2023年第八章 二元一次方程组.pdf
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1、学习好资料 欢迎下载 第八章 二元一次方程组 教材内容 本章主要内容包括:二元一次方程组及相关概念,消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组,三元一次方程组解法举例,二元一次方程组的应用。教材首先从一个篮球联赛中的问题入手,归纳出二元一次方程组及解的概念,并估算简单的二元一次方程(组)的解。接着,以消元思想为基础,依次讨论了解二元一次方程组的常用方法代入法和消元法。然后,选择了三个具有一定综合性的问题:“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”,将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。最后,通过举例介绍了三元一次方程组的解法,使消元的思想得到了充分的体现。教学目标 一、知识与技能 1、了
2、解二元一次方程组及相关概念,能设两个未知数,并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系;2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法,能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法;3、了解三元一次方程组的解法;4、学会运用二(三)元一次方程组解决实际问题,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。二、过程与方法 1、以含有多个未知数的实际问题为背景,经历“分析数量关糸,设未知数,列方程,解方程和检验结果”,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。2、在把二元一次方程组转化为 x=a,y=b 的形式的过程中,体会“消元”的思想。三、情感、态度与价值观 通过探究实际问题,进一步认识利用
3、二元一次方程组解决问题的基本过程,体会数学的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力。教学重点 二元一次方程组及相关概念,消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组,利用二元一次方程组解决实际问题。教学难点 以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题。教学课时分配 8.1 二元一次方程组 1 课时 8.2 消元二元一次方程组的解法 4 课时 8.3 再探实际问题与二元一次方程组 3 课时*8.4 三元一次方程组解法举例 1 课时 本章小结 1 课时 学习好资料 欢迎下载 8.1 二元一次方程组 教学目标 理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念,会检验一对数是不是二元一次方程组的解。教
4、学重点 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。教学难点 理解二元一次方程组的解。教学方法 问题导入法、讲授法 教学过程 一、问题导入 我们很多同学喜欢打篮球,这里面也有学问。看下面的问题:投影 1 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得 2 分,负一场得 1 分,某队为了争取较好的名次,想在全部 10 场比赛中得到 16 分,那么这个队胜负场数分别是多少?你知道吗?二、二元一次方程和二元一次方程组 这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件?胜的场数负的场数总场数,胜场积分负场积分总积分.若设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?xy10 2xy16 这两个方程与
5、一元一次方程有什么不同?它们有什么特点?所含未知数的个数不同;特点是:(1)含有两个未知数,(2)含有未知数的项的次数是1。像这样含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数是1 的方程叫做二元一次方程。上面的问题包含了两个必须同时满足的条件,也就是未知数 x、y 必须同时满足方程 xy10 和 2xy16 把两个方程合在一起,写成 xy10 2xy16 像这样,把具有两个未知数且含未知数的项的次数是 1 的两个方程合在一起,就组成了二元一次方程组.三、二元一次方程、二元一次方程组的解 探究:投影 2 满足方程,且符合问题的实际意义的 x、y 的值有哪些?把它们填入表中.为此我们用含 x 的式子表
6、示 y,即 y10 x(x 可取一些自然数)。显然,上表中每一对 x、y 的值都是方程的解。一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.如果不考虑方程的实际意义,那么 x、y 还可以取哪些值?这些值是有限的吗?还可以取 x1,y11;x0.5,y9.5,等等。所以,二元一次方程的解有无数对。上表中哪对 x、y 的值还满足方程?x7,y2 还满足方程.也就是说,它们是方程与方程的公共解,记作27yx 手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法和消元法
7、能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.四、例题 例 1 若方程x2 m1+5y 2 3n=7 是二元一次方程.求m2n的值。分析:由二元一次方程的概念你可以知道什么?解:依题意,得 2 m11,23n 1.由 2 m11,得 m 1 由 23n 1 得n 1/3 m2n11/3 4/3.五、课堂练习 投影 3 1、已知方程:2x+1y=3;5xy-1=0;x2+y=2;3x-y+z=0;2x-y=3;x+3=5,其中是二元一次方程的有_ _(填序号即可)2、下列各对数值中是二元一次方程 x2y=2 的解是()A 02yx B 22yx
8、 C 10yx D 01yx 变式:其中是二元一次方程组2222yxyx解是()六、课堂小结 1、二元一次方程、二元一次方程组的概念;2、二元一次方程、二元一次方程组的解.七、作业:课本 90 页 15.八、板书设计 课后反思:8.2 消元(一)情境导入 概念:二元一次方程。例题 16210yxyx 二元一次方程组 例 若方程x2 m 1+5y 2 3n =7是二元一次方程.求m2n的值。二元一次方程的解.二元一次方程组的解 课堂练习 手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法
