2023年用基本不等式求最值的常见类型及解题方法.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 用基本不等式求最值的类型及方法 均值不等式是不等式一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。一、几个重要的均值不等式，、)(222222Rbabaababba当且仅当 a=b 时，“=”号成立；，、)(222 Rbabaababba当且仅当 a=b 时，“=”号成立；，、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当 a=b=c 时,“=”号成立；)(3333Rcbacbaabcabccba、,当且仅当 a=b=c 时,“=”号成立.注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正

2、”、二“定”、三“等”；熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、函数()(0)bf xaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxxf、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：值域：),22,(abab；单调递增区间：(,ba，,)ba；单调递减区间：(0,ba，,0)ba.三、用均值不等式求最值的常见类型 类型：求几个正数和的最小值。例1、已知54x，求函数14245yxx 的最大值。练习（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx (3)12sin,(0,)sinyxxx xabab2ab2aboy学习必备 欢迎下载 类型：求几个正数积的最大值

3、。例2、当时，求(82)yxx的最大值。练习 23(32)(0)2yxxx 类型：用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若 x、yR，求4()f xxx)10(x的最小值。类型：条件最值问题。例 4、已知正数 x、y 满足811xy，求2xy的最小值。类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、已知正数xy、满足3xyxy ，试求xy、xy的范围。类型 条件求最值 例 6、若实数满足2 ba，则ba33 的最小值是 练习 1、若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求 x,y 的值 2、已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。不等式当且仅当时号成立当且仅当时号成立当

4、且仅当时号成立当且仅当间三用均值不等式求最值的常见类型类型求几个正数和的最小值例已知题例已知正数满足求的最小值类型利用均值不等式化归为其它不等式求学习必备 欢迎下载 四、均值不等式易错例析：例 1.求函数 yxxx49的最值。例 2.当x 0时，求yxx492的最小值。例 3.求yxxxR2254()的最小值。例 4.已知Ryx,且141yx，求yxu的最小值.综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。不等式当且仅当时号成立当且仅当时号成立当且仅当时号成立当且仅当间三用均值不等式求最值的常见类型类型求几个正数和的最小值例已知题例已知正数满足求的最小值类型利用均值不等式化归为其它不等式求