2023年考研高等数学重要知识点总结归纳解析.pdf

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1、2012 考研数学重要知识点解析之高等数学（六）每年的考研试题中必有“应用题”，用定积分计算几何量、物理量（数一、数二要求）、经济量（数三要求）是应用题的一个重要方面。定积分的几何应用包括：求平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长（数一、数二），旋转体的表面积（数一、数二）、平行截面面积已知的立体体积（数一、数二）等，求旋转体的体积考得更多一些。微积分的几何应用与最值问题相结合构成的应用题是常考题型，万学海文数学考研辅导专家们提醒 20XX年的考生要引起重视。典型的平面图形有两种：一种是由曲线(),()yf xyg x和直线,xa xb围成；如果ab，且当axb 时，()()g xf x

2、，则该平面图形的面积公式是：()()baSf xg x dx。另一种是由曲线(),()xyxy和直线,yc yd围成；如果cd，且当cyd 时，()()yy，则该平面图形的面积公式是：()()dcSyy dy。在不同的题目中，尽管有千变万化，但求解过程总是两步：第一步，弄清欲求面积的平面图形可归于哪种类型，相应上下左右边界各是什么？解决了这些问题就不难写出其面积公式，这只是解决问题的基础，要完全解决问题还必须选用适当积分法和积分公式，正确求出积分的值。旋转体的体积：(1)平面图形由曲线 xyy 0与直线ax，bx 和x轴围成，绕x轴旋转一周的体积：dxxyVbax2；绕y轴旋转一周的体积：ba

3、ydxxxyV2；(2)平面图形由曲线 yxx 0与直线cy，dy 和y轴围成，绕y轴旋转一周的体积：dyyxVdcy2；绕x轴旋转一周的体积：dcxdyyyxV2。(3)平面图形由曲线 xyy 0与直线ax，bx 和 y=d 围成，绕直线y=d 旋转一周所得的旋转体体积：微元法：取区间a,b 上任一小区间x,x+dx，这个窄曲边梯形绕 y=d 旋转而成的薄片的体积近似于以()f xd为底半径、dx 为高的扁圆柱体体积，即体积元素2()dVf xddx，所求旋转体体积为2()baVf xddx。(4)平面图形由曲线 yxx 0与直线cy，dy 和 x=h 围成，绕直线x=h 旋转一周所得的旋转

4、体体积：2()dcVx yh dy。应该指出的是，在解决定积分的几何意义应用问题时，首先作出有关的图形对于确定平面图形的边界，确定积分上下限，确定体积微元等常常有很大的帮助，因此，养成作草图帮助分析问题的习惯是必要的。定积分的物理应用包括：功、引力、压力、质心、形心等，比起几何应用来考得要少一些。基本方法有：代公式法和微元法。已知边际成本求总成本、已知边际收益求总收益等问题是定积分用于经济方面最常见的典型问题。最后需要强调的是综合性试题，例如积分与微分的综合题；积分与微分方程的综合题；积分与级数的综合题等都是近几年考试的重点，要引起 20XX年考生的高度重视。数二旋转体的表面积数一数二平行截面面积已知的立体体积数一数二等图形有两种一种是由曲线和直线围成如果且当时则该平面图形的面积公于哪种类型相应上下左右边界各是什么解决了这些问题就不难写出其面