9、和消元法能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 8.2 消元(一)教学目标 1、掌握代入法解二元一次方程组;2、经历探索二元一次方程组的解法的过程,初步体会“消元”的基本思想.教学重点 代入消元法解二元一次方程组。教学难点 理解“消元”的基本思想。教学方法 讲授法、练习法。教学过程 一、情景导入 关于本章引言中的篮球比赛的问题,通过前面的学习我们已经知道 如果只设一个未知数:设这个队胜了x 场,依题意得一个一元一次方程:2x+(10-x)=16 这个方程大家都知道如何解吗?如果设两个未知数:,设胜的场数是 x,负的场数是 y,可列方程组:xy10 2xy16 那么怎样求这个方程组的解呢?二、代
10、入消元法 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?可以发现,二元一次方程组中第 1 个方程 xy10 说明 y10 x,将第 2 个方程 2xy16 的 y 换为 10 x,这个方程就化为一元一次方程 2x+(10-x)=16。这就是说,二元一次方程组中的两个未知数,可以消去其中的一个未知数,转化为我们熟悉的一元一次方程。这样,我们就可以先求出一个未知数,然后再求出另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.归纳:上面的解法,是由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法
11、叫做代入消元法,简称代入法.例 1 按要求改写下列方程 1、x-y=3 (写成用 y 表示 x 的形式);2、x-y=3 (写成用 x 表示 y 的形式)3、3x-3y=6 (写成用一个未知数表示另一个未知数的形式)改写方程要根据实际需要或改写成的方程看起来比较简单(特别是符号的处理)。例 2 解方程组:1、321222yxxy 2、14833yxyx 分析:根据消元的思想,解方程组要把两个未知数转化为一个未知数,为此,需要用一个未知数表示另一个未知数。怎样表示呢?转化成的一元一次方程是什么?手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度
12、最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法和消元法能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 解:由得 x=y+3 把代入,得 3(y3)-8y14 解得 y=1 把 y=1 代人得 x=2.12yx 解上面的方程组能消去 y 吗?试试看。三、课堂练习:课本 93 页 1、2 题。四、课堂小结 1、什么是消元的思想?什么是代入消元法?2、用代入消元法解二元一次方程组。五、作业:课本 97 页 1、2 题。3、(1)4xy=5 2x4y=24 (2)53215.05.1yxyx 六、板书设计、五 课后反思 8.2 消元(一)情境导入 消元思想 例 2 解方程组:2x+(10-x)=1
13、 用一个未知数表示另一个未知数 1、321222yxxy 16210yxyx 代入消元法(代入法)2、14833yxyx 例 1 按要求改写下列方程 1、x-y=3 (写成用 y 表示 x 的形式);2、x-y=3 (写成用 x 表示 y 的形式)手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法和消元法能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 8.2 消元(二)教学目标 初步学会用二元一次方程组解决简单的实际问题及有关的数学问题。教学重点 二元一次方程的运用。教学难点 用二元一次方程组
14、解决简单的实际问题。教学方法 讲授法 教学过程 一、复习导入 上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组,回忆一下:怎样用代入消元法解二元一次方程组?什么是二元一次方程组的解?今天我们学习用二元一次方程组解决有关的问题。二、例题 例 1 投影 1 已知 12yx是方程组54abyxbyax的解,求a、b的值.分析:根据方程组的解的意义,我们可以知道什么?解:把 12yx代入 54abyxbyax,得214 25abba 把代入,得 8+2a-1=a+5 解得 a2 把 a2 代入,得 b=-5 25ab 例 2 投影 2 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种
15、产品的销售数量比(按瓶计算)为 2:5.某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨,这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶?分析:问题中有哪些未知量?消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数。问题中有哪些等量关系?大瓶数小瓶数25 大瓶所装消毒液小瓶所装消毒液22.5 吨 设怎样的未知数可以表示上面的两个等量关系?设这些消毒液应分装 x 大瓶和 y 小瓶,则 2250000025050025yxyx 请你用代入消元法解答上面的方程组。手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法和消元法能根
16、据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 解之得,2000050000 xy 答:这些消毒液应该分装 20000 大瓶和 50000 小瓶.三、课堂练习 课本 93 页 3、4 题。四、课堂小结 列二元一次方程组解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题的思想和步骤是相同的,不同的是一个设一个未知数,一个设两个未知数.一般地,同一个问题既可以列一元一次方程来解决,也可以列二元一次方程组来解决,不过,有时设两个未知数列方程组更方便些。五、作业:课本 98 页 4、6.补充题:已知方程组31aybxbyax的解为112xy,求 ab 的值.反馈检测:1、将二元一次方程 5x2y=3 化成用含有 x 的式子
17、表示 y 的形式是 y=;化成用含有 y 的式子表示 x的形式是 x=。2、已知方程组:34544xyxy,指出下列方法中比较简捷的解法是()A.利用,用含 x 的式子表示 y,再代入;B.利用,用含 y 的式子表示 x,再代入;C.利用,用含 x 的式子表示 y,再代入;D.利用,用含 x 的式子表示 x,再代人;3、用代入法解方程组:(1)yxyx32153 (2)4、若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0,则 x=,y=课后反思 232ba 194 ba 手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度最后通过举例介绍了三元的等量关
