腰填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理 专题：新定义 分析：应用：连接 PA、PB，根据准外心的定义，分 PB=PC，PA=

41、PC，PA=PB 三种情况利用等边三角形的性质求出 PD 与 AB的关系，然后判断出只有情况 是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB=45，然后即可求出APB 的度数；探究：先根据勾股定理求出 AC的长度，根据准外心的定义，分 PB=PC，PA=PC，PA=PB 三种情况，根据三角形的性质计算即可得解 解答：应用：解：若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD 为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30，PBD=PBC=30，PD=DB=AB，与已知填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图

42、中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 PD=AB 矛盾，PB PC，若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA PC，若 PA=PB，由 PD=AB，得PD=BD，APD=45，故APB=90；探究：解：BC=5，AB=3，AC=4，若 PB=PC，设 PA=x，则x2+32=（4x）2，x=，即PA=，若 PA=PC，则 PA=2，若 PA=PB，由图知，在RtPAB 中，不可能 故 PA=2 或 点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别

43、为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论 8（2008 温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点 A 作 BC 的中垂线 AD，垂足为 D”；彬彬：“作ABC 的角平分线 AD”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作

44、法，完成证明过程 考点：等腰三角形的判定 专题：阅读型 分析：（1）线段 BC的中垂线可以直接作出的，不需要附带“过点A 作”；（2）根据已知条件利用 AAS可证ABDACD，得出AB=AC 解答：（1）解：作辅助线不能同时满足两个条件；（2）证明：作ABC 的角平分线 AD BAD=CAD，在ABD 与填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 ACD 中，ABDACD（AAS）AB=AC 点评：本题主要是考查了三角形全等的判定及等

45、腰三角形的性质；题目为阅读理解题，充分利用文字中的提示是解答本题的关键 9（2008 宁德）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且GCE=45，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E 是 AB 上一点，且DCE=45，BE=4，求 DE 的长 考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性填或如图若请添加一个关于与关系的条件使

46、中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 质；勾股定理；正方形的判定 专题：证明题；压轴题；探究型 分析：（1）利用已知条件，可证出BCEDCF（SAS），即CE=CF（2）借助（1）的全等得出BCE=DCF，GCF=BCE+DCG=90GCE=45，即GCF=GCE，又因为CE=CF，CG=CG，ECGFCG，EG=GF，GE=DF+GD=BE+GD（3）过 C 作CGAD，交AD 延长线于G，先证四边形ABCG 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）再设 DE=x

47、，利用（1）、（2）的结论，在RtAED 中利用勾股定理可求出 DE 解答：（1）证明：在正方形 ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF CE=CF 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载（2）解：GE=BE+GD 成立 CBECDF，BCE=DCF ECD+ECB=ECD+FCD 即ECF=BCD=90 又GCE=45，GCF=GCE=45 CE=CF，GCF=GCE，GC=GC，ECGFCG EG=GF

48、GE=DF+GD=BE+GD （3）解：过 C作 CGAD，交AD 延长线于G，在直角梯形ABCD 中，ADBC，A=B=90，又CGA=90，AB=BC，四边形ABCG 为正方形 AG=BC=12 已知DCE=45，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设 DE=x，则DG=x4，AD=AG DG=16x，AE=AB填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 BE=124=8 在 RtAED 中 DE2=AD2+AE2，即 x2=

49、（16x）2+82 解得：x=10 DE=10 点评：本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异从阅卷的情况看，本题的得分在 48 分的学生居多前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低 10（2012 遵义）如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（

50、Q 不与 B 重合），过 P 作 PEAB于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1）当BQD=30 时，求 AP 的长；（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由 填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证的垂线垂足分别为请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等在如图至图中的面积为学习必备欢迎下载如图延长的边到点使连接若的学习必备 欢迎下载 考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 专题：压轴题；动点型 分析：（1）由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60 ，再由BQD=