2023年第三章-向量与线性方程组补充习题超详细解析答案.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第三章 向量与线性方程组补充习题答案 1设有三维列向量 123211101,1,1,111 问取何值时，（1）可由123,线性表示，且表达式惟一；（2）可由123,线性表示，且表达式不惟一；（3）不能由123,线性表示【解】设112233xxx，得线性方程组 12231110111111xxx ，其系数行列式 2111111(3)111A （1）若03 且，则方程组有惟一解，可由123,惟一地线性表示（2）若=0，则方程组有无穷多个解，可由123,线性表示，但表达式不惟一（3）若=-3，则方程组的增广矩阵 211003-318A12130331211291129000603

2、3121129 可见方程组得系数矩阵 A 与增广矩阵A不等秩，故方程组无解，从而不能由123,线性表示 精品资料 欢迎下载 2设向量组Ta)10,2,(1，T)5,1,2(2，.),1(,)4,1,1(3TTcb试问：当 a,b,c满足什么条件时，（1）可由321,线性表出，且表示唯一？（2）不能由321,线性表出？（3）可由321,线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。【解】设有一组数321,xxx，使得 332211xxx，即 cxxxbxxxxxax3213213214510212 该方程组的系数行列式A.4451011212aa（1）当4a时，行列式A0，方程组有唯一解，可由321,

3、线性表出，且表示唯一；（2）当 a=4 时，对增广矩阵作行初等变换，有 1300012100101245101121124cbbbcbA 若 3b-c 1，则秩 r(A)秩 r(A),方程组无解，不能由321,线性表出；（3）当 a=-4 且 3b-c=1 时，秩 r(A)=秩 r(A)=23，方程组有无穷多组解，可由321,线性表出，但表示唯一。解方程组，得 Cx 1，122bCx，123 bx（C为任意常数）。因此有 .)12()12(321bbCC 3设).,3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t （1）问当 t 为何值时，向量组321,线性无关？性表示若则方程组有无穷多个解可

4、由线性表示但表达式不惟一若则方程示唯一不能由线性表出可由线性表出但表示唯一并求出一般表达式解设出当且时秩秩方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一解方程组得精品资料 欢迎下载 （2）问当 t 为何值时，向量组321,线性相关？（3）当321,线性相关时，将3表示为1和2的线性组合.【解】因为531321111,321tt，故当5t时，向量组321,线性无关；当 t=5 时，向量组321,线性相关。当 t=5 时，令 22113xx，得方程组 ,53,32,1212121xxxxxx 解得.2,121xx 故 .2213 4设向量12,t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量不是方程

5、组Ax=0的解，即0A试证明：向量组12,t 线性无关【解】设有一组数12,tk k kk，使得 1110,tttiiiiiiiikkkkk 即，上式两边同时左乘矩阵 A,有 110ttiiiiikkAkA 因为0A，故 1tiikk=0，从而，由式得 1tiiik=0，由于向量组1,t是基础解系，所以 120tkkk 因而，由式得 k=0 性表示若则方程组有无穷多个解可由线性表示但表达式不惟一若则方程示唯一不能由线性表出可由线性表出但表示唯一并求出一般表达式解设出当且时秩秩方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一解方程组得精品资料 欢迎下载 因此，向量组1,t 线性无关 5 设向量组123,

6、线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A)122331,(B)1223123,2 (C)1223312,23,3 (D)123123123,2322,355 【】【解】1223311223123():0,():20,AB 可见（A）、（B）中向量线性相关，（C）、（D）不能直接观察得出，对于（C），令 11222333122330,kkk 即 13112223322330kkkkkk，由于123,线性无关，故 1312230,220,330.kkkkkk 因上述齐次线性方程组的系数行列式101220120033，故方程组有惟一零解，即1230kkk，故（C）中向量组线性无关，应选（C）6设1

7、2,s 均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是(A)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.(B)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关.【】【解】记12(,)sB，则12(,)sAAAAB.性表示若则方程组有无穷多个解可由线性表示但表达式不惟一若则方程示唯一不能由线性表出可由线性表出但表示唯一并求出一般表达式解设出当且时秩秩方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一解方程组得精品资料 欢迎下载 所以，若向量组12,s 线性相关，则()r Bs，从而()()r AB

8、r Bs，向量组12,sAAA也线性相关，故应选().7.设4维 向 量 组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaa T44,4,4,4a，问a为何值时1234,线性相关?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【解】记以1234,为列向量的矩阵为A，则 312341234(10)12341234aaAa aaa.于是当0,010Aaa 即或时，1234,线性相关.当0a 时，显然1是一个极大线性无关组，且2131412,3,4 ；当10a 时，1 2 3 4 9234183412741236A，由于此时A有三阶非零行列