18、系掌握二元一次方程组的代入法和消元法能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 8.2 消元(三)教学目标 掌握加减法解二元一次方程组。教学重点 用加减法解二元一次方程组是重点;教学难点 用加减法解相同未知数的系数不成整数倍的二元一次方程组是难点。教学方法 比较法、讲授法 教学过程 一、情景导入 投影 1 王老师昨天在水果批发市场买了 2 千克苹果和 4 千克梨共花了 14 元,李老师以同样的价格买了 2 千克苹果和 3 千克梨共花了 12 元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁求得快 最简便的方法:抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1 千克的梨,多花了 2 元,故梨每千克的售价为 2 元 这种思
19、想也可以用来解二元一次方程组。二、加减消元法 我们知道,对于方程组22240 xyxy ,可以用代入消元法求解,除此之外,还有没有别的方法呢?这个方程组的两个方程中,y 的系数有什么关系?利用这种关系你能发现新的消元方法吗?y 的系数相等;用可消去未知数 y,得(2x+y)-(x+y)=40-22 解得 x=18 把 x=18 代入得 y=4。显然,由也能消去未知数 y.思考:联系上面的解法,想一想应怎样解方程组4103.615108xyxy 这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数,因此由可消去未知数 y,从而求出未知数 x 的值。我们看到,把两个二元一次方程的两边分别相加减,可以达到“消元
20、”的目的。投影 2 当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。三、例题 例 用加减法解方程组34165633xyxy 分析:这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同,直接加减不能消元,试一试,能否对方程变形,使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。解:3,得 9x+12y=48 2,得 10 x-12y=66 ,得 19x=114 x=6 把 x=6 代入,得 36+4y=16 手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的
21、高度最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法和消元法能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 4y=-2,y=-12 所以,这个方程组的解是612xy 想一想:本题如果用加减法消去 x 该怎么办?把5,3 即可。四、课堂练习 课本 96 页 1 题。五、课堂小结 1、什么是加减消元法?2、用加减消元法解二元一次方程。反馈检测:1用加减法解下列方程组34152410 xyxy较简便的消元方法是:将两个方程_,消去未知数_ 2 已知方程组234321xyxy,用加减法消 x 的方法是_;用加减法消 y 的方法是_ 3用加减法解下列方程时,你认为先消哪个未知数较简单,填写消元的过程(
22、1)32155423xyxy消元方法_(2)731232mnnm 消元方法_ 4、解方程组23123417xyxy 5、已知(3x+2y5)2与5 x+3y8 互为相反数,则 x=_,y=_ 六、作业:课本 98 页 3、5 题。课后反思 82 消元(四)手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法和消元法能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 教学目标 初步学会用二元一次方程组解决有关的问题,进一步认识方程模型的重要性。教学重点 用二元一次方程组解决有关的问题。教学难点 列二元
23、一次方程组。教学方法 讲授法 教学过程 一、复习导入 1、什么是二元一次方程组?什么是二元一次方程组的解?2、解二元一次方组的基本思想是什么?有哪些方法?今天我们来运用二元一次方程组解决有关的问题。二、例题 例 1 投影 1 甲、乙两人同求方程 axby=7 的整数解,甲求出的一组解为 而乙把方程中的7 错看成了 1,求得一组解为 试求 a、b 的值。分析:由甲求出的一组解,我们可以知道什么?由乙求出的一组解我们可以知道什么?怎样求 a、b的值呢?解:把 x=3,y=4 代入 axby=7,得 3a4b=7 把 x=1,y=2 代入 axby=1,得 a2b=1 联立得方程组 解之,得 故 a
24、、b 的值分别是 5、2。例 2 投影 2 2 台大收割机和 5 台小收割机工作 2 小时收割小麦 36 公顷,3 台大收割机和 2 台小收割机工作 5 小时收割小麦 8 公顷,问:1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦多少公顷?分析:本题要我们求什么?1 台大收割机 1 小时收割小麦的公顷数和 1 台小收割机 1 小时收割小麦公顷数。本题的等量关系是什么?2 台大收割机 2 小时的工作量5 台小收割机 2 小时的工作量=3.6 3台大收割机 5 小时的工作量2 台小收割机 5 小时的工作量=8 若设 1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷.请
25、你列出方程组。2(25)3.65(32)8xyxy 整理,得4103.615108xyxy-,得 11x=4.4 x=0.4 x=3 y=4,x=1 y=2,3a4b=7 a2b=1 a=5 b=2,手归纳出二元一次方程组及解的概念并估算简单的二元一次方程组的解题将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度最后通过举例介绍了三元的等量关系掌握二元一次方程组的代入法和消元法能根据二元一次方程学习好资料 欢迎下载 把 x=0.4 代入,得 y=0.2 0.40.2xy 答:1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 0.4 公顷和 0.2 公顷.三、课堂练习 课本 97 页练习 2、3 题。反
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