9、式9231834000127，所以123,为极大线性无关组，且123441230 ，即.8设齐次线性方程组 ,0,0,0321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足的条件是 .【解】当方程的个数与未知量的个数相同时，Ax=0只有零解的充分必要条件是.0A 而 性表示若则方程组有无穷多个解可由线性表示但表达式不惟一若则方程示唯一不能由线性表出可由线性表出但表示唯一并求出一般表达式解设出当且时秩秩方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一解方程组得精品资料 欢迎下载 2)1(1111111，所以应有.1 9k 为何值时，线性方程组 1232123123424xxkxxkxxkxxx ，有惟

10、一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解【解】用初等行变换化增广矩阵为阶梯形 211411411022811241(4)00(4)2kkAkkkkkk k 当1k 和 4 时，有 22k2k1001141k2k2k401401021k2k2k0010011k1kkkA 这时方程组有惟一解：22122k2kk2k42k,1k1k1kxxx 当 k=1 时，()2()3r Ar A，方程组无解 当 k=4 时，有 114410300114011400000000A，()()23r Ar An ,故方程组有无穷多组解，这时，同解方程组为：13233,4.xxxx 令3xc，得方程组的全

11、部解：性表示若则方程组有无穷多个解可由线性表示但表达式不惟一若则方程示唯一不能由线性表出可由线性表出但表示唯一并求出一般表达式解设出当且时秩秩方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一解方程组得精品资料 欢迎下载 30344101cxcxcc 或，其中 c 为任意常数 10设线性方程组 123123123220,20,30,xxxxxxxxx 的系数矩阵为 A，三阶矩阵BO，且ABO试求的值【解】令123(,)Bb b b，则由题设 123123(,)(,)ABA b b bAb Ab AbO，即0(1,2,3)jAbj 又BO，所以12,b b b3不全为零，说明齐次线性方程组 Ax=0有非零

12、解，所以必有秩(A)3，从而A=0，即 122210311 解得1 11.设A是mn矩阵，0Ax 是非齐次线性方程组Axb所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(A)若0Ax 仅有零解，则Axb有唯一解 (B)若0Ax 有非零解，则Axb有无穷多个解 (C)若Axb有无穷多个解，则0Ax 仅有零解 (D)若Axb有无穷多个解，则0Ax 有非零解 【】【解】由解的判定定理知，对Axb，若有秩()()AAr秩，则Axb一定有解 进一步，若 r=n，则Axb有唯一解；若 rn，则Axb有无穷多解 而对0Ax 一定有解，且设秩(A)=r，则 若 r=n，0Ax 仅有零解；若 rn，0Ax 有非零解

13、 因此，若Axb有无穷多解，则必有秩()()AAr秩n，从而秩(A)=rn，0Ax 有非零解，所以(D)成立 但反过来，若秩(A)=r=n(或n)，并不能推导出秩(A)=秩()A，所以Axb可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解 12非齐次线性方程组Axb中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则 性表示若则方程组有无穷多个解可由线性表示但表达式不惟一若则方程示唯一不能由线性表出可由线性表出但表示唯一并求出一般表达式解设出当且时秩秩方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一解方程组得精品资料 欢迎下载(A)r=m 时，方程组Axb有解(B)r=n时，方程组Axb有唯一解(C)m

14、=n 时，方程组Axb有唯一解(D)rn时，方程组Axb有无穷多解 【】【解】Axb有解的充要条件是：r Ar A b题设 A 为mn矩阵，若r Am，相当于 A的 m个行向量现行无关，因此添加一个分量后得 A b的 m个行向量仍线性无关，即有 r Ar A b，所以Axb有解故（A）成立对于（B）、（C）、（D）均不能保证 r Ar A b，即不能保证有解，更谈不上唯一解或无穷多解 13设321,是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3，T)4,3,2,1(1，T)3,2,1,0(32，C表示任意常数，则线性方程组 AX=b的通解 X=(A)11114321C.（B）32104321C.(C)54324321C.(D)65434321C 【解】由题设，r(A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为 4-3=1，即其任一非零解均可作为基础解系。又根据解的性质知 )()()(231213210)5,4,3,2(T 为对应齐次线性方程组的解，即可作为基础解系，从而线性方程组 AX=b的通解为 5432432154321CCX 故正确选项为(C).性表示若则方程组有无穷多个解可由线性表示但表达式不惟一若则方程示唯一不能由线性表出可由线性表出但表示唯一并求出一般表达式解设出当且时秩秩方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一解方程